2022-2023學(xué)年安徽省合肥市六校聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷及答案解析

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年安徽省合肥市六校聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知復(fù)數(shù)z=a+iA.z?=?a+i

B.|z|≥2.設(shè)a，b為非零向量，且滿足|a?b|=|a|A.既不共線也不垂直 B.垂直 C.同向 D.反向3.已知非零向量a,b滿足|b|=4|aA.π3 B.π2 C.2π4.等邊△ABC的邊長為2，則AB在BA.?12BC B.BC 5.已知i是虛數(shù)單位，i?1是關(guān)于x的方程x2+pA.4 B.?4 C.2 D.6.如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，OA.C1，M，O三點(diǎn)共線 B.C1，M，O，C四點(diǎn)共面

C.C1，O，A，M四點(diǎn)共面 D.D1，D，7.已知圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為3，球與圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的側(cè)面積與球的表面積之比為(

)A.136 B.433 C.8.下列結(jié)論不正確的是(

)A.在△ABC中，若A>B，則sinA>sinB

B.若△ABC為銳角三角形，則sinA二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.設(shè)向量a=(2,0)A.|a|=|b| B.a與b的夾角是π4

C.10.若復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=8A.z=?3+4i B.|z|=5

11.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為棱A1B1和A.B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面

B.P∈平面ABB1A1

C.平面AEF與平面BB

12.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c=4，A.△ABC外接圓半徑為433 B.△ABC面積的最大值為4三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在射線y=2x(x≥0)上，且14.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且三條側(cè)棱長分別為1，2，3，則其外接球的表面積是______．15.△ABC中，AB=3，AC=4，BC=16.如圖所示，位于A處的甲船獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救．甲船立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知復(fù)數(shù)z的虛部為?1，|z|=2，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．

(1)求復(fù)數(shù)z；

18.(本小題12.0分)

如圖一個(gè)圓錐的底面半徑為1，高為3，在圓錐中有一個(gè)底面半徑為x的內(nèi)接圓柱．

(1)試用x表示圓柱的高h(yuǎn)；

(2)當(dāng)19.(本小題12.0分)

平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2)，b=(?1,2)，c=(4,1)．

(120.(本小題12.0分)

在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點(diǎn)，且CFFB=AEEB=13．

求證：

(1)點(diǎn)21.(本小題12.0分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB=(3c?b)cosA．22.(本小題12.0分)

在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，已知sinA?sinBsinC=a?ca答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵z=a+i(a∈R)，∴z?=a?i，故A錯(cuò)誤；

|z|=a2+1≥1，故B正確；

當(dāng)a=2.【答案】D

【解析】解：設(shè)a與b的夾角為θ，θ∈[0,π]，

|a?b|=|a|+|b|，

同時(shí)平方可得，?2a?b=23.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，向量垂直的性質(zhì)運(yùn)用，熟練運(yùn)用公式是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

由已知向量垂直得到數(shù)量積為0，得到非零向量a,b的模與夾角的關(guān)系，利用【解答】解：設(shè)兩個(gè)非零向量a,b的夾角為θ，θ∈[0,π]，

因?yàn)閨b|=4|a|，且a⊥(2a+b)，

所以

4.【答案】A

【解析】解：等邊△ABC的邊長為2，

則AB?BC=2×2×cos120°=?25.【答案】A

【解析】解：i?1是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個(gè)根，

根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理，可得：?i?1也是原方程的一個(gè)虛根．

∴i?1+6.【答案】D

【解析】解：連結(jié)A1C1，AC，則AC∩BD=O，

A1C∩平面C1BD=M，

∴三點(diǎn)C1、M、O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，

∴C1，M，O三點(diǎn)共線，

∴選項(xiàng)A、B、C均正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選：D．

連結(jié)A7.【答案】D

【解析】解：右圖是該幾何圖形的正視圖，由切線長定理可知：DE=DF，CH=CF，

設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑R，母線長為l，球的半徑為R0，

則有ED=r，HC=R，EH=2R0，過點(diǎn)D作BC的垂線，垂直是G，則有CG=R?r，

8.【答案】D

【解析】解：選項(xiàng)A，在△ABC中，若A>B，則a>b，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinA>sinB，即選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以A+B>π2，即A>π2?B，

又A∈(0,π2)，π2?B∈(0,π2)，且y=sinx在x∈(0,π2)上單調(diào)遞增，

所以sinA9.【答案】BC【解析】【分析】本題考查命題真假的判斷，考查向量的模、向量夾角、向量垂直、單位向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

求出向量的模，判斷A；利用向量數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角判斷B；向量向量坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的性質(zhì)判斷C；利用單位向量定義判斷D．【解答】解：向量a=(2,0)，b=(1,1)，

對于A，|a|=2，|b|=2，∴|a|≠|(zhì)b|，故A錯(cuò)誤；

對于B，cos<a,b

10.【答案】BD【解析】解：設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，

因?yàn)閦+|z|=8+4i，則a+a2+b2=8b=4，

解得a=3，b=4，

所以z=3+411.【答案】AB【解析】解：對于A，因?yàn)锽E?CF=P，所以BE，CF共面，所以A正確；

對于B，P∈BE，BE?平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1，故B正確，

對于D，P∈CF，CF?平面ACC1A1，P∈平面ACC1A1，

12.【答案】AB【解析】解：∵c=4，C=π3，

對于A：由正弦定理得2R=csinC=833，

∴△ABC外接圓半徑R=433，故A正確；

對于B：由余弦定理得c2=a2+b2?2abcosC，即16=a2+b2?ab≥2ab?ab=ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立，即ab≤16，

△ABC面積的最大值為Smax=13.【答案】?2【解析】解：設(shè)z=a+bi(a>0,b∈R)，

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在射線y=2x(x≥0)上，

則b=2a，

∵|z|=14.【答案】6π【解析】解：∵三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，且三條側(cè)棱長分別為1，2，3，

故可將其補(bǔ)充為一個(gè)長寬高分別為1，2，3的長方體，

則其外接球的直徑2R=1+2+3=6，

故球的表面積S=15.【答案】125【解析】解：因?yàn)椤鰽BC中，AB=3，AC=4，BC=5，

所以三角形是直角三角形，以A為頂點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，

設(shè)P(a,b)，a∈(0,4)，B(3,0)，C16.【答案】21【解析】解：如圖所示，

在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，

由余弦定理得BC2=AB2+AC2?2AB?AC?cos120°=17.【答案】解：(1)設(shè)z=a?i(a∈R)，

∵|z|=2，∴a2+1=【解析】(1)設(shè)z=a?i(a∈R)，利用復(fù)數(shù)的模列式求得a，則z可求；

(218.【答案】解：(1)∵3?h3=x1，∴h=3?3x，(0<x<1【解析】(1)根據(jù)比例關(guān)系求結(jié)果；(2)19.【答案】解：(1)由a=(3,2)，b=(?1,2)，c=(4,1)，

則a=mb+nc=m(?1,2)+n(4,1)=(?【解析】(1)由平面向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，列方程組求出m、n的值；

(2)設(shè)d=(20.【答案】證明：(1)如圖所示，連接EF，HG，

空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，

∴HG//AC，

又CFFB=AEEB=13，

∴EF//AC，

∴EF//HG，

E、F、G、H四點(diǎn)共面；

(2)由題得EF與HG不相等，所以EH與FG必相交．

設(shè)EH【解析】本題考查了三角形的中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、直線的平行性的傳遞性、確定平面的條件以及三線共點(diǎn)的應(yīng)用問題．

(1)利用三角形的中位線平行于第三邊和平行線分線段成比例定理，得到EF、GH都平行于AC，由平行線的傳遞性得到EF/21.【答案】解：(1)在△ABC中，由acosB=(3c?b)cosA及正弦定理得(3sinC?sinB)cosA=sinA【解析】(1)利用正弦定理