4-1-第二講直線和圓的位置關(guān)系-二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理【市一等獎(jiǎng)】

托勒密定理的數(shù)形轉(zhuǎn)換功能山東臨沂市四中姜開傳臨沂市第一技校劉久松圓內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于其對(duì)角線的乘積，即在四邊形ABCD中，有AB·CD＋AD·BC=AC·BD，這就是著名的托勒密定理．本刊1996年第2期給出了它的幾種證法，作為續(xù)篇，本文就其數(shù)形轉(zhuǎn)換功能舉例說明如下：1“形”轉(zhuǎn)換為“數(shù)”對(duì)于某些幾何問題，特別是圓內(nèi)接多邊形問題，如果能根據(jù)題設(shè)中隱含的數(shù)量關(guān)系，利用托勒密定理可將“形”轉(zhuǎn)換為“數(shù)”，從而達(dá)到用代數(shù)運(yùn)算來代替幾何推理的目的．例1已知正七邊形A1A2…A7，(第21屆全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)對(duì)于這道競(jìng)賽題，原證較繁，但通過深挖隱含條件，利用托勒密定理可改變整個(gè)解題局面，使證題步驟簡(jiǎn)縮到最少．如圖1，連A1A5、A3A5，則A1A5=A1A4、A3A5=A1A3．在四邊形A1A3A4A5中，由托勒密定理，得A3A4·A1A5＋A4A5·A1A3＝A1A4·A3A5，即A1A2·A1A4＋A1A2·A1A3＝A1A3·A1A4，兩邊同除以A1A2·A1A3·A1A4即得結(jié)論式．例2如圖2，A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓周上，且BC＝CD＝4，AE=6，線段BE和DE的長(zhǎng)都是整數(shù)，則BD的長(zhǎng)等于多少？(1988年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)此題若用其它方法解，往往使人一籌莫展．若運(yùn)用托勒密定理，可使問題化難為易．由△CDE∽△BAE和△CBE∽△DAE，得由托勒密定理，得BD(AE＋CE)=4(AB＋AD)，亦即CE(AE＋CE)＝16．設(shè)CE=x，整理上式，得x2＋6x－16＝0．解得x＝2(負(fù)值已舍)，故BE·DE＝CE·AE＝12．∵BD＜BC＋CD＝8，例3一個(gè)內(nèi)接于圓的六邊形，其五個(gè)邊的邊長(zhǎng)都為81，AB是它的第六邊，其長(zhǎng)為31，求從B出發(fā)的三條對(duì)角線長(zhǎng)的和．(第九屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)原解答過程冗長(zhǎng)．若通過托勒密定理的橋梁作用，把“形”轉(zhuǎn)換為“數(shù)”，可使問題化繁為簡(jiǎn)．如圖3，設(shè)BD=a，BE=b，BF＝c，連AC、CE、AE，則CE＝AE＝BD＝a，AC=BF＝c．在四邊形BCDE中，由托勒密定理，得81b＋812＝a2①同理81b＋31·81=ac②31a＋81a=bc③解①、③、③組成的方程組，得a＝135，b＝144，c＝105故a＋b＋c=384．2“數(shù)”轉(zhuǎn)換為“形”對(duì)于某些代數(shù)問題，若結(jié)構(gòu)與托勒密定理相似，通過構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形，可把“數(shù)”轉(zhuǎn)換為“形”，然后利用“形”的性質(zhì)，使問題得到解決．這種解法構(gòu)思巧妙，方法獨(dú)特，富于創(chuàng)新，出奇制勝．例4解方程若按常規(guī)方法解這個(gè)無理方程，過程繁冗．若由方程的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到托勒密定理，則構(gòu)造直徑AC=x(x≥11)的圓及圓內(nèi)接四邊形ABCD，使BC=2，CD=11，如圖4，于是由托勒密定理，得在△BCD中，由余弦定理，得經(jīng)檢驗(yàn)x=14是原方程的根．求證：a2＋b2＝1．這道名題已有多種證法，而且被視為用三角換無法解代數(shù)問題的典范．下面再給出一各幾何證法．易知0≤a、b≤1且a、b不全為零．當(dāng)a、b之一為零時(shí)，結(jié)論顯然成立．當(dāng)a、b全不為零時(shí)，由已知等式聯(lián)想到托勒密定理，作直徑AC＝1的圓及圓內(nèi)接四與已知等式比較，得BD＝1，即BD也為圓的直徑，故a2＋b2=1例6設(shè)a＞c，b＞c，