人教課標(biāo)實驗B版-必修4-平面向量-向量的線性運算-向量數(shù)乘【全國一等獎】

電子課文·實數(shù)與向量的積

1．實數(shù)與向量的積已知非零向量a，我們作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)．由圖5-15可知，=++=a+a+a，我們把a(bǔ)+a+a記作3a，即=3a．顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即|3a|=3|a|．同樣，由圖5-15可知，=(-a)+(-a)+(-a)，我們把(-a)+(-a)+(-a)記作-3a，即=-3a．顯然-3a的方向與a的方向相反，-3a的長度是a的長度的3倍，即|-3a|=3|a|．一般地，實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|=|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；λ=0時，λa=0．根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義，可以驗證下面的運算律．設(shè)λ、μ為實數(shù)，那么例1

計算：(1)(-3)×4a；(2)3(a+b)-2(a-b)-a；(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c)．解：(1)原式=(-3×4)a=-12a；(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b；(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c．下面我們研究向量共線的充要條件．對于向量a(a≠0)、b，如果有一個實數(shù)λ，使b=λa，那么由實數(shù)與向量的積的定義知，a與b共線．反過來，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的μ倍，即|b|∶|a|=μ，那么當(dāng)a與b同方向時，有b=μa；當(dāng)a與b反方向時，有b=-μa．也就是說，如果a(a≠0)與b共線，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b=λa．因此，我們得到下面的定理．定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b=λa．例2

如圖5-16，已知=3，=3．試判斷與否共線．解：∴與共線．練習(xí)

1．任畫一向量e，求作向量a=4e，b=-4e．3．把下列各小題中的向量b表示為實數(shù)與向量a的積：(1)a=3e，b=6e；(2)a=8e，b=-14e；4．判斷下列各小題中的向量a與b是否共線；(l)a=-2e，b=2e；(2)a=e1-e2，b=-2e1+2e2；(4)a=e1+e2，b=2e1-2e2，且e1、e2共線．2．平面向量基本定理如圖5-17，設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量，我們研究a與e1、e2之間的關(guān)系．在平面內(nèi)任取一點O，作=e1，=e2，=a．過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于M；過點C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于N．則有且只有實數(shù)λ1、λ2使得=λ1e1，=λ2e2．由于=+，所以a=λ1e1+λ2e2．也就是說，任一向量a都可表示成λ1e1+λ2e2的形式．于是得到下面的定理．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．例3

已知向量e1、e2(圖5-18(1))，求作向量+3e2．作法：1．如圖5-18(2)，任取一點O，作=，=3e2．2．OACB．于是就是所求作的向量．例4

如圖5-19，ABCD的兩條對角線相交于點M，且=a，=b，用a