正弦定理和余弦定理講解

.z.年級高一學(xué)科數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)題正弦定理和余弦定理編稿老師褚哲一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，并能應(yīng)用這些公式解斜三角形.2.能正確理解實(shí)際問題中仰角、俯角、視角、方位角及坡度、經(jīng)緯度等有關(guān)名詞和術(shù)語的確切含義.3.能熟練應(yīng)用正、余弦定理及相關(guān)公式解決諸如測量、航海、天體運(yùn)動、物理、幾何等方面的問題.4.在解決實(shí)際問題時，能準(zhǔn)確理解題意，分清已知和未知，并能把這些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)分析解決實(shí)際問題的能力.二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：正、余弦定理及其證明；用正弦定理、余弦定理解三角形.難點(diǎn)：定理的推導(dǎo)；從實(shí)際問題中抽取出數(shù)學(xué)模型.三、考點(diǎn)分析本章是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量等知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何解三角形的.正、余弦定理是我們學(xué)習(xí)三角形相關(guān)知識的延續(xù)和發(fā)展，這些定理進(jìn)一步揭示了三角形邊與角之間的關(guān)系，在生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用，是我們求角三解形的重要工具，本章內(nèi)容經(jīng)常會與三角部分結(jié)合起來綜合考查，難度中等，各種題型均有可能出現(xiàn).1.正弦定理（1）正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即在中（其中R為外接圓半徑），上式對任意三角形均成立.（2）利用正弦定理可以解決如下有關(guān)三角形的問題：①已知三角形的兩角和任一邊，求三角形的其他邊與角；②已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求三角形的其他邊和角.2.余弦定理（1）余弦定理：三角形任一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即在中，余弦定理還有另一種形式：若令，則，這就是勾股定理.（2）利用余弦定理，可以解決以下兩類三角形的相關(guān)問題：①已知三邊，求三個角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.3.在解三角形問題時，須掌握的三角關(guān)系式在中，以下的三角關(guān)系式，在解答有關(guān)的三角形問題時經(jīng)常用到，同學(xué)們要記準(zhǔn)、記熟，并能靈活地加以運(yùn)用.（1）；（2），；（3），；（4），，.4.實(shí)際應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語（1）仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角.（2）方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角.（3）方位角：從指定方向線順時針到目標(biāo)方向線的水平角.（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).5.須熟悉的三角形中的有關(guān)公式解斜三角形時主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理，有時也會用到周長公式和面積公式，比如：（為三角形的周長）（表示邊上的高）（可用正弦定理推得）（為內(nèi)切圓半徑）此處還須熟悉兩角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式.6.關(guān)于已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形的討論已知兩邊和其中一邊的對角，不能唯一確定三角形的形狀，解這類三角形問題的過程中將出現(xiàn)無解、一解和兩解的情況，應(yīng)分情況予以討論，圖1與圖2即表示了在中，已知、和時解三角形的各種情況當(dāng)為銳角時，當(dāng)為直角或鈍角時知識點(diǎn)一：正弦定理與余弦定理例1：已知ABC中，A，，求思路分析：可通過設(shè)一參數(shù)k(k>0)使，證明出即可.解題過程：設(shè)則有，，從而==又，所以=2解題后反思：ABC中，等式恒成立.（1）定理的表示形式：；或，，（2）正弦定理的應(yīng)用*圍：①已知三角形的兩角和任一邊，求其他兩邊及一角；②已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊及角.例2：在ABC中，已知，，，求b及A的值.思路分析：本題的已知條件顯然符合余弦定理求解的條件.解題過程：∵=cos45°==8∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos∴.解法二：∵，又∵＞2.4+1.4=3.8，＜∴＜，即＜＜∴解題后反思：使用解法二時應(yīng)注意確定A的取值*圍.例3：在△ABC中，已知a=，b=，B=45°，求A、C及c.思路分析：這是一道已知兩邊及一邊的對角解三角形的問題，可用正弦定理求解，但先要判定△ABC是否有解，有幾個解，亦可用余弦定理求解.解題過程：∵B=45°<90°，且b<a，∴△ABC有兩解：由正弦定理得：sinA=，∴A=60°或120°.①當(dāng)A=60°時，C=75°c=.②當(dāng)A=120°時，C=15°c=.故A=60°，C=75°，c=或A=120°，C=15°，c=.解題后反思：因sinA=sin(π－A)，故在解三角形中要考慮多種情況，靈活使用正、余弦定理，關(guān)鍵是將"條件”與情況對應(yīng).知識點(diǎn)二：三角形中的幾何計算例4：已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圓半徑為.（1）求∠C；（2）求△ABC面積的最大值.思路分析：利用正、余弦定理可以進(jìn)行邊角互化，解題時要注意有意識地進(jìn)行邊角關(guān)系的統(tǒng)一.解題過程：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB2（－）=（a－b）.又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==.又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+.∴當(dāng)2A=120°，即A=60°時，Sma*=.解題后反思：求最值往往是先建立函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)的方法去求解.例5：在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，.（1）求角A的度數(shù)；（2）若a=，b+c=3，求b和c的值.思路分析：在三角形的求解中，會經(jīng)常用到，顯然把轉(zhuǎn)化成可是解題過程更為簡便.解題過程：（1）由及，得：，即，， ，（2）由余弦定理得：，，.，代入上式得：由得：或.解題后反思：正弦定理和余弦定理在解斜三角形中應(yīng)用得比較廣泛，應(yīng)熟練掌握這些定理.此外，還須熟悉兩角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式.知識點(diǎn)三：應(yīng)用性問題例6：如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=0.1km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離（計算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449）思路分析：解斜三角形的問題時，通常要根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得出所要求的量，從而得到實(shí)際問題的解.解題過程：在△ADC中，∠DAC=30°，∠ADC=60°－∠DAC=，所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，在△ABC中，即AB=，因此，BD=故B，D的距離約為0.33km.解題后反思：利用正弦定理和余弦定理解三角形的常見問題有：測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.解三角形的相關(guān)題目時應(yīng)根據(jù)已知與未知條件，合理選擇使用正、余弦定理，使解題過程簡潔，并達(dá)到算法簡煉，算式工整、計算準(zhǔn)確.解斜三角形應(yīng)用題的步驟：①準(zhǔn)確理解題意，分清已知和未知條件，準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如仰角、俯角、視角、方向角、方位角及坡度、經(jīng)緯度等；②根據(jù)題意畫出圖形；③將要求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識建立數(shù)學(xué)模型，然后正確求解，最后作答.（答題時間：45分鐘）一、選擇題1.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，則B等于（）A.30° B.45° C.60° D.120°2.在△ABC中，a＝10，B=60°，C=45°，則c等于（）A. B. C. D.3.在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，則A等于（）A.30° B.60° C.60°或120° D. 30°或150°4.在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情況是（）A.無解 B.一解 C.兩解 D.不能確定5.在△ABC中，已知，則角A為（）A. B. C. D.或6.在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形二、填空題7.在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，則________.8.在△ABC中，150°，則b＝________.9.在△ABC中，A＝60°，B＝45°，，則a＝______；b＝________.10.已知△ABC中，121°，則此三角形解的情況是________.11.已知三角形兩邊長分別為1和，第三邊上的中線長為1，則三角形的外接圓半徑為________.12.在△ABC中，，則△ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)是________.三、解答題13.在△ABC中，已知，A＝45°，在BC邊的長分別為20，，5的情況下，求相應(yīng)角C的度數(shù).14.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的兩個根，且.求：（1）角C的度數(shù)；（2）AB的長度.15.在△ABC中，證明：.16.在△ABC中，，cosC是方程的一個根，求△ABC周長的最小值.17.在△ABC中，若.（1）判斷△ABC的形狀；（2）在上述△ABC中，若角C的對邊，求該三角形內(nèi)切圓半徑的取值*圍.一、選擇題題號123456答案CBCBCD二、填空題7. 8.7 9.，10.無解 11.1 12.120°三、解答題13.解：由正弦定理得