高等數(shù)學(xué)習(xí)題冊部分答案及解析

高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)nn1limnxalimxa，并xlim1.對于數(shù)列，試證明x2k2k-1nnnn1(-1)(11)極限不存在。以此說明nn解：充分性顯然成立必要性limxa對0,k0,當(dāng)kk時，有x-a2k112k-1n同理k0,當(dāng)kk時，有x-a成立，取Kmax{k,k},2當(dāng)kK時有x-a和x-a，取N2K，當(dāng)nN時，22k122k-12k有x-a成立，limxlimxalimxa得證。n當(dāng)n2k時，x11,limx1,當(dāng)n2k-1時，x-(11)n2k2k-1nnnn2knnnnlimx-1,極限不存在。2k-1n2.對于數(shù)列，試證明a。alimUnlimUUn1nnnn證明：limUa,對于0,N0,當(dāng)nN時，有U-a成立nnnU-aU-aU-a成立limUannnnn1ax131)1,則a（A）3.若lim(x3x1A.1B.-1C.0D.都不對理學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展中心高等數(shù)學(xué)tanxsinx4.limsin2xx0lim1cosxsin2xx0x2sin2lim2sin2xx0sinxlim2*(11)*2)2(x2sinx42xx025.lim(xex)2xx0lim[ex(1x)]2xexx0e2lim2xex[(1)x]exexx0e4P36.設(shè)數(shù)列x滿足：x0,x12(x1),(n1,2,),證明該數(shù)列收斂，并求xlimxn1n1nnnn證明：x1(x1)1成立，2xn1nn11又x-x(-x)0(n2xn1nnn從第二項起，若x1,則x遞1nx從第二項起單調(diào)有界，xnnlim若x1,則x1,該數(shù)列收斂，n1x7.已知f(0)0,下列哪個條件可以得到f(x)在x0處連續(xù)?(B)理學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展中心高等數(shù)學(xué)A.limf(cosx-1)0x0f(sinx)0f(ex2-1)0limB.x0limC.x0D.limf(1)0nx0f(x)f(x)f(x）8.設(shè)f(x）在[a,b]上連續(xù)，axxxb,證明存在c(a,b)使得f(c)1233123f(x)f(x)f(x）證明：f(x)在(a,b)上連續(xù)，f(x)必能在[a,b]上取得最大值M與最小值m間的1233即c(a,b),使得f(c)f(x)f(x)f(x）.12339.判斷：設(shè)f,若在點xx可導(dǎo)，在點xx不可導(dǎo)，則f在點xx不可導(dǎo)000正確。假設(shè)f在xx處可導(dǎo)，則f-可導(dǎo)，即可導(dǎo)，與在點xx不可導(dǎo)矛盾，00假設(shè)不成立f在點xx處不可導(dǎo)。010.求導(dǎo)yf2(ex)f(lnx)P5y'2f(ex)exf'(ex)f(lnx)1f'(lnx)f2(ex)xdy211.求由方程y1xey所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)dx2ey解：兩邊同時求導(dǎo)yeyyeyxy''1-eyx兩邊取對數(shù)lny'y-ln(1-eyx)'1y'eyxey'求導(dǎo)y''y'y1-exye2ye2yy''(1-eyx)2(1-eyx)312.證明方程2x-x21有且只有三個實數(shù)根理學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展中心高等數(shù)學(xué)證明：令f(x)2x-x2-1,假設(shè)方程有四個根為xxxx,則有f(x)f(x)123412f(x)f(x)0,f(x)在R上連續(xù)可導(dǎo)，必存在(x,x),(x,x),(x,x)233341122344122使f'()f'()f'()0,f'(x)2xlnx-2x在R上連續(xù)可導(dǎo)，必存在(,)135(,)使f''()f''()0f''(x)2xln22-2在R上連續(xù)可導(dǎo),必存在5234(,)使f'''()0,f'''(x)2xln320假設(shè)不成立。6456f(x)0至多有三個根，又f(0)f(1)0,且f(4)0,f(5)0,f(x)至少有3個根綜上，該方程有且只有三個實數(shù)根。2,f(x)F(x)arctanxxx(1)13.設(shè)F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，且F(1)4,求f(x).(x)dx=F(x)dF(x)=12F∫(x)+C∫∫解：f(x)F(x)dx=F(x)F'2arctanx∫f(x)F(x)dx=∫x(1+x)dx,令t=x?x=t2∫2arctantdarctant=(arctant)2+C∴F2(x)=(arctanx)2+C代入F(1)=2π得C=042∴F(x)=2arctanx∴f(x)=-2(1+x)x14.數(shù)列{}有界，=0，則limyx=0.Xlimynnnnnn（附：數(shù)列極限定義的“ε-N”語言：對任一給定的正數(shù)ε若存在正恒有<ε，則稱A為數(shù)列的極限。）XAX整數(shù)N，使當(dāng)n>N時，nn證明：{Xn}有界，則M，使|Xn|M又limy=0，nn0，，當(dāng)n＞N時N有=y0yMnn從而此時有：?MxyMnnyx=0..nnlimn理學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展中心高等數(shù)學(xué)limcosxcot15.（指數(shù)有二次方，底數(shù)卻為一次方，需統(tǒng)一）2xx0cos2xlim=cos2xx02sin2x1lim==?cos2x1sinx2sin2x2x0cos2xlimx01321sinx2sin2xx0limcos2x=e21=e2lim（利用幾個基本極限中，xlim1xe）.1x110xxx16.設(shè)f=，若f在點x=x可導(dǎo)，則,在x=x處都可導(dǎo)()00證明：令x1xx1x又f=2xf=2x，在x=0處可導(dǎo)但,在x=0處無意義，即不可導(dǎo)（注意：兩函數(shù)相加后定義域可能改變）17.討論下列等式是否成立arcsin（sinx）=x（）對于y=sinx，xR理學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展中心高等數(shù)學(xué)而對于arcsiny=x，x,22（注意：等式是否成立，不僅要看左右值域是否相等，還要考慮左右定義域的大小是否相同）的一個有界區(qū)間為（C）18.函數(shù)=fxln5x1A.(-1)B.(-1)，0，555C.(0,1)5D.(1)，5（注：“有界”指的是值域在一個范圍內(nèi),即:f(x)M）導(dǎo)數(shù)，則在處連續(xù)fxx19.試證：若在處存在左右0fxx0limfxfx令fxa,0證：xx0xx00limfxxx0fxfxb0xx00limlimfxfx?xxa00fxfx0xxxxxx00000limfxfxlimfxfxxx?xxb000xx0xx0000limlimfxfxfxxx0xx00fx在x處連續(xù)0（證連續(xù)：證明左右極限存在且等于）fx0理學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展中心高等數(shù)學(xué)20.若f（x）+fˊ(x)＞0，證明：y=f（x）與x軸至多有一個交點令F（x）=則Fˊ(x)=(f(x)+fˊ（x）)exfxex1)反證法：假設(shè)有兩個或