安徽省蕪湖市中小學(xué)校2023年數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點.已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A．8 B．6 C．4 D．22．設(shè)A、B是非空集合，定義：且.已知，，則等于（）A． B． C． D．3．某校高中三個年級人數(shù)餅圖如圖所示，按年級用分層抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中高一年級學(xué)生有8人，則樣本容量為（）A．24 B．30 C．32 D．354．對于復(fù)數(shù)，給出下列三個運算式子：（1），（2），（3）.其中正確的個數(shù)是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的最大值為，周期為，給出以下結(jié)論：①的圖象過點；②在上單調(diào)遞減；③的一個對稱中心是；④的一條對稱軸是．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，并且滿足，當(dāng)時，，則（）A． B． C． D．8．某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則該生產(chǎn)廠家獲取的最大年利潤為（）A．300萬元 B．252萬元 C．200萬元 D．128萬元9．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高和底面邊長均為，則該球的體積為A． B． C． D．10．已知向量，若，則（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列的前項和為，，則“”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．若關(guān)于x的方程|x4－x3|＝ax在R上存在4個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．東漢·王充《論衡·宜漢篇》：“且孔子所謂一世，三十年也.”，清代·段玉裁《說文解字注》：“三十年為一世.按父子相繼曰世”.“一世”又叫“一代”，到了唐朝，為了避李世民的諱，“一世”方改為“一代”，當(dāng)代中國學(xué)者測算“一代”平均為25年.另據(jù)美國麥肯錫公司的研究報告顯示，全球家庭企業(yè)的平均壽命其實只有24年，其中只有約的家族企業(yè)可以傳到第二代，能夠傳到第三代的家族企業(yè)數(shù)量為總量的，只有的家族企業(yè)在第三代后還能夠繼續(xù)為股東創(chuàng)造價值.根據(jù)上述材料，可以推斷美國學(xué)者認(rèn)為“一代”應(yīng)為__________年．14．以下個命題中，所有正確命題的序號是______.①已知復(fù)數(shù)，則；②若，則③一支運動隊有男運動員人，女運動員人，用分層抽樣的方法從全體運動員中抽取一個容量為的樣本，則樣本中男運動員有人；④若離散型隨機變量的方差為，則.15．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍______．16．已知球O的半徑為R，點A在東經(jīng)120°和北緯60°處，同經(jīng)度北緯15°處有一點B，球面上A，B兩點的球面距離為___________；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某地隨著經(jīng)濟的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲蓄存款（年底余額），如下表1：年份x20112012201320142015儲蓄存款y（千億元）567810為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，得到下表2：時間代號t12345z01235（Ⅰ）求z關(guān)于t的線性回歸方程；（Ⅱ）通過（Ⅰ）中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；（Ⅲ）用所求回歸方程預(yù)測到2020年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)多少？（附：對于線性回歸方程，其中）18．（12分）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為正方形，平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的大小．19．（12分）已知拋物線：上一點到其準(zhǔn)線的距離為1．（1）求拋物線的方程；（1）如圖，，為拋物線上三個點，，若四邊形為菱形，求四邊形的面積．20．（12分）某公園設(shè)有自行車租車點，租車的收費標(biāo)準(zhǔn)是每小時元(不足一小時的部分按一小時計算)．甲、乙兩人各租一輛自行車，若甲、乙不超過一小時還車的概率分別為，一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為，兩人租車時間都不會超過三小時．（1）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知函數(shù)(其中a，b為常數(shù)，且，)的圖象經(jīng)過點，．(1)求的解析式；(2)若不等式在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）如圖，已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，．（1）求直線與直線所成的角的大??；（2）求四棱錐的側(cè)面積；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：如圖，設(shè)拋物線方程為，交軸于點，則，即點縱坐標(biāo)為，則點橫坐標(biāo)為，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦點到準(zhǔn)線的距離為4，故選B.考點：拋物線的性質(zhì).2、A【解析】求出集合中的函數(shù)的定義域得到：，即可化為或解得，即，則故選3、C【解析】分析：本題考查的知識點是分層抽樣，根據(jù)分層抽樣的方法，由樣本中高一年級學(xué)生有8人，所占比例為25%，即可計算.詳解：由分層抽樣的方法可設(shè)樣本中有高中三個年級學(xué)生人數(shù)為x人，則，解得：.故選：C.點睛：分層抽樣的方法步驟為：首先確定分層抽取的個數(shù)，分層后，各層的抽取一定要考慮到個體數(shù)目，選取不同的抽樣方法，但一定要注意按比例抽取，其中按比例是解決本題的關(guān)鍵.4、D【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得（1）正確；根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計算可得到（2）正確；根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算法則可判斷（3）正確，從而可得結(jié)果.詳解：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由三角形兩邊之和大于第三邊可得，（1）正確；設(shè)，則，，（2）正確；根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運算法則可知，（3）正確，即正確命題的個數(shù)是，故選D.點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)模的公式、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)乘法的運算法則，意在考查基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，以及綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力，屬于難題.5、C【解析】

運用三角函數(shù)的輔助角公式和周期公式，可得a，，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，計算可得正確結(jié)論的個數(shù)．【詳解】函數(shù)的最大值為，周期為，

可得，可得，可得，

則，

則，正確；

當(dāng)，可得，

可得在上單調(diào)遞減，正確；

由，則錯誤；

由，

可得正確．

其中正確結(jié)論的個數(shù)為1．

故選：C．

【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，注意運用輔助角公式和周期公式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，考查運算能力，屬于中檔題．6、C【解析】

先判斷出函數(shù)為奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，然后把不等式變形為，再利用單調(diào)性求解即可．【詳解】由題意得，函數(shù)的定義域為R．∵，∴函數(shù)為奇函數(shù)．又根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．由得，∴，解得，∴不等式的解集為．故選C．【點睛】解答本題的關(guān)鍵是挖掘題意、由條件得到函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解，這是解答抽象不等式（即不知表達(dá)式的不等式）問題的常用方法，考查理解和應(yīng)用能力，具有一定的難度和靈活性．7、D【解析】

先由題得出函數(shù)的周期，再將變量調(diào)節(jié)到范圍內(nèi)進(jìn)行求解．【詳解】因為，所令，則，所以可得，即，所以函數(shù)的周期為，則，又因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，所以故選D【點睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，包括周期性，奇偶性，解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的周期，屬于一般題．8、C【解析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的最大值，即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，所以，當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)時，有最大值，此時最大值為200萬元，故選C.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，其中解答中熟記函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，準(zhǔn)確判定函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】分析：設(shè)球的半徑為R,再根據(jù)圖形找到關(guān)于R的方程，解方程即得R的值，再求該球的體積.詳解：設(shè)球的半徑為R,由題得所以球的體積為.故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查球的內(nèi)接幾何體問題和球的體積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和空間想象能力.(2)解題的關(guān)鍵是從圖形中找到方程.10、C【解析】

首先根據(jù)向量的線性運算求出向量，再利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列出方程，即可求出的值．【詳解】因為，，所以，因為，所以，即，解得或，又，所以．故選：C．【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】

先令，求出，再由時，根據(jù)，求出，結(jié)合充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，時，，，數(shù)列是等比數(shù)列；當(dāng)數(shù)列是等比數(shù)列時，，，，所以，是充分必要條件。故選C【點睛】本題主要考查充分必要條件的判定，熟記概念，以及數(shù)列的遞推公式即可求解，屬于?？碱}型.12、A【解析】

根據(jù)方程和函數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】當(dāng)x=0時，0=0，∴0為方程的一個根．當(dāng)x＞0時，方程|x4﹣x3|=ax等價為a=|x3﹣x2|，令f（x）=x3﹣x2，f′（x）=3x2﹣2x，由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0得x＜0或x＞，∴f（x）在(0,)上遞減，在上遞增，又f（1）=0，∴當(dāng)x=時，函數(shù)f（x）取得極小值f（）=﹣，則|f（x）|取得極大值|f（）|=，∴設(shè)的圖象如下圖所示，則由題可知當(dāng)直線y=a與g（x）的圖象有3個交點時0＜a＜，此時方程|x4﹣x3|=ax在R上存在4個不同的實根，故．故答案為：A【點睛】（1）本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點，其一是分離參數(shù)得到a=|x3﹣x2|，其二是利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的圖像.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解析】

設(shè)美國學(xué)者認(rèn)為的一代為年，然后可得出壽命在、、、的家族企業(yè)的頻率分別為、、、，然后利用平均數(shù)公式列方程解出的值，即可得出所求結(jié)果．【詳解】設(shè)美國學(xué)者認(rèn)為的一代為年，然后可得出壽命在、、、的家族企業(yè)的頻率分別為、、、，則家族企業(yè)的平均壽命為，解得，因此，美國學(xué)者認(rèn)為“一代”應(yīng)為年，故答案為.【點睛】本題考查平均數(shù)公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵要審清題意，將題中一些關(guān)鍵信息和數(shù)據(jù)收集起來，結(jié)合相應(yīng)的條件或公式列等式或代數(shù)式進(jìn)行求解，考查運算求解能力，屬于中等題．14、①③④【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的模的運算可知，①正確；代入，，所得式子作差即可知②正確；利用分層抽樣原則計算可知③正確；根據(jù)方差的性質(zhì)可知④正確.【詳解】①，則，①正確；②令，則；令，則，②錯誤；③抽樣比為：，則男運動員應(yīng)抽取：人，③正確；④由方差的性質(zhì)可知：，④正確.本題正確結(jié)果：①③④【點睛】本題考查命題的真假性的判斷，涉及到復(fù)數(shù)模長運算、二項式系數(shù)和、分層抽樣、方差的性質(zhì)等知識，屬于中檔題.15、【解析】

函數(shù)在上單調(diào)遞增，等價于在恒成立，再利用最值法運算即可.【詳解】解：因為，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，即在恒成立，又當(dāng)時，取最小值，即，故答案為：.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，重點考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.16、；【解析】

根據(jù)緯度差可確定，根據(jù)扇形弧長公式可求得所求距離.【詳解】在北緯，在北緯，且均位于東經(jīng)兩點的球面距離為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查球面距離的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過緯度確定扇形圓心角的大小，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）(Ⅲ)1.6千億元【解析】試題分析：（I）將數(shù)據(jù)代入回歸直線方程的計算公式，由此計算的回歸直線方程為；（II），，代入得到；（III）將代入上式，求得存款為千億.試題解析：（I），，，，（II），，代入得到：，即（III），預(yù)測到2020年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)1．6千億元考點：回歸分析.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）（2）以A為原點，如圖所示建立直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面FAE法向量為，則，，19、(1)；(1)或【解析】

（1）利用點在拋物線上和焦半徑公式列出關(guān)于的方程組求解即可．（1）設(shè)出A,C點的坐標(biāo)及直線AC,利用設(shè)而不求和韋達(dá)定理求出AC中點的坐標(biāo)，然后求出B點的坐標(biāo)，利用B在拋物線上以及直線BD和直線AC的斜率互為負(fù)倒數(shù)列出方程組求出B點坐標(biāo)，然后求出AC的長度，即可求出面積．【詳解】（1）由已知可得，消去得：，拋物線的方程為（1）設(shè)，，菱形的中心當(dāng)軸，則在原點，，，，菱形的面積，解法一：當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線方程：，則直線的斜率為消去得：，，∵為的中點∴，點在拋物線上，且直線的斜率為．解得：，，綜上，或解法二：設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率為，可以設(shè)直線：消去得：∵，解方程：，解得，，接下去同上．【點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，計算量較大，考查計算能力，屬于難題．20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）兩人所付租車費用相同的情況有2,4,6三種，分別算出對應(yīng)概率，相加得到答案.（2）的可能取值為，分別計算概率，寫出