中考復習專題二次函數(shù)經典分類講解復習及練習題含

中考復習專題二次函數(shù)經典分類講解復習及練習題含中考復習專題二次函數(shù)經典分類講解復習及練習題含PAGE/PAGE15中考復習專題二次函數(shù)經典分類講解復習及練習題含PAGE1、二次函數(shù)的定義

定義：y=ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）

定義重點：①a≠0②最高次數(shù)為2③代數(shù)式必然是整式

練習：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5x2，y=3x2-2x3+5,此中是二次函數(shù)的有____個。

m2m2.當m_______時,函數(shù)y=(m+1)χ-2χ+1是二次函數(shù)？

2、二次函數(shù)的圖像及性質

y

0

拋物線

極點坐標

x

y=ax2+bx+c(a>0)

b4acb22a,4a

y

0x

y=ax2+bx+c(a<0)

b4acb22a,4ab直線x

直線x

b

對稱軸

地點

張口方向

增減性

最值

2a

由a,b和c的符號確立

a>0,張口向上

在對稱軸的左邊,y跟著x的增大而減小.

在對稱軸的右邊,y跟著x的增大而增大.當xb時,y最小值為4acb22a4a

2a

由a,b和c的符號確立

a<0,張口向下

在對稱軸的左邊,y跟著x的增大而增大.在對稱軸的右邊,y跟著x的增大而減小.當xb時,y最大值為4acb22a4a

例2：已知二次函數(shù)y1x232x21）求拋物線張口方向，對稱軸和極點M的坐標。

2）設拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，求C，A，B的坐標。

3）x為什么值時，y隨的增大而減少，x為什么值時，y有最大（小）值，這個最大（?。┲凳嵌嗌伲?/p>

4）x為什么值時，y<0？x為什么值時，y>0？

3、求拋物線解析式的三種方法1、一般式：已知拋物線上的三點，平時設解析式為________________y=ax2+bx+c(a≠0)2,極點式：已知拋物線極點坐標（h,k），平時設拋物線解析式為_______________求出表達式后化為一般形式.y=a(x-h)2+k(a≠0)3,交點式:已知拋物線與x軸的兩個交點(x1,0)、(x2,0),平時設解析式為_____________求出表達式后化為一般形式.y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)練習：依據(jù)以下條件，求二次函數(shù)的解析式。(1)、圖象經過(0，0)，(1，-2)，(2，3)三點；(2)、圖象的極點(2，3)，且經過點(3，1)；(3)、圖象經過(0，0)，(12，0)，且最高點的縱坐標是3。例1已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是2，圖象極點在直線y=x+1上，而且圖象經過點（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函數(shù)的最大值是2

∴拋物線的極點縱坐標為2

又∵拋物線的極點在直線y=x+1上

∴當y=2時，x=1∴極點坐標為（1，2）∴設二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2又∵圖象經過點（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x

4、a，b，c符號的確定

拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：

（1）a的符號：由拋物線的張口方向確立

（2）C的符號：由拋物線與y軸的交點地點確立.

（3）b的符號：由對稱軸的地點確立

（4）b2-4ac的符號：由拋物線與x軸的交點個數(shù)確立

（5）a+b+c的符號：由于x=1時,y=a+b+c,因此a+b+c的符號由x=1時，對應的y值決定。

當x=1時，y>0,則a+b+c>0當x=1時，y<0，則a+b+c<0當x=1時，y=0，則a+b+c=0

(6)a-b+c的符號：由于x=-1時,y=a-b+c,因此a-b+c的符號由x=-1時，對應的y值決定。

當x=-1，y>0,則a-b+c>0當x=-1，y<0,則a-b+c<0當x=-1，y=0,則a-b+c=0

練習１、二次函數(shù)≠0)的圖象以以以下圖，則

A、a<0,b>0,c>0B、a<0,b>0,c<0

C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<0

a、b、c

的符號為（

）

2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象以以以下圖，則a、b、c的符號為（）

A、a>0,b>0,c=0B、a<0,b>0,c=0

C、a<0,b<0,c<0D、a>0,b<0,c=0

3、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象以以以下圖，則a、b、c、△的符號為（）

A、a>0,b=0,c>0,△>0B、a<0,b>0,c<0,△=0

C、a>0,b=0,c<0,△>0D、a<0,b=0,c<0,△<0

嫻熟掌握a，b，c，△與拋物線圖象的關系(上正、下負）(左同、右異)4.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過原點和二、三、四象限，判斷a、b、c的符號情況：a0,b0,c0.

拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過原點,且它的極點在第三象限，

則a、b、c滿足的條件是：a0,b0,c0.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，假如a>0，b<0，c<0，那么這個二次函數(shù)

圖象的極點必在第象限

先依據(jù)題目的要求畫出函數(shù)的草圖，再依據(jù)圖象以及性質確立結果（數(shù)形聯(lián)合的思想）

7.已知二次函數(shù)的圖像以以以下圖，以下結論。⑴a+b+c=0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0

⑷b=2a

此中正確的結論的個數(shù)是（）

A1個B2個C3個D4個

重點：追求思路時，要重視觀察拋物線的張口方向，對稱軸，極點的地點，拋物線與x軸、y軸的交點的地點，注意運用數(shù)形聯(lián)合的思想。

5、拋物線的平移

左加右減，上加下減

練習⑴二次函數(shù)y=2x2的圖象向平移個單位可獲得y=2x2-3的圖象；二次函數(shù)y=2x2的圖象向平移個單位可獲得y=2(x-3)2的圖象。⑵二次函數(shù)y=2x2的圖象先向平移個單位，再向平移個單位可獲得函數(shù)y=2(x+1)2+2的圖象。引申：y=2(x+3)2-4y=2(x+1)2+2（3）由二次函數(shù)y=x2的圖象經過如何平移可以獲得函數(shù)y=x2-5x+6的圖象.y=x2-5x+6(x5)21245)21y=x2y(x24二次函數(shù)與一元二次方程的關系一元二次方程根的情況與b2-4ac的關系我們知道:代數(shù)式b2-4ac關于方程的根起重視點的作用.bb24ac.當b24ac0時,方程ax2bxc0a0有兩個不相等的實數(shù)根x1,22a當b2ac時方程ax2bxca有兩個相等的實數(shù)根b40,00:x1,2.2a當b24ac0時,方程ax2bxc0a0沒有實數(shù)根二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象和x軸交點的橫坐標，即是對應的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的解。二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點有三種情況:(1)有兩個交點b2–4ac>0(2)有一個交點b2–4ac=0(3)沒有交點b2–4ac<0若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點,則b2–4ac≥0例(1)假如關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根,則m=＿＿＿＿,此時拋物線y=x2-2x+m與x軸有＿＿＿＿個交點.

已知拋物線y=x2–8x+c的極點在x軸上,則c=＿＿＿＿.

(3)一元二次方程3x2+x-10=0的兩個根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函數(shù)y=3x2+x-10與x軸的交點坐標是＿

.

鑒別式：二次函數(shù)圖象

b2-4acy=ax2+bx+c

a≠0）

b2-4ac＞0與x軸有兩個不

同的交點

（x1，0）

（x2，0）

y

x

一元二次方程

ax2+bx+c=0

（a≠0）的根

有兩個不一樣樣的解

x=x1，x=x2

b2-4ac=0與x軸有獨一個y有兩個相等的解交點bx1=x2=b(,0)O2a2axb2-4ac＜0與x軸沒有

交點

沒有實數(shù)根

yx

二次函數(shù)的綜合運用

1.已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同,極點在直線x=1上,且極點到x軸的距離為5,請寫出滿足此條件的拋物線的解析式.

解:拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同a=1或-1

又極點在直線x=1上,且極點到x軸的距離為5,

極點為(1,5)或(1,-5)

因此其解析式為:

(1)y=(x-1)2+5(2)y=(x-1)2-5

(3)y=-(x-1)2+5(4)y=-(x-1)2-5

張開成一般式即可.

2.若a+b+c=0,a0,把拋物線y=ax2+bx+c向下平移4個單位,再向左平移5個單位所到的新拋物線的極點是(-2,0),

求原拋物線的解析式.

解析:

由a+b+c=0可知,原拋物線的圖象經過(1,0)

新拋物線向右平移5個單位,

再向上平移4個單位即得原拋物線

練習題

1．直線y＝3x－1與y＝x－k的交點在第四象限，則k的范圍是（（A）k＜1（B）1＜k＜1（C）k＞1（D）k＞1或k＜133

1kx

）

y3x1，解得21k1【提示】由xk13k因點在第四象限，故＞0，y2y.21∴＜k＜1．3

3k

2

＜0．

【答案】B．

【談論】本題應用了兩函數(shù)圖象交點坐標的求法，聯(lián)合了不等式組的解法、象限內點的坐標符號特色等．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖，則以下各式中成立的個數(shù)是（）b（1）abc＜0；（2）a＋b＋c＜0；（3）a＋c＞b；（4）a＜－．2

（A）1（B）2（C）3（D）4

【提示】由圖象知a＜0，－b＞0，故b＞0，而c＞0，則abc＜0．當x＝1時，y＞0，即a＋c－b＞0；當x＝－1時，y＜0，2a

即a＋c－b＜0．

【答案】B．【談論】本題要綜合運用拋物線性質與解析式系數(shù)間的關系．因a＜0，把（4）a＜－b兩邊同除以a，得1＞－b，即－b22a2a＜1，因此（4）是正確的；也可以依據(jù)對稱軸在x＝1的左邊，判斷出－ba，得a＜－b＜1，兩邊同時乘，知（4）是正確的．2a23．若一元二次方程x2－2x－m＝0無實數(shù)根，則一次函數(shù)y＝（m＋1）x＋m－1的圖象不經過（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

【提示】由＝4＋4m＜0，得m＋1＜0，則m－1＜0，直線過第二、三、四象限．

【答案】A．

【談論】本題綜合運用了一元二次方程根的鑒別式及一次函數(shù)圖象的性質．注意，題中問的是一次函數(shù)圖象

不經過的象限．

24．如圖，已知A，B是反比率函數(shù)y＝的圖象上兩點，設矩形APOQ與矩形MONB的面積為S1，S2，x則（）

（A）S1＝S2（B）S1＞S2（C）S1＜S2（D）上述（A）、（B）、（C）都可能【提示】由于SAPOQ＝|k|＝2，SMONB＝2，故S1＝S2．

【答案】A．

【談論】本題可以推行為：從雙曲線上隨意一點向兩坐標軸引垂線，由這點及兩個垂足和原點構成的矩形的面積都等于|k|．

k2＋15．若點A（1，y1），B（2，y2），C（，y3）在反比率函數(shù)y＝－的圖象上，則（）x

（A）y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3（B）y1＜y2＜y3（C）y1＞y2＞y3（D）y1＞y3＞y2【提示】因－（k2＋1）＜0，且－（k2＋1）＝y(tǒng)1＝2y2＝y(tǒng)3，故y1＜y2＜y3．或用圖象法求解，因－（k2＋1）＜0，且x都大于0，取第四象限的一個分支，找到在y軸負半軸上y1，y2，y3的相應地點即可判斷．【答案】B．k2＋1）＜0．【談論】本題是反比率函數(shù)圖象的性質的應用，圖象法是最常用的方法．在解析時應注意本題中的－（6．直線y＝ax＋c與拋物線y＝ax2＋bx＋c在同一坐標系內大體的圖象是（）

（A）（B）（C）（D）

【提示】兩個解析式的常數(shù)項都為c，表示圖象交于y軸上的同一點，除去（A），（B）．再從a的大小去判斷．

【答案】D．

【談論】本題綜合運用了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質．（B）錯誤的原由是由拋物線張口向上，知a＞0，此時直線必過第一、三

象限．7．已知函數(shù)y＝x2－1840x＋1997與x軸的交點是（m，0）（n，0），則（m2－1841m＋1997）（n2－1841n＋1997）的值是（）（A）1997（B）1840（C）1984（D）1897x2－1840x＋1997＝0的兩個根．因此m2－1840m＋1997【提示】拋物線與x軸交于（m，0）（n，0），則m，n是一元二次方程0，n2－1840n＋1997＝0，mn＝1997．原式＝［（m2－1840m＋1997）－m］［（n2－1840n＋1997）－n］＝mn＝1997．【答案】A．

【談論】本題揭示了二次函數(shù)與一元二次方程間的聯(lián)系，應用了方程的根的定義、根與系數(shù)的關系等知識點，并要靈巧地把所求代數(shù)式進行合適的變形．

8．某鄉(xiāng)的糧食總產量為a（a為常數(shù)）噸，設這個鄉(xiāng)均勻每人據(jù)有糧食為y（噸），人口數(shù)為x，則y與x之間的函數(shù)關系

為（）

（A）（B）（C）（D）

a【提示】糧食總產量必然，則人均據(jù)有糧食與人口數(shù)成反比，即y＝．又由于人口數(shù)不為負數(shù)，故圖象只好是第一象限內的

一個分支．x【答案】D．【談論】本題觀察反比率函數(shù)圖象在實詰問題中的應用．（A）錯在畫出了x＜0時的圖象，而本題中x不可以能小于0．（二）填空題（每題4分，共32分）9．函數(shù)y＝2x1的自變量x的取值范圍是____________．1＋x11【提示】由2x－1≥0，得x≥x的取值范圍．；又x－1≠0，x≠1．綜合可確立12【答案】x≥，且x≠1．210．若點P（a－b，a）位于第二象限，那么點Q（a＋3，ab）位于第_______象限．【提示】由題意得a＞0，a－b＜0，則b＞0．故a＋3＞0，ab＞0．【答案】一．

11．正比率函數(shù)y＝k（k＋1）xk2k1的圖象過第________象限．【提示】由題意得k2－k－1＝1，解得k1＝2，k2＝－1（舍去），則函數(shù)為y＝6x．【答案】一、三．【談論】注意求出的k＝－1使比率系數(shù)為0，應舍去．12．已知函數(shù)y＝x2－（2m＋4）x＋m2－10與x軸的兩個交點間的距離為22，則m＝___________．【提示】拋物線與x軸兩交點間距離可應用公式|a|來求．本題有＝(2m4)24(m210)＝16m56＝22，故m＝－3．【答案】－3．【談論】拋物線與x軸兩交點間距離的公式為，它有著寬泛的應用．|a|13．反比率函數(shù)y＝k的圖象過點P（m，n），此中m，n是一元二次方程x2＋kx＋4＝0的兩個根，那么P點坐標是_____________．x【提示】P（m，n）在雙曲線上，則k＝xy＝mn，又mn＝4，故k＝4．

【答案】（－2，－2）．

【談論】本題是反比率函數(shù)、一元二次方程知識的綜合應用．由題意得出k＝mn＝4是重點．

14．若一次函數(shù)y＝kx＋b的自變量x的取值范圍是－2≤x≤6，相應函數(shù)值y的范圍是－11≤y≤9，則函數(shù)解析式是___________．

112kbk5【提示】當k＞0時，有296kb，解得b6.116kbk5當k＜0時，有292k，解得bb4.55【答案】y＝x－6或y＝－x＋4．22【談論】因k是待定字母，而k的不一樣樣取值，以致線段分布象限不一樣樣樣，自變量的取值與函數(shù)取值的對應關系也就不一樣樣．故本例要分k＞0時自變量最大值對應函數(shù)最大值，與k＜0時自變量最大值對應函數(shù)最小值兩種情況談論．15．公民的月收入超出800元時，超出部分須依法繳納個人收入調理稅，當超出部分不足500元時，稅率（即所納稅款占超出部分的百分數(shù)）相同．某人本月收入1260元，納稅23元，由此可得所納稅款y（元）與這人月收入x（元）(800＜x＜1300)間的函數(shù)關系為____________．23【提示】因1260－800＝460，＝5%，故在800＜x＜1300時的稅率為5%．【答案】y＝5%（x－800）．460【談論】本題是與實詰問題相關的函數(shù)關系式，解題時應注意其實不是每個人月收入的所有都必然納稅，而是超出800元的部分才納稅，故列函數(shù)式時月收入x須減去800．h＝－10t2＋20t，經過_________秒，16．某種火箭的飛機高度h（米）與發(fā)射后游覽的時間t（秒）之間的函數(shù)關系式是火箭發(fā)射后又回到地面．【提示】火箭返回地面，即指游覽高度為0，則－10t2＋20t＝0，故t＝0或t＝20．【答案】20．【談論】注意：t＝0應舍去的原由是此時火箭雖在地面，但未發(fā)射，而不是返回地面．

（三）解答題17．（6分）已知y＝y(tǒng)1＋y2，y1與x成正比率，y2與x成反比率，而且x＝1時y＝4，x＝2時y＝5，求當x＝4時y的值．【解】設y1＝k1x，y2＝k2，則y＝k1x＋k2．xx把x＝1時y＝4，x＝2時y＝5分別代入上式，得

4k1k252k1

解得

k12

k22.

k2，

2∴函數(shù)解析式為y＝2x＋2．x217當x＝4時，y＝2×4＋＝．1742．∴所求的y值為2y1，y2與x的函數(shù)解析式．注意兩個比率系數(shù)應分別用【談論】本題觀察用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．重點在于正確設出k1，k2表示出來，而不可以僅用一個k值表示．18．（6分）若函數(shù)y＝kx2＋2（k＋1）x＋k－1與x軸只有一個交點，求k的值．【提示】本題要分k＝0，k≠0兩種情況談論．【解】當k＝0時，y＝2x－1，是一次函數(shù)，此時，直線與x軸必有一個交點．當k≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，

此時，＝4（k＋1）2－4k（k－1）

12k＋4＝0．

1∴k＝－．3∴1．所求的k值為0或－30．函數(shù)圖象與x軸有一個交點包【談論】注意，當問題中未指明函數(shù)形式，而最高次項系數(shù)含字母時，要注意這個系數(shù)能否為括兩種情況：當函數(shù)是一次函數(shù)時，直線與x軸必只有一個交點；當函數(shù)是二次函數(shù)時，在＝0的條件下，圖象與x軸只有一個交點．19．（8分）已知正比率函數(shù)y＝4k．（1）當k為什么值時，這兩個函數(shù)的圖象有兩個交點？k為什么值時，這x，反比率函數(shù)y＝x兩個函數(shù)的圖象沒有交點？（2）這兩個函數(shù)的圖象能否只有一個交點？如有，求出這個交點坐標；若沒有，請說明原由．【解】由y＝4x和y＝k，得x4x2－k＝0，＝16k．（1）當＞0，即k＞0時，兩函數(shù)圖象有兩個交點；當＜0，即k＜0時，兩函數(shù)圖象沒有交點；（2）∵比率系數(shù)k≠0，故≠0．∴兩函數(shù)圖象不可以能只有一個交點．20．（8分）如圖是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標系中的一個表示圖，橫斷面的地平線為x軸，橫斷面的對稱軸為y軸，橋拱的D′GD部分為一段拋物線，極點G的高度為8米，AD和AD′是雙側高為5.5米的立柱，OA和OA′為兩個方

向的汽車通行區(qū)，寬都為15米，線段CD和CD′為兩段對稱的上橋斜坡，其坡度為1∶4．（1）求橋拱DGD′所在拋物線的解

析式及CC′的長．（2）BE和B′E′為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應的AB和A′B′為兩個方向的行人及非靈巧車通

行區(qū)，試求AB和A′B′的寬．（3）按規(guī)定，汽車經過橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不可以小于0.4米，今有一大型運

貨汽車，裝載上大型設備后，其寬為4米，車載大型設備的頂部與地面的距離為7米，它能否從OA（OA′）安全經過？請說明

原由．

【解析】欲求函數(shù)的解析式，重點是求出三個獨立的點的坐標，此后由待定系數(shù)法求之．因此重點是由題中線段的長度計算出D、G、D′的坐標，自然也可由對稱軸x＝0解之．至于求CC′、AB、A′B′的數(shù)值，則重點是由坡度的定義求解之；終歸能否安全經過，則只要在拋物線的解析式中令x＝4，求出相應的y值，即可作出明確的判斷．y＝ax2＋c．【解】（1）由題意和拋物線的對稱軸是x＝0，可設拋物線的解析式為由題意得G（0，8），