概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式整理(超全免費版)273

第1章隨機事件及其概率m!Pn(mn)!m從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。（1）排列組合公式（2）加法和乘法原理m!n!(mn)!從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。Cnm加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由由m×n種方法來完成。m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可重復排列和非重復排列（有序）對立事件（至少有一個）（3）一些常見排列順序問題如果一個試驗在相同條件下可以重復進行，而每次試驗的可能結果不止一個，但在進行一次試驗之前卻不（4）隨機試驗和隨機事件能斷言它出現(xiàn)哪個結果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結果稱為隨機事件。在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：①每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。每一個事件稱為基本事件，用來表示。這樣一組事件中的（5）基本事件、樣本空間基本事件的全體，稱為試驗的樣本空間，用表示。和事件一個事件是就由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，?表示事件，它們是的子集。為必然事件，?為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。①關系：AB部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果事件A的組成部分也是事件B的組成AB，BA，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。如果同時有A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。AB所構屬于A而不屬于B的部分成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相（6）事件的關系與運算容或者互斥。基本事件是互不相容的。A-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＂谶\算：結合率：A(BC)=(AB)C∪(BA∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)iAAiABAB，ABAB德摩根率：i1i1設為樣本空間，為事件，AA對每一個事件都有一個實數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：（7）概率的公理化定義1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=11AA3°對于兩兩互不相容的事件，，?有21PAP(A)iii1i1A常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。，n1°,122°P()P()P()1n。12n,設任一事件，它是由A組成的，則有m12（8）古典概型()()()=P()P()P()P(A)=12m12mmA所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)若隨機試驗的結果為無限不可數(shù)并且每個結果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件A，（9）幾何概型（10）加法公式（11）減法公式P(A)LL((A))。其中L為幾何度量（長度、面積、體積）。P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當P(AB)＝0時，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)當BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)B當A=Ω時，P()=1-P(B)P(AB)為事件P(A)>0，則稱定義設A、B是兩個事件，且A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(A)P(B/A)P(AB)P(A)。（12）條件概率（13）乘法公式條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)更一般地，對事件A，A，?P(AAAA，若P(AA?A)>0，則有1)2n12n-1P(A1)P(A|(A3|A1A)P(A|A1AA)1)PA12?n22??n2?n1。①兩個事件的獨立性P(AB)P(A)P(B)ABAB，則稱事件、是相互獨立的。設事件、滿足P(A)0AB若事件、相互獨立，且，則有P(A)P(B)P(B)P(A)P(B|A)P(AB)P(A)ABABABAB若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨立。斥。②多個事件的獨立性（14）獨立性?與任何事件都互設ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。B,B2,,B（15）全概公式設事件1n滿足11°B1,B2,,Bn兩兩互不相容，P(B)0(i1,2,,n)，iAnBi2°，則有i1P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B)P(A|Bn)。nB設事件B1，BA2，?，n及滿足P(Bi)in>0，1，2，?，，BBB1°，2，?，n兩兩互不相容，1AnBP(A)0，，則i2°i1P(B)P(A/B)P(B/A)i，i=1，2，?n。ii（16）貝葉斯公式nP(B)P(A/B)jjj1此公式即為貝葉斯公式。P(B)，（i12P(B/A)，（i12nn，，?，），通常叫先驗概率。，，?，），通常稱為后ii驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。n我們作了次試驗，且滿足AA每次試驗只有兩種可能結果，發(fā)生或不發(fā)生；n次試驗是重復進行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗發(fā)生與否與其他次試驗A發(fā)生與否是互不影響的。An這種試驗稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗。（17）伯努利概型1pq，用P(k)pnAA用表示每次試驗發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為An表示重伯努利試驗中出現(xiàn)k(0kn)次的概率，P(k)Ckpkqnk，k0,1,2,,n。nn第二章隨機變量及其分布X設離散型隨機變量的可能取值為X(k=1,2,k（1）離散型隨機變量的分布律?)且取各個值的概率，即事件(X=X)的概率為kP(X=x)=p，k=1,2,?，kkX則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：Xx,x,,x,|12kP(Xx)p1,p,,p,k。k2顯然分布律應滿足下列條件：p1（1）p0k1,2,，（2）k1kk，。f(x)，對任意實數(shù)，有設F(x)x（2）連續(xù)型隨機變量的分布密度X是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)F(x)f(x)dxx，f(x)X則稱為連續(xù)型隨機變量。X稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：f(x)01°2°。f(x)dx1。1（3）離散與P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx連續(xù)型隨機變量的關系P(Xx)p積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與k在離散型隨機變量理論中所起的作用相類k似。Xx（4）分布函設為隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)F(x)P(Xx)數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。(a,b]F(x)可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機變量落入?yún)^(qū)間（–∞，P(aXb)F(b)F(a)x]內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°0F(x)1,x；xx時，有F(x1)F(x2)；12F(x)2°3°是單調(diào)不減的函數(shù)，即F()limF(x)0，F(xiàn)()limF(x)1；xxF(x0)F(x)，即是右連續(xù)的；°5P(Xx)F(x)F(x0)。F(x)4°對于離散型隨機變量，F(xiàn)(x)px對于連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)f(x)dx。；kxxk（5）八大分0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q布二項分布n在重貝努里試驗中，設事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設為，則AAXpX0,1,2,,n可能取值為。P(Xk)P(k)Ckpkqnq1p,0p1,k0,1,2,,n，，其中nknXnpX~B(n,p)則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。當n1k0.1時，PXk()，，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布kkpq1的特例。X泊松分布設隨機變量的分布律為，，，P(Xk)kek!0,1,20kX~()則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。X泊松分布為二項分布的極限分布（np=λ，n→∞）。11b]上為常數(shù)，即baf(x)均勻分布X設隨機變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，1a≤x≤bf(x),ba0,其他，X則稱隨機變量在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。分布函數(shù)為0，xa,x<a，baa≤x≤bF(x)f(x)dxx1，x>b。x,x當a≤x<x≤b時，X落在區(qū)間（12）內(nèi)的概率為12xxP(xXx)1。2ba12指數(shù)分布x0f(x)ex,,,x00,0指數(shù)分布。其中，則稱隨機變量X服從X的分布函數(shù)為參數(shù)為的1e,F(x)x0,dxn!x0,xe記住積分公式：x<0。nx01X設隨機變量的密度函數(shù)為正態(tài)分布1)2(xx，f(x)e22，20X其中、為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）X~N(,2)分布，記為。f(x)具有如下性質(zhì)：xf(x)的圖形是關于2°當x1°對稱的；1f()時，2為最大值；X~N(,2)X，則的分布函數(shù)為若1)2xe22dt(tF(x)2。。參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為0X~N(0,1)，其密度函數(shù)記為1標準正態(tài)分布，記為1ex22(x)2，x，分布函數(shù)為12xt2dt。(x)e2(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。1Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。2XXN(,2)，則~N(0,1)。如果~x2x1P(xXx)。12X（7）函數(shù)分離散型已知的分布列為x1,x,,x,布X2n，P(Xx),,,,ppp12niYg(X)的分布yg(x)互不相等）如下：列（iig(x1),g(x2),,g(x),YP(Yy)n，p1,p2,,p,in若有某些g(x)相等，則pg(x)相加作為的概率。i應將對應的ii連續(xù)型先利用X的概率密度f(x)寫出Y的分布函數(shù)F(y)＝P(g(X≤y)，再利用變上下限積分的求導公XY式求出f(y)。Y第三章二維隨機變量及其分布1（3）聯(lián)合分設（X，Y）為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)布函數(shù)F(x,y)P{Xx,Yy}稱為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。2{(,)|X()x,Y()y}的概率為函分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件121數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）0F(x,y)1;（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即當x>x時，有F（x,y）≥F(x,y);當y>y時，有F(x,y)≥F(x,y);21212121（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0);（4）F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.xx，yy，（5）對于1212F(x，y)F(x，y)F(x，y)F(x，y)0.22211211（4）離散型P(Xx，Yy)P(xXxdx，yYydy)f(x，y)dxdy與連續(xù)型的關系（5）邊緣分離散型X的邊緣分布為PP(Xx)p(i,j1,2,)布；iiijjY的邊緣分布為PP(Yy)p(i,j1,2,)。jjiji連續(xù)型X的邊緣分布密度為f(x)Xf(x,y)dy；Y的邊緣分布密度為f(y)Yf(x,y)dx.（7）獨立性一般型F(X,Y)=F(x)F(y)XY離散型ppijpij有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=f(x)f(y)XY直接判斷，充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形1（9）二維正設隨機向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為態(tài)分布x22(x)(y21)y111222f(x,y)e2),2(1112212120,0,||1是5個參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，2,其中12,1,N（,,).2122記為（X，Y）～12,由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，2,,2),Y~N(2).2即X～N（11,2),Y~N(但是若X～N（112)，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。2,2（10）函數(shù)分Z=X+YF(z)P(Zz)P(XYz)Z根據(jù)定義計算：布f(x,zx)dx對于連續(xù)型，f(z)＝Z2）。2,21兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（12n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。C，C2i22iiiiiZ=max,min(X,X,XXF(x)，F(xiàn)(x)F(x)，則x2xx1若相互獨立，其分布函數(shù)分別為n12X,?X)1n2nZ=max,min(X,X,?X)的分布函數(shù)為：12nF(x)F(x)F(x)F(x)maxx1x2xnF(x)1[1F(x)][1F(x)][1F(x)]minx1x2xn12分布設n個隨機變量X,X,,X相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，可以證明它們的平方和n12WnX2ii1的分布密度為1n21euf(u)uu0,2nn22u0.0,n的分布，記為W～，其中(n)22我們稱隨機變量W服從自由度為x1exdx.nn220所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。2Y2(n),則ZY~2(nknn).i1分布滿足可加性：設ii2ki1t分布設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，且X~N(0,1),Y~2(n),可以證明函數(shù)XTY/n的概率密度為n12(t).n11t2f(t)2nnn2我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為T～t(n)。t(n)t(n)1F分布X/nX~2(n),Y~2(n)F設，且X與Y獨立，可以證明1的概率密度函數(shù)為Y/n122nn12n1n,y0n122nn1n22yn2111y21f(y)n1nn22220,y0我們稱隨機變量F服從第一個自由度為n，第二個自由度為n的F分布，記為F～f(n,)n.12121F(n,n)1F(n,n)21121第四章隨機變量的數(shù)字特征（1）離散型連續(xù)型一維期望隨機期望就是平均值變量設X是離散型隨機變量，其分布律為設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，P(XxE(X)xf(x)dx)＝p，k=1,2,?,n，kk的數(shù)E(X)nxpk字特（要求絕對收斂）kk1征（要求絕對收斂）Y=g(X)函數(shù)的期望Y=g(X)E(Y)ng(x)pkE(Y)g(x)f(x)dxkk1方差D(X)[xE(X)]f(x)dxD(X)=E[X-E(X)]，D(X)[xE(X)]p222kk標準差k(X)D(X)，矩①對于正整數(shù)k，稱隨機變量X的k①對于正整數(shù)k，稱隨機變量X的k次冪的數(shù)學期望次冪的數(shù)學期望為X的k階原點矩，為X的k階原點矩，記為v,即k記為v,即kxkf(x)dx,ν=E(X)=kxkpik,k=1,2,?.ν=E(X)=kkik=1,2,?.i②對于正整數(shù)k，稱隨機變量X與E②對于正整數(shù)k，稱隨機變量X與E（X）差的k次（X）差的k次冪的數(shù)學期望為X的kk階中心矩，冪的數(shù)學期望為X的記為，即k階中心矩，記為，即kE(XE(X))kkE(XE(X))k.k.=(xE(X))kf(x)dx,，(xE(X))kpi=ik=1,2,?.ik=1,2,?.切比雪夫不等式設隨機變量X具有數(shù)學期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，則對于任意正數(shù)ε，有下列切比雪夫不等式2P(X)2切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率P(X)的一種估計，它在理論上有重要意義。1（2）（1）E(C)=C期望（2）E(CX)=CE(X)的性E(CX)質(zhì)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，nnCE(X)iiiii1i1（4）E(XY)=E(X)，充分條E(Y)件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關。（3）（1）D(C)=0；E(C)=C方差（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)的性（3）D(aX+b)=D(X；)aE(aX+b)=aE(X)+b2質(zhì)（4）D(X)=E2)-E2(X)（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和±Y)=D(XD(X)+D(Y)而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件Y不相關?！?E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無條件成立。成立。（4）常見期望方差B(1,p)0-1分布p(1p)p分布的期望和方差B(n,p)np(1p)二項分布npP()泊松分布1p1G(p)幾何分布pp2MNnNN1nMnMH(n,M,N)超幾何分布1NNab(ba)2均勻分布U(a,b)212112e()指數(shù)分布2N(,2)正態(tài)分布2分布n02nnt分布n2(n>2)（5）期望二維E(X)E(Y)nxpiE(X)xf(x)dxXii1隨機變量nE(Y)yf(y)dyypj的數(shù)字特jYj11征函數(shù)的期望E[G(X,Y)]＝G(x,y)pE[G(X,Y)]＝ijijG(x,y)f(x,y)dxdyij－－方差D(X)[xE(X)]f(x)dxD(X)[xE(X)]ipi22XiD(Y)[xE(Y)]p2jjD(Y)[yE(Y)]f(y)dyY2j協(xié)方差Y，稱它們的二階混合中心矩為X與對于隨機變量X與Y的協(xié)方差或相關矩，記為11或cov(X,Y)，即XYXYE[(XE(X))(YE(Y))].11與記號相對應，XXX與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。YYXY相關系數(shù)對于隨機變量X與Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，則稱XYD(X)D(Y)Y的相關系數(shù)，記作（有時可簡記為）。XY為X與||≤1，當||=1時，稱P(XaYb)1X與Y完全相關：負相關，當1時(a0)，正相關，當1時(a0)，完全相關0時，稱X與Y不相關。而當以下五個命題是等價的：①；0XY②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣XXXYYYYX1混合矩E(XY)對于隨機變量X與Y，如果有kl存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點矩，記為；k+l階混合中心矩記為：kluE[(XE(X))k(YE(Y))l].kl（6）(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);協(xié)方(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii)cov(X+X,Y)=cov(X,Y)+cov(X,Y);差的1212性質(zhì)(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）（i）若隨機變量X與Y相互獨立，則；反之不真。0獨立XY和不（ii）若（X，Y）～N（相關），,,,,212212則X與Y相互獨立的充要條件是X和Y不相關。第五章大數(shù)定律和中心極限定理（1）大數(shù)定律切比雪設隨機變量X，X，?相互獨立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（X）<C(i=1,2,?),則12i夫大數(shù)對于任意的正數(shù)ε，有X定律E(X)11nn1.limPnXnniii1i1特殊情形：若X，X，?具有相同的數(shù)學期望E（X）=μ，則上式成為12I1n1.limPnXnii1伯努利設μ是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的大數(shù)定正數(shù)ε，有律1.plimPnn伯努利大數(shù)定律說明，當試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即0.plimPnn這就以嚴格的數(shù)學形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大設X，X，?，X，?是相互獨立同分布的隨機變量序列，且E（X）=μ，則對于任意的正數(shù)ε有12nn數(shù)定律1n1.limPnXnii11（2）中心極限定理列維－設隨機變量X，X，?相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學期望和方差：12林德伯(),D(X)EXk20(1,2,)，則隨機變量2XN(,)格定理kknnXnkYk1nn的分布函數(shù)F(x)對任意的實數(shù)x，有nnXn1xe2dt.2tklimF(x)limPxk1n2nnn此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗X設隨機變量為具有參數(shù)n,p(0<p<1)的二項分布，則對于任意實數(shù)x,有－拉普n拉斯定XnpnlimPx122xet2dt.理np(1p)n若當N時,Mp(n,k不變)，則（3）二項定理（4）泊松定理NCkCnkNMCnN(1p)nk(N).kCpkMn超幾何分布的極限分布為二項分布。若當n時,np0，則kCkpk(1p)nken(n).k!其中k=0，二項分布