第一課時(shí) 等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式

第一課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三2．1等差數(shù)列第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第一課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三1．理解等差數(shù)列的概念．2．掌握等差數(shù)列的判定方法．3．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用.第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三1．能利用定義判定等差數(shù)列，會由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)(重點(diǎn))2．利用等差數(shù)列解決簡單實(shí)際問題(難點(diǎn))3．三種題型均可涉及，一般為中低檔題.第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三1．?dāng)?shù)列{an}的前4項(xiàng)為－1,1,3,5，則其一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n－3.2．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝5n＋1，則其前5項(xiàng)依次為6,11,16,21,26，第10項(xiàng)為51.3．觀察下面的幾個(gè)數(shù)列：(1)鞋的尺碼，按照國家統(tǒng)一規(guī)定，有22,22.5，23,23.5,24,24.5，…；(2)某月星期日的日期為2,9,16,23,30；(3)一個(gè)梯子共8級，自下而上每一級的寬度(單位：cm)，為89,83,77,71,65,59,53,47.這幾個(gè)數(shù)列有什么共同的特點(diǎn)？第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三1．等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第

項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是

稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)為等差數(shù)列的

，通常用字母

表示．2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是

，也可寫為an＝am＋(n－m)d.2同一個(gè)常數(shù)．公差dan＝a1＋(n－1)d第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三(2)若通項(xiàng)公式變形為an＝dn＋(a1－d)，當(dāng)d≠0時(shí)，可把a(bǔ)n看做自變量n的

函數(shù)，從而等差數(shù)列{an}的圖像為分布于

上的一群孤立的點(diǎn)．一次一條直線第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三答案：

D第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n＋5，則此數(shù)列()A．是公差為2的等差數(shù)列B．是公差為5的等差數(shù)列C．是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列D．是公差為n的等差數(shù)列答案：

A第11頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三3．等差數(shù)列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d＝________.答案：

－64．已知等差數(shù)列13、15、17、……，那么數(shù)列的第1000項(xiàng)為________．答案：

20115．如果數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝2(an＋1)，且a10＝17，求它的通項(xiàng)公式．解析：

∵an＋1＋an＝2(an＋1)，∴an＋1－an＝2.∴{an}是公差為2的等差數(shù)列，又a10＝17，∴a1＋9×2＝17，∴a1＝－1，∴an＝2n－3.第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三若{an}是等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.先由條件求出首項(xiàng)a1和公差d，寫出通項(xiàng)公式，再求a75，也可以利用通項(xiàng)公式的變形公式進(jìn)行求解．第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三[題后感悟]

在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1與公差d是兩個(gè)最基本的元素；有關(guān)等差數(shù)列的問題，如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成有關(guān)a1、d的關(guān)系列方程組求解，但是，要注意公式的變形及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量．

第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三1．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100.(1)求通項(xiàng)公式an；(2){an}中有多少項(xiàng)屬于區(qū)間[－18,18]?第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三(2)由題意，得－18≤－10n＋110≤18，解得9.2≤n≤12.8，∵n∈N＋，∴n＝10,11,12.∴屬于區(qū)間[－18,18]的項(xiàng)有3項(xiàng)，它們是a10，a11，a12.第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三 已知等差數(shù)列{an}：3,7,11,15，…，(1)135,4m＋19(m∈N＋)是{an}中的項(xiàng)嗎？并說明理由．(2)若am，at(m、t∈N＋)是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，則2am＋3at是數(shù)列{an}中的項(xiàng)嗎？并說明你的理由．首先寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式．再判斷所給數(shù)是否與通項(xiàng)公式相符．第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三[解題過程](1)依題意有a1＝3，d＝7－3＝4，∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1.設(shè)an＝4n－1＝135，則n＝34.所以135是數(shù)列{an}的第34項(xiàng)．由于4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N＋，所以4m＋19是數(shù)列{an}的第m＋5項(xiàng)．(2)∵am、at是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．∴am＝4m－1，at＝4t－1.∴2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1)＝4(2m＋3t－1)－1.∵2m＋3t－1∈N＋，∴2am＋3at是{an}中的項(xiàng)．第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三[題后感悟]

一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式代表了這個(gè)數(shù)列中所有項(xiàng)的共同特征，因此，已知數(shù)列中的某項(xiàng)，則它必符合通項(xiàng)公式，反之，要判斷某個(gè)數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng)，只要看它能否表示為通項(xiàng)形式．第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三2．已知等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a61＝217，判斷153是否是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？解析：

方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三解得a1＝－23，d＝4，∴an＝－23＋(n－1)·4＝4n－27.令an＝153，則4n－27＝153，得n＝45∈N＋，∴153是所給數(shù)列的第45項(xiàng)．方法二：∵數(shù)列{an}不是常數(shù)列，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)．假設(shè)153是該數(shù)列的第n項(xiàng)，則(15,33)，(61,217)，(n,153)三點(diǎn)共線．第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三[策略點(diǎn)睛]第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三[題后感悟]

(1)目前證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列的方法有兩種：①定義法：an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n≥1)?{an}為等差數(shù)列或an－an－1＝d(d為常數(shù)，n≥2)?{an}為等差數(shù)列．②通項(xiàng)法：an＝a1＋(n－1)d?{an}是等差數(shù)列．(2)本題對于{an}來說是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的問題，采用了借助等差數(shù)列{bn}進(jìn)行求解的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，這也是由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的基本方法之一．第28頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三 某地區(qū)2004年年底沙漠面積為9×105hm2.地質(zhì)工作者為了解這個(gè)地區(qū)沙漠面積的變化情況．從2005年開始進(jìn)行連續(xù)5年的觀測，并在每年年底將該地區(qū)現(xiàn)有沙漠面積比2004年年底沙漠面積增加數(shù)(單位：hm2)記錄如下表：年份20052006200720082009增加數(shù)(hm2)200040006001799910001第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三(1)如果不采取任何措施，到2019年年底，這個(gè)地區(qū)的沙漠面積將大約變成多少？(2)如果從2010年年初開始，采取措施，每年改造8000hm2，沙漠面積仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，這個(gè)地區(qū)的沙漠面積將小于8×105hm2.由表可看出各年的增加數(shù)比上年增加，增加的面積數(shù)大約都是2000hm2，因此可利用等差數(shù)列來解決．第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三[解題過程](1)從表中數(shù)據(jù)看，各年沙漠面積增加數(shù)量基本相同，即約為2000hm2.設(shè)該地區(qū)從2005年開始，現(xiàn)有沙漠面積比2004年年底沙漠面積增加數(shù)組成數(shù)列{an}．由題意知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝2000，公差d＝2000的等差數(shù)列，則2019年年底沙漠面積比2004年年底沙漠面積增加數(shù)為a15＝2000＋14×2000＝30000故2019年年底這個(gè)地區(qū)沙漠面積大約為9×105＋30000＝9.3×105(hm2)．第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三[題后感悟]

在實(shí)際問題中，若涉及到一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題，可考慮利用數(shù)列方法解決．若這組數(shù)依次成直線上升或遞減，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決．在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí)，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問題．第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三4．甲蟲是行動較快的昆蟲之一．下表記錄了某種類型的甲蟲的爬行速度：(1)你能建立一個(gè)模型，表示甲蟲的爬行距離和時(shí)間之間的關(guān)系嗎？(2)利用建立的模型計(jì)算，甲蟲1min能爬多遠(yuǎn)？它爬行49cm需要多長時(shí)間？時(shí)間t(s)123…？…60距離S(cm)9.819.629.4…49…？第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三1．理解等差數(shù)列的定義需注意的問題(1)注意定義中“從第2項(xiàng)起”這一前提條件的兩層含義，其一，第1項(xiàng)前面沒有項(xiàng)，無法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相吻合；其二，定義中包括首項(xiàng)這一基本量，且必須從第2項(xiàng)起保證使數(shù)列中各項(xiàng)均與其前面一項(xiàng)作差．(2)注意定義中“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”這一運(yùn)算要求，它的含義也有兩個(gè)：其一是強(qiáng)調(diào)作差的順序，即后面的項(xiàng)減前面的項(xiàng)；其二是強(qiáng)調(diào)這兩項(xiàng)必須相鄰．第38頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三(3)注意定義中的“同一常數(shù)”這一要求，否則這個(gè)數(shù)列不能稱為等差數(shù)列．2．判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2且n∈N＋)等價(jià)于{an}是等差數(shù)列．(2)等差中項(xiàng)法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)等價(jià)于{an}是等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式法：an＝kn＋b(k，b為常數(shù)，n∈N＋)等價(jià)于{an}是等差數(shù)列．第39頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三3．關(guān)于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d，要理解公式中an，a1，n，d的含義并掌握以下幾點(diǎn)：(1)確定a1和d是確定通項(xiàng)的一般方法．(2)由方程思想，根據(jù)an，a1，n，d中任何三個(gè)量可求解另一個(gè)量，即知三求一．第40頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三(3)等差數(shù)列與一次函數(shù)的異同點(diǎn)等差數(shù)列一次函數(shù)解析式an＝kn＋b(n∈N＋)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同點(diǎn)定義域?yàn)镹＋，圖像是一系列均勻分布的孤立的點(diǎn)(在同一直線上)定義域?yàn)镽，圖像為一條直線相同點(diǎn)其通項(xiàng)公式與函數(shù)的解析式都是關(guān)于自變量的一次整式，都是最簡單的、也是最基本的(數(shù)列和函數(shù))第41頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三◎已知數(shù)列{an}，a1＝a2＝1，an＝