福建省三明市2019屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

三明市2018-2019學(xué)年第一學(xué)期一般高中期末質(zhì)量檢測(cè)高三理科數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知會(huì)合，，則會(huì)合A.B.C.D.【答案】A【剖析】【剖析】化簡(jiǎn)會(huì)合A，B，爾后求交集即可.【詳解】會(huì)合，所以會(huì)合應(yīng)選：A【點(diǎn)睛】此題察看會(huì)合的運(yùn)算，主假如交集的求法，同時(shí)察看二次不等式的解法，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.若復(fù)數(shù)知足，其中為虛數(shù)單位，則A.B.C.D.5【答案】B【剖析】【剖析】利用復(fù)數(shù)的除法法例化簡(jiǎn)可得進(jìn)而獲得爾后求模即可.【詳解】解：復(fù)數(shù)z知足，故，∴|z|．應(yīng)選：B．【點(diǎn)睛】此題察看復(fù)數(shù)的模的求法，復(fù)數(shù)的運(yùn)算法例的應(yīng)用，察看計(jì)算能力．3.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為A.B.C.2D.4【答案】C【剖析】【剖析】由雙曲線的一條漸近線與直線垂直可得，進(jìn)而獲得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：又雙曲線

的一條漸近線與直線

垂直，即直線

與直線

垂直，∴

，即

2a，∴e應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】此題察看了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中依照條件轉(zhuǎn)變?yōu)閳A錐曲線的離心率的方程，獲得

a,c的關(guān)系式是解得的重點(diǎn)，對(duì)于雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常有有兩種方法：①求出a,c，代入公式②只要要依照一個(gè)條件獲得對(duì)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)變?yōu)閍,c的齊次式，爾后轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)于e的方程(不等式)，解方程

；(不等式)，即可得

e(e的取值范圍

)．4.若實(shí)數(shù)

，知足拘束條件

則

的最大值為A.B.

4C.

7D.

9【答案】

D【剖析】【剖析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面地區(qū)，依照直線平移即可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值．【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面地區(qū)如圖由z＝4x﹣y得y＝4x﹣z，平移直線y＝4x﹣z，由圖象知，當(dāng)直線y＝4x﹣z經(jīng)過(guò)B時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最大，由，解得x，y，z＝4x﹣y的最大值是4應(yīng)選：D．【點(diǎn)睛】此題主要察看線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形聯(lián)合求出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，利用數(shù)形聯(lián)合是解決此題的重點(diǎn)．5.三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，以以下圖的“勾股圓方圖”中，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，若小正方形面積為1，大正方形面積為25，直角三角形中較大的銳角為，則A.2B.C.D.【答案】D【剖析】【剖析】設(shè)BC＝x，AC＝y(tǒng)，由題意列對(duì)于x，y的方程組，求解獲得x，y的值，進(jìn)一步獲得tanθ，張開(kāi)兩角差的正切得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)BC＝x，AC＝y(tǒng)，則，解得．tanθ．∴．應(yīng)選：．【點(diǎn)睛】此題察看三角恒等變換及化簡(jiǎn)求值，察看兩角差的正切，察看平面幾何知識(shí)，是基礎(chǔ)題．6.已知命題，；命題，.則以下是真命題的為A.B.C.D.【答案】B【剖析】【剖析】分別判斷出p，q的真假，進(jìn)而判斷出復(fù)合命題的真假即可．【詳解】判斷命題p的正誤：，顯然是假命題；判斷命題q的正誤：即，顯然是真命題；∴是真命題應(yīng)選：B【點(diǎn)睛】此題察看了復(fù)合命題的判斷，察看對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．7.已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可以能是（）【答案】D【剖析】解：對(duì)于振幅大于1時(shí)，三角函數(shù)的周期為：T=2π/|a|，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．對(duì)于選項(xiàng)A，a＜1，T＞2π，知足函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)選D．8.棱長(zhǎng)為2的正方體被一個(gè)平面截去一部分后獲得一個(gè)幾何體，其三視圖以以下圖，則該幾何體的體積為A.6B.5C.4D.3【答案】C【剖析】【剖析】由已知中的三視圖可得該幾何體，其體積顯然是正方體體積的一半.【詳解】由已知中的三視圖可得：該幾何體是多面體ABCDEFG,其體積顯然是正方體體積的一半，∴該幾何體的體積為應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思慮方法：1、第一看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖；2、察看正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫(huà)出整體，然后再依照三視圖進(jìn)行調(diào)整.9.的張開(kāi)式中的系數(shù)是A.-5B.10C.-15D.25【答案】A【剖析】【剖析】，分兩類狀況利用通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】，的通項(xiàng)公式為，其中r=0,1,2,3的通項(xiàng)公式為，其中r=0,1,2,3,4,5∴張開(kāi)式中的系數(shù)是,應(yīng)選：A【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)張開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常有種類及解題策略(1)求張開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依照條件寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知張開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù).10.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，若上一點(diǎn)知足，則當(dāng)取最小值時(shí)，A.B.C.D.7【答案】B【剖析】【剖析】由條件可知x＞0，y＞0，并可得出x+2y＝1，利用均值不等式可知y＝x=時(shí)有最小值，聯(lián)合即可獲得結(jié)果.【詳解】解：由題意可知，x＞0，y＞0；∵M(jìn)，A，B三點(diǎn)共線，且；∴x+＝1；∴≥5+2=9，當(dāng)，即y＝x=時(shí)取“＝”，即取最小值；，即應(yīng)選：B．【點(diǎn)睛】此題察看向量加法的平行四邊形法例，三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件：，且x+y＝1，基本不等式的運(yùn)用，注意基本不等式等號(hào)建立的條件，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式．11.直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)既在以，，為極點(diǎn)的三角形的邊上，又在曲線上，則知足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A.3B.4C.5D.6【答案】D【剖析】【剖析】由可得或，作出直線系與三角形各邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】由可得或即，∴點(diǎn)在直線系上，又在三角形的邊上，以以下圖：對(duì)直線系來(lái)說(shuō)，當(dāng)k=0時(shí)，與三角形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k=1時(shí)，與三角形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)直線系來(lái)說(shuō)，當(dāng)k=0時(shí)，與三角形的邊有一個(gè)交點(diǎn)B，當(dāng)k=1時(shí)，與三角形的邊有一個(gè)交點(diǎn)A，綜上，知足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6，應(yīng)選：D【點(diǎn)睛】此題察看直線方程的應(yīng)用，察看三角函數(shù)的等價(jià)轉(zhuǎn)變，察看數(shù)形聯(lián)合思想，屬于中檔題.12.若不等式對(duì)隨意恒建立，則實(shí)數(shù)的值為A.1B.2C.3D.4【答案】C【剖析】【剖析】記，，當(dāng)時(shí)，，可猜得是圖像在P點(diǎn)處的公切線.【詳解】記，當(dāng)時(shí)，故P是圖像的公共點(diǎn)，可猜想是圖像在P點(diǎn)處的公切線，由可得,∴在P點(diǎn)處的公切線為：，即，同理可得在P點(diǎn)處的公切線為下面證明：結(jié)構(gòu)，,可知：在上單一遞減，在上單一遞加，∴，即對(duì)隨意恒建立，同理可證：對(duì)隨意恒建立∴即∴應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】此題察看不等式恒建立問(wèn)題，察看函數(shù)的切線問(wèn)題，察看結(jié)構(gòu)函數(shù)，察看函數(shù)的單一性，極值與最值，綜合性較強(qiáng).二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知

是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若

，則

等于__________．【答案】【剖析】【剖析】依照

列方程解出公比

q，代入式子化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)

{an}的公比為

q，∵

，∴

q2＝

q，即

q2﹣q﹣2＝0，解得

q＝2或q＝

．∴

．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題察看了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14.將一個(gè)等腰直角三角形繞著它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，獲得體積為

的幾何體，則該幾何體外接球的表面積為_(kāi)_________．【答案】【剖析】【剖析】將等腰直角三角形繞著它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓錐，易知圓錐底面半徑即為外接球的半徑，進(jìn)而獲得結(jié)果.【詳解】設(shè)等要直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a，將等腰直角三角形繞著它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓錐，則，可得，該幾何體外接球的半徑R=a=2∴該幾何體外接球的表面積為故答案為：【點(diǎn)睛】此題察看圓錐的形成過(guò)程，體積的計(jì)算，以及其與外接球的關(guān)系，察看空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.15.若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．【答案】【剖析】【剖析】利用奇偶性定義即可獲得a的值.【詳解】,由于為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，∴g（﹣x）＝g（x），即g（﹣x）﹣g（x）＝0，則﹣＝0，﹣＝2ax，即﹣x＝2ax則（2a+1）x＝0，即2a+1＝0，解得a．故答案為：【點(diǎn)睛】此題察看奇偶性的定義與性質(zhì)，察看推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.16.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)知足以為直徑的圓與軸相切.過(guò)作直線的垂線，垂足為，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【剖析】【剖析】由拋物線定義可知M的軌跡方程，直線過(guò)定點(diǎn)，聯(lián)合圓的性質(zhì)，可知B點(diǎn)的軌跡為圓，再聯(lián)合拋物線與圓的性質(zhì)即可獲得最小值.【詳解】由動(dòng)點(diǎn)知足以為直徑的圓與軸相切可知：動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A的距離等于動(dòng)點(diǎn)M到直線的距離，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為，由可得，解得D，即直線過(guò)定點(diǎn)D，又過(guò)作直線的垂線，垂足為，所以點(diǎn)在以AD為直徑的圓上，直徑式方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心E,半徑r=過(guò)M做M垂直準(zhǔn)線，垂足為則故答案為：【點(diǎn)睛】此題察看拋物線與圓的幾何性質(zhì)，波及拋物線的軌跡，圓的軌跡，直線過(guò)定點(diǎn)，線段和的最值，察看數(shù)形聯(lián)合的思想，屬于難題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必定作答.第22、23題為選考題，考生依照要求作答.17.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【剖析】【剖析】(1)利用，兩式作差化簡(jiǎn)可得數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，利用錯(cuò)位相減法即可求出的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由于，所以當(dāng)時(shí)，，則.即，所以.由于，所以，即，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.由得，由于，解得.所以.（2）由（1）知，所以，①②③-④得，，，∴.【點(diǎn)睛】用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問(wèn)題(1)要善于鑒別題目種類，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的狀況；(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步正確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種狀況求解.18.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，知足.（1）求證：；（2）若的面積為，求角的大小.【答案】（1）見(jiàn)剖析；（2）或【剖析】【剖析】（1）依照余弦定理，與可得，再利用正弦定理可得聯(lián)合內(nèi)角和定理與兩角和與差正弦公式可得結(jié)果；（2）利用面積公式有，可得，又進(jìn)而有，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）在中，依照余弦定理，，又由于，所以，又由于，所以，依照正弦定理，.由于，即，則，所以，即.由于，，則，所以，或（應(yīng)舍去）.所以.（2）由于的面積為，所以，由于，，所以，則，由于，所以，所以.由于，所以，即，所以或.當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，解得，則.綜上，或.【點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要依照正、余弦定理聯(lián)合已知條件靈便轉(zhuǎn)變邊和角之間的關(guān)系，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，爾后確定轉(zhuǎn)變的方向.第二步：定工具，即依照條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)變的工具，推行邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，為棱上的一點(diǎn)，且，為棱的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，若平面，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，，.（1）求證：平面

平面

；（2）求直線與平面所成角的正弦值

.【答案】（1）見(jiàn)剖析；（2）【剖析】【剖析】(1)要證平面平面轉(zhuǎn)證平面，聯(lián)合條件面面垂直可證；(2)先證明平面以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，由于，所以，由于平面，平面，平面平面，所以，又由于，所以，所以為的中點(diǎn)，又由于為的中點(diǎn)，所以，所以，由于平面平面，平面平面，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）由（1）可知，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，由于平面平面，平面平面，所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，由得，取，則，，所以.又，，，設(shè)直線平面所成角為.則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的重點(diǎn)在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，建立適合的空間直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，正確求解有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.20.已知橢圓在左、右焦點(diǎn)分別為，，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，的周長(zhǎng)為6，且面積的最大值為.（1）求的方程；（2）設(shè)直線

與的另一個(gè)交點(diǎn)為

，過(guò)，分別作直線

的垂線，垂足為

，，與軸的交點(diǎn)為

.

若

，，

的面積成等差數(shù)列，求直線

斜率的取值范圍

.【答案】（1）【剖析】【剖析】

；（2）由題意列對(duì)于a，b的方程組，即可獲得的方程；(2)設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程可得，利用韋達(dá)定理表示條件，以，進(jìn)而獲得直線斜率的取值范圍.【詳解】（1）由于是上的點(diǎn)，且，為的左、右焦點(diǎn)，所以，又由于，的周長(zhǎng)為6，所以，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，所以，又由于，解得，，，所以的方程為.（2）依題意，直線與軸不重合，故可設(shè)直線的方程為，由消去得：，設(shè)設(shè)由于

，，，，

，則有且，的面積分別為成等差數(shù)列，所以

，，，，，即

.，則，即，得，又，，于是，所以，由得，解得，設(shè)直線的斜率為，則，所以，解得或，所以直線斜率的取值范圍是.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常有求法：(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能顯然表現(xiàn)幾何特點(diǎn)和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能表現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可第一建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題經(jīng)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用鑒別式來(lái)結(jié)構(gòu)不等關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．21.已知函數(shù).（1）求證：；（2）若對(duì)于的不等式恒建立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)剖析；（2）【剖析】【剖析】(1)令，求出函數(shù)的最大值即可；(2)不等式恒建立，即恒建立，令，研究函數(shù)的單一性與極值即可.【詳解】（1）令，即，所以，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單一遞加，在上單一遞減，所以，所以.（2）由于不等式恒建立，即恒建立，令，則，令，則.則在上單一遞減，在上單一遞加，故只要，即，令，單一性與（1）中一致，即在上單一遞加，在上單一遞減，又，所以，即.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常有種類及解題策略(1)結(jié)構(gòu)差函數(shù).依照差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單一性，利用單一性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）依照條件，搜尋目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉瘮?shù).22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）試判斷點(diǎn)可否在直線上，并說(shuō)明原因；（2）設(shè)直線與曲線交于點(diǎn)，，求的值.【答案】（1）見(jiàn)剖析；（2）【剖析】【剖析】(1)把直線