蘇教版-必修二-第一章 立體幾何初步-1.3 空間幾何體的表面積和體積【省一等獎(jiǎng)】

《空間幾何體的體積》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)目標(biāo)掌握棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積的推導(dǎo)方法，理解祖暅原理，會(huì)應(yīng)用棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積公式．（二）能力目標(biāo)通過(guò)學(xué)習(xí)祖暅原理，理解祖暅原理的內(nèi)涵，體驗(yàn)空間與平面問(wèn)題互相轉(zhuǎn)化的方法，體會(huì)到復(fù)雜的體積問(wèn)題怎樣轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的體積問(wèn)題而得到解決，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．（三）德育目標(biāo)學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)祖暅原理，了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)家在這方面作出的突出成就，受到愛(ài)國(guó)主義教育，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積公式的推導(dǎo)方法．難點(diǎn)：對(duì)祖暅原理的理解和棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積公式的應(yīng)用．三、教學(xué)方法與教學(xué)手段（一）教學(xué)方法本節(jié)課的課型為“新授課”．雖然學(xué)生初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓柱、圓錐的體積的公式，但用的是實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方法，并沒(méi)有從根本上理解圓柱、圓錐的體積公式的由來(lái)，本課采用推導(dǎo)的方法，以長(zhǎng)方體的體積公式和祖暅原理為基礎(chǔ)推導(dǎo)出幾種幾何體的體積公式，通過(guò)不同形式的探究過(guò)程，讓學(xué)生積極參與到教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，并且始終處于積極的問(wèn)題探究和辨析思考的學(xué)習(xí)氣氛中．（二）教學(xué)手段采用多媒體輔助教學(xué)，增強(qiáng)直觀性，增大課堂容量，提高效率．四、教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖課題引入提出問(wèn)題：（1）在初中的幾何學(xué)習(xí)中，我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)哪些幾何體的體積公式？（2）還記得初中時(shí)你們的數(shù)學(xué)老師是如何驗(yàn)證棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積公式的嗎？（3）棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積公式是怎樣得到的？從復(fù)習(xí)初中幾何體的體積公式引入，自然、得體．新課講解我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了長(zhǎng)方體體積公式，其中，表示長(zhǎng)方體的底面積，表示長(zhǎng)方體的高．實(shí)際上，由長(zhǎng)方體體積公式可以推導(dǎo)出求其它一些幾何體的體積公式，長(zhǎng)方體體積公式是推導(dǎo)棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積公式的一個(gè)基礎(chǔ)．我國(guó)古代對(duì)幾何體的體積研究，取得過(guò)輝煌的成就，并建立了完整的理論體系，這個(gè)理論的基礎(chǔ)是：祖暅原理：冪勢(shì)既同，則積不容異．教師提問(wèn)：（1）你對(duì)祖暅了解多少？（2）“冪勢(shì)既同，則積不容異”這句話該做何解釋？教師講解：祖暅?zhǔn)俏覈?guó)古代南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家，受父親祖沖之的影響，他從小就熱愛(ài)科學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)具有濃厚的興趣，祖沖之在462年編制的“大明歷”就是在祖暅三次建議的基礎(chǔ)上完成的．祖暅原理是祖暅一生最有代表性的發(fā)現(xiàn)．祖暅沿用了劉徽的思想，得出“冪勢(shì)既同，則積不容異”的結(jié)論．“冪”是面積，“勢(shì)”即是高，意思是，夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．“祖暅原理”是在獨(dú)立研究的基礎(chǔ)上得出的，17世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里重新發(fā)現(xiàn)，但比祖暅晚一千余年．祖暅原理是非常淺顯易懂的，例如，取一摞紙張放在桌面上，將它們?nèi)缯n本圖1-49所示改變一下形狀，這時(shí)高度沒(méi)有改變，每頁(yè)紙的面積也沒(méi)有改變，所以體積也沒(méi)有發(fā)生變化．祖暅原理是我們推導(dǎo)棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積公式的又一基礎(chǔ)．1．關(guān)于棱柱和圓柱的體積設(shè)有一個(gè)棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，它們的底面積都等于，高都等于，它們的下底面都在同一平面上，如下圖：我們知道長(zhǎng)方體的體積，那么棱柱和圓柱的體積應(yīng)該如何得到呢？教師講解：棱柱、圓柱和長(zhǎng)方體的下底面都在同一平面上，因?yàn)樗鼈兊纳系酌婧拖碌酌嫫叫?，并且高都相等，所以它們的學(xué)生獨(dú)立思考，回答問(wèn)題，教師總結(jié)介紹祖暅其人，并給出祖暅原理的正確解釋．教師講解的過(guò)程要注意強(qiáng)調(diào)祖暅原理的運(yùn)學(xué)生在合作交流、與人分享、探討的氛圍中傾聽、質(zhì)疑、表述，體驗(yàn)成功的喜悅；學(xué)會(huì)合作，并在合作中懂得欣賞他人．新課講解上底面都在和下底面平行的同一平面內(nèi)．用與底面平行的任意平面去截它們時(shí)，所得的截面面積都等于，根據(jù)祖暅原理，它們的體積相等，即棱柱、圓柱的體積都等于長(zhǎng)方體的體積．由于長(zhǎng)方體的體積等于底面積和高的乘積，于是我們得到柱體體積的計(jì)算方法：；特別地，底面半徑是圓柱體的體積的計(jì)算公式是:．2．關(guān)于棱錐和圓錐的體積設(shè)有一個(gè)圓錐、一個(gè)棱錐和一個(gè)三棱錐，它們的底面積都等于，高都等于，它們的下底面都在同一平面上，如下圖：?jiǎn)栴}一、它們的體積有何關(guān)系呢?教師總結(jié)答案與證明過(guò)程:它們的體積是相等的．證明:在距底面處做一個(gè)截面,則截面圖形與底面圖形相似,圖(1)為圓錐，設(shè)截面半徑為，設(shè)截面面積為,則;圖(2)和圖（3）均棱錐，設(shè)截面邊長(zhǎng)分別為,底面連長(zhǎng)分別為則,設(shè)截面面積為,由于面積比等于相似比的平方,所以;所以，由此可見，底面積同為的圓錐和棱錐，用與底面平行的任意平面去截，所得的截面面積都相同，由祖暅原理，這樣的圓錐和棱錐的體積相等，都等于底面積為的三棱錐的體積，只要我們能求出這樣的三棱錐的體積，就能得到底面積為的圓錐以及棱錐的體積了．學(xué)生獨(dú)立思考2-3分鐘，然后分組討論，交流．討論、整理出本組同學(xué)所想到的各種思路．教師巡視，關(guān)注學(xué)生討論的層次．一段時(shí)間后，每組派代表講解推導(dǎo)的過(guò)程，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,加強(qiáng)對(duì)祖暅原理的理解．在整個(gè)交流討論中，教師既要有對(duì)正確認(rèn)識(shí)的贊賞，又要有對(duì)錯(cuò)誤見解的分析及對(duì)本人的鼓勵(lì)．師生互動(dòng)，突破難點(diǎn)．一方面使學(xué)生體會(huì)整體代換的思想；另一方面鼓勵(lì)學(xué)生在困難面前要樹立信心，多角度分析問(wèn)題，形成鍥而不舍的鉆研精神．新課講解問(wèn)題二、如何求底面積為的三棱錐的體積？分析：既然已經(jīng)推導(dǎo)了棱柱的體積，可以構(gòu)造如下三棱柱，其底面積為，將此三棱柱分為三部分，每部分是一個(gè)三棱錐，設(shè)三棱錐底面積相同，高相同，所以；三棱錐底面積相同，高相同，所以；綜上，可見，底面積為的三棱錐的體積為，從而得到底面積為的圓錐以及棱錐的體積均為，即，特別地，如果圓錐的底面半徑是，．（結(jié)合課件2119學(xué)習(xí)）學(xué)生在合作交流、與人分享、探討的氛圍中傾聽、質(zhì)疑、表述，體驗(yàn)成功的喜悅；學(xué)會(huì)合作，并在合作中懂得欣賞他人．課堂小結(jié)教師總結(jié)：這節(jié)課我們又認(rèn)識(shí)了我國(guó)古代一位非常偉大的數(shù)學(xué)家祖暅，學(xué)習(xí)了祖暅原理：冪勢(shì)既同，則積不容異；并以此原理和長(zhǎng)方體的體積公式為基礎(chǔ)，得到了棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積公式，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡n下加以復(fù)習(xí)、鞏固．學(xué)生回答，教師總結(jié)完善．讓學(xué)生大膽發(fā)言，歸納總結(jié)本節(jié)課的收獲，教師及時(shí)點(diǎn)評(píng)并歸納總結(jié)，通過(guò)大屏幕展示出來(lái)，使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)．作業(yè)：課本P34習(xí)題1-1A9．10課本P35習(xí)題1-1B5．7幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，反饋課堂教學(xué)效果，使下一節(jié)課的教學(xué)有的放失．將課堂延伸，使學(xué)生將課堂所學(xué)內(nèi)容再認(rèn)識(shí)和升華五、板書設(shè)計(jì)棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積（一）復(fù)習(xí)引入（二）新課講解（三）鞏固練習(xí)長(zhǎng)方體體積公式1．棱柱和圓柱的體積練習(xí)1：介紹祖暅原理