第二章Z變換及離散時間系統(tǒng)分析

第二章

Z變換及離散時間系統(tǒng)分析Chapter2Z-TransformandDiscreteTimeSystemsAnalysis5/3/20231思考本章z變換分析法，即離散信號與系統(tǒng)的“頻率域分析”，與前一章“時域分析”相對。思考：為什么要進行“頻域分析”？5/3/202322.0預(yù)備內(nèi)容——連續(xù)信號與系統(tǒng)分析時域:f(t)、微分方程頻域：拉普拉斯變換、傅立葉變換（FT）離散信號與系統(tǒng)分析時域:x(n)、差分方程頻域：Z變換、序列的傅立葉變換(DTFT)5/3/20233傅里葉變換該變換存在的充分條件：傅里葉變換的局限性:

1)工程中一些信號不滿足絕對可積條件[如U(t)];3)求反變換時,求(-∞,∞)上的廣義積分,很困難;

4)只能求零狀態(tài)響應(yīng),不能求零輸入響應(yīng)2)有些信號不存在傅立葉變換如2.0預(yù)備內(nèi)容——5/3/20234拉普拉斯變換引入衰減因子：使得：求傅氏變換得到如下的拉氏變換：對可見，傅氏變換是復(fù)平面虛軸上的拉氏變換，即拉氏變換的特例2.0預(yù)備內(nèi)容——5/3/202352.1Z變換定義利用差分方程可求離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及瞬態(tài)解，為了分析系統(tǒng)的另外一些重要特性，如穩(wěn)定性和頻率響應(yīng)等，需要研究離散時間系統(tǒng)的z變換（類似于模擬系統(tǒng)的拉氏變換），它是分析離散系統(tǒng)和離散信號的重要工具。一個離散序列x（n）的Z變換定義為：收斂域：一般，序列的z變換并不一定對任何z值都收斂，z平面上使上述級數(shù)收斂的區(qū)域稱為“收斂域”。級數(shù)一致收斂的條件是絕對值可和。5/3/20236以上的這種變換也稱為雙邊z變換。與此相應(yīng)還有單邊z變換，單邊z變換只是對單邊序列（n>=0部分）進行變換的z變換，其定義為：單邊z變換只在少數(shù)情況下與雙邊z變換有所區(qū)別，即序列的起始條件不同，可以把單邊z變換看成是雙邊z變換的一種特例，即因果序列情況下的雙邊z變換。2.1Z變換定義5/3/20237Z變換、拉氏變換(LT)、傅里葉變換（DTFT）2.1Z變換定義5/3/20238Z變換與拉氏變換理想沖激抽樣序列x(t)：有限帶寬信號通過抽樣，得到如下的離散序列：2.1Z變換定義5/3/202390Re[z]rrejwIm[z]2.1Z變換定義Z變換與拉氏變換5/3/202310Z變換與傅里葉變換（DTFT）2.1Z變換定義5/3/2023112.2Z變換收斂域5/3/2023122.2Z變換收斂域兩點說明同一個變換函數(shù)，收斂域不同，對應(yīng)的序列是不相同的。收斂域中無極點，收斂域總是以極點為界的。常用的Z變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比表示： 零點：分子多項式P(z)的根 極點：分母多項式Q(z)的根5/3/2023132.3常用序列Z變換序列Z變換收斂域δ(n)1全Z平面u(n)11-

z-1|z|>1αnu(n)11-

αz-1|z|>|α|RN(n)1-

z

-N1-

z

-1|z|>0-αnu(-n-1)11-

αz-1|z|<|α|nu(n)z-1(1-

z-1)2|z|>1nαnu(n)αz-1(1-

αz-1)2|z|>|α|5/3/2023142.4Z變換性質(zhì)幾條重要性質(zhì)序列z變換收斂域x(n)h(n)X(z)H(z)Rx-<|z|<Rx+Rh-<|z|<Rh+ax(n)+bh(n)aX(z)+bH(z)max[Rx-，Rh-]<|z|min[Rx+,Rh+]x(n-m)z-mX(z)Rx-<|z|<Rx+x*(n)X*(z*)Rx-<|z|<Rx+x(-n)X(1/z)1/Rx+<|z|<1/Rx-x(n)*h(n)X(z)H(z)max[Rx-，Rh-]<|z|min[Rx+,Rh+]5/3/2023152.4Z變換性質(zhì)(2)中結(jié)果不對例5/3/202316定義及求解法2.5Z反變換5/3/202317長除法——冪級數(shù)展開2.5Z反變換5/3/202318部分分式|z|＞1/22.5Z反變換5/3/202319留數(shù)法注意：積分路徑為收斂域內(nèi)逆時針方向的閉合曲線積分路徑內(nèi)部的極點的留數(shù)當(dāng)n取不同的值，z=0處的極點的階次不同2.5Z反變換5/3/202320已知：2.5Z反變換5/3/2023212.5Z反變換5/3/2023222.5Z反變換5/3/2023232.6Z變換求解差分方程5/3/202324零狀態(tài)解2.6Z變換求解差分方程5/3/202325II)求暫態(tài)解（零輸入解）

所以，零輸入解為：2.6Z變換求解差分方程5/3/202326全響應(yīng)零狀態(tài)解零輸入解2.6Z變換求解差分方程5/3/202327例1：2.6Z變換求解差分方程5/3/2023282.6Z變換求解差分方程例2：5/3/202329線性時不變離散系統(tǒng)四種表示方法頻率響應(yīng)轉(zhuǎn)移函數(shù)（也稱系統(tǒng)函數(shù)）差分方程卷積關(guān)系2.7轉(zhuǎn)移函數(shù)5/3/202330轉(zhuǎn)移函數(shù)定義為系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的Z變換，也是系統(tǒng)輸出、輸入Z變換之比2.7轉(zhuǎn)移函數(shù)5/3/202331FIR系統(tǒng)：h(n)為有限長，輸入端不含輸出對輸入的反饋，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的IIR系統(tǒng)：h(n)為無限長，輸入端包含輸出對輸入的反饋，存在穩(wěn)定性問題2.7轉(zhuǎn)移函數(shù)5/3/202332零極點分析由式2.1因式分解，得到：

使以上轉(zhuǎn)移函數(shù)分子、分母多項式等于零的z值分別稱為系統(tǒng)的零點和極點。分析系統(tǒng)因果性分析系統(tǒng)穩(wěn)定性:一個LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其所有的極點位于單位圓內(nèi)估計系統(tǒng)頻率響應(yīng)：幾何分析法數(shù)字濾波器設(shè)計的一般法則：阻止一個頻率，在單位圓相應(yīng)頻率處設(shè)置一個零點；突出一個頻率，在單位圓內(nèi)相應(yīng)頻率處設(shè)置一個極點，且越接近單位圓，幅頻響應(yīng)的幅值越大。2.7轉(zhuǎn)移函數(shù)5/3/2023332.7轉(zhuǎn)移函數(shù)5/3/202334其中K為實數(shù)，用z=ejw代入，即系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：其模等于：其