第三節(jié)波動的疊加

第三節(jié)波動的疊加第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三1.3波的疊加

1.3.5兩列同頻率、振動方向互相垂直、同向傳播的平面波的疊加——橢圓偏振光的形成及特征1.3.6兩列頻率相近、同向振動、同向傳播的平面波的疊加—光學(xué)拍

第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三1.3.1波的獨立傳播與疊加原理：

由于任何復(fù)雜的光波都可以分解為一組由余弦函數(shù)和正弦函數(shù)表示的單色光波，因此討論兩個（或多個）光波在空間某一區(qū)域相遇時，所發(fā)生的光波的疊加問題是有意義的。同時，頻率、振幅和位相都不相同的光波的疊加，情形很復(fù)雜。

本節(jié)只限于討論頻率相同或頻率相差很小的單色光波的疊加，這種情況下可以寫出結(jié)果的數(shù)學(xué)表達式。本節(jié)所討論內(nèi)容的理論基礎(chǔ)：一、波的獨立傳播定律：兩列光波在空間交迭時，它的傳播互不干擾,亦即每列波如何傳播，就像另一列波完全不存在一樣各自獨立進行。此即波的獨立傳播定律。必須注意的是：此定律并不是普遍成立的，例，光通過變色玻璃時是不服從獨立傳播定律的。第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三二、波的疊加原理：

當兩列(或多列)波在同一空間傳播時，空間各點都參與每列波在該點引起的振動。若波的獨立傳播定律成立，則當兩列(或多列)波同時存在時，在它們的交迭區(qū)域內(nèi)每點的振動是各列波單獨在該點產(chǎn)生振動的合成.此即波的迭加原理。

與獨立傳播定律相同，疊加原理適用性也是有條件的。這條件，一是媒質(zhì),二是波的強度。

光在真空中總是獨立傳播的，從而服從疊加原理。光在普通玻璃中，只要不是太強，也服從疊加原理。

波在其中服從疊加原理的媒質(zhì)稱為“線性媒質(zhì)”。此時，對于非相干光波：即N列波的強度滿足線性迭加關(guān)系。1.3.1波的獨立傳播與疊加原理

第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三對于相干光波：即N列波的振幅滿足線性迭加關(guān)系。由于振動量通常是矢量，所以一般情況下此處之“和”應(yīng)理解為矢量和.波在其中不服從迭加原理的媒質(zhì)稱為“非線性媒質(zhì)”。1.3.1波的獨立傳播與疊加原理第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三1.3.2同頻率簡諧波疊加的一般分析及干涉概念

1.3.2同頻率簡諧波疊加的一般分析及干涉概念

設(shè)兩列同頻率簡諧波在其波場交疊區(qū)某點P各自產(chǎn)生的復(fù)振幅分別為

P點合振動的復(fù)振幅矢量為P點合光強為第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三1.3.2同頻率簡諧波疊加的一般分析及干涉概念

令則

若在兩波的交疊區(qū)波場的強度分布不是簡單地等于每列波單獨產(chǎn)生的強度之和，即一般地則稱這兩列波發(fā)生了干涉。易見對干涉的貢獻來自合強度式中的第三項——干涉項。為使該項具有不為零的穩(wěn)定貢獻，必須有

（1）E10·

E20=0，即E10不垂直于E20；（2）對給定點P，相差δ（P)恒定，不隨時間而變化。對理想單色簡諧波，只要振動方向不互相正交，總是相干的。第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)兩列三維平面波的頻率相同，振動方向相同(故可用標量波表示)，其復(fù)振幅分別為此時可得到光場中的光強分布為或?qū)憺槠渲?.3.2同頻率簡諧波疊加的一般分析及干涉概念

第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三光強僅隨位置r變化而變化。在某些特定位置，使得

(m=0，±l，±2，…)

光強I取得極大值這時稱兩列波發(fā)生了相長干涉；

在另一些特定位置，使得

(m=0，±l，±2，…)

光強I取得極小值這時稱兩列波發(fā)生了相消干涉。

1.3.3兩列同頻率同向振動的平面波的疊加

第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三

δ相同的點的集合構(gòu)成了三維空間中的等強度面，這種等強度面的方程是我們把兩列(或多列)相干波的交疊區(qū)稱為干涉場，將干涉場中光強隨空間位置的分布稱為干涉圖樣。由以上分析可知，兩列同頻率平面波的干涉圖樣是三維空間中一族光強極大與極小相間排列的平行平面。由于在I1、I2給定時，光強I僅取決于cosδ，而cosδ隨x,y,z的變化具有周期性，故，干涉場的強度變化亦具有空間周期性。1.3.3兩列同頻率同向振動的平面波的疊加

第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三由于可知，光強分布在x,y,z

方向的空間頻率分別為上式亦可寫成矢量形式式中f1，f2分別是第一列波、第二列波的空間頻率矢量，f是干涉圖樣(在垂直于等強度面方向)的空間頻率矢量。1.3.3兩列同頻率同向振動的平面波的疊加

第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三1.3.3兩列同頻率同向振動的平面波的疊加

由于f1=f2=1/λ,f的方向為等強度面的法線方向，可知等強度面位于f1、f2(亦即k1、k2)的角平分面，且有式中θ為k1、k2夾角。對fxfyfz

取倒數(shù)可以得到干涉圖樣在x,y,z方向的空間周期dx,dy,dz相鄰光強極大(或極小)平面的間距則為第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三1.3.4兩列同頻率同向振動反向傳播的平面波的疊加——

光駐波設(shè)兩列波的傳播方向分別沿z軸的負方向和正方向,采用實波函數(shù)來進行分析。

其實波函數(shù)分別為：為突出波疊加時的主要特征，設(shè)E10=E20，則合成波為

上式中第二項表明波場中任一點仍作角頻率為ω的簡諧振動，而第一項的絕對值則表示為坐標為z處的振動振幅，將此振幅記為E0（z），即有：第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三顯然，各點的振幅不再是常數(shù)，而隨其空間位置z而變化。在滿足

(m=0，±1，±2，…)

的位置，振幅E(z)取得最大值2E10，這些點稱為波腹。

在滿足

(m=0，±1，±2，…)

的位置，振幅E(z)取得最小值0，這些點稱為波節(jié)。

容易看出，波腹與波節(jié)相間分布，相鄰波腹(或波節(jié))的間距皆為λ/2。由于整個波形并不發(fā)生空間推移，所以這種波稱為駐波。相應(yīng)地，前文所討論的各種在空間傳播的波則可以稱為行波。1.3.4兩列同頻率同向振動反向傳播的平面波的疊加——

光駐波第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三1.3.4兩列同頻率同向振動反向傳播的平面波的疊加——

光駐波歷史上，維納(O．winer)曾經(jīng)作了這樣一個著名的實驗，它既驗證了光駐波的存在，也證實了在光化學(xué)反應(yīng)中對物質(zhì)起主要作用的是電場而不是磁場?？梢灶A(yù)見:若有光駐波存在，在感光片上將有亮暗相間的條紋存在，且條紋間距應(yīng)與/2按幾何關(guān)系對應(yīng)。即實驗證實了這個預(yù)言，即證實了駐波的存在。第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三1.3.5兩列同頻率、振動方向互相垂直、同向傳播的平面波的疊加——橢圓偏振光的形成及特征

取互相垂直的兩個振動方向分別為x和y軸，波的傳播方向為z方向

則x，y方向的矢量實波函數(shù)可分別寫為波場中任意位置和時刻的合振動應(yīng)為

因為兩列波均沿z方向等速傳播，故其合成波亦沿同方向以同樣速度傳播，并且合矢量E仍在xy平面內(nèi)，即光波仍保持其橫波性。以θ表示E矢量與x軸正向所成的角，則有

可見，一般地說θ

的大小，即E在xy平面內(nèi)的指向?qū)㈦S位置z和時間t而變化。以下分別討論其時空依賴關(guān)系。第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三

一、光矢量E的時間變化設(shè)z為定值

可以證明，當t

為任意值時，E矢量末端隨時間的變化在空間掃描出的軌跡由以下方程所確定：顯然，一般說來這是一個“斜橢圓”(兩半軸方位不與x,y軸重合)方程，相應(yīng)的光稱為橢圓偏振光

。1.3.5兩列同頻率、振動方向互相垂直、同向傳播的平面波的疊加——橢圓偏振光的形成及特征

EyEx2a12a20ψ該橢圓內(nèi)截于一個長方形，長方形各邊與坐標軸平行，邊長為2a1和2a2

。如圖示。橢圓的長軸與OX軸的夾角：式中a1,a2分別為Ex0,Ey0。第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三令則由于兩疊加光波的角頻率為ω，故P點合矢量沿橢圓旋轉(zhuǎn)的角頻率為ω。我們把光矢量周期性地旋轉(zhuǎn)，其末端軌跡描成一個橢圓的這種光稱為橢圓偏振光。1.3.5兩列同頻率、振動方向互相垂直、同向傳播的平面波的疊加——橢圓偏振光的形成及特征

第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三二、幾種特殊情況：由橢圓方程知：橢圓形狀由兩疊加光波的位相差和振幅比a2/a1決定.當兩種特殊情況下,合成光波仍是線偏振光.1.或±2π的整數(shù)倍時，橢圓方程為：此式表示：合矢量的末端的運動沿著一條經(jīng)過坐標原點而斜率為a2/a1的直線進行。第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三二、幾種特殊情況：2.橢圓變?yōu)椋杭春鲜噶康哪┒诉\動沿著一條經(jīng)過坐標原點而斜率為-a2/a1的直線進行。第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三二、幾種特殊情況：3.及其奇數(shù)倍時，橢圓方程為：此為一正橢圓,長短軸與x，y軸重合.若兩光波的振幅a1、a2相等，為a。則：表示一個圓偏振光。第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三三、左旋和右旋：通常規(guī)定:對著光傳播方向看去，合矢量是順時針方向旋轉(zhuǎn)時，偏振光是右旋的。反之，是左旋的。只需將不同時刻的兩原光波的值比較后即可看出；sinδ>0左旋情況sinδ<0右旋情況在左旋橢圓偏振光情況下，各點場矢量的末端構(gòu)成的螺旋線的旋向與光傳播方向成右手螺旋系統(tǒng)；而右旋橢圓偏振光的情形、螺旋線的旋向與關(guān)傳播方向成左手螺旋系統(tǒng)。第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三二、光矢量E的空間變化

設(shè)t為定值

這相當于觀察“凝固”了的波形。對于某一時刻，傳播路程上各點的合矢量末端位置構(gòu)成一個螺旋線，螺旋線的空間周期為光波波長，各點場矢量的大小不一，其末端在與傳播方向垂直的平面上的投影為一個橢圓。當δ=0，π時，易見振動平面的空間取向是不變的，其它情況下隨z的改變而改變。

關(guān)于左旋和右旋的的判據(jù)與前述相同，仍是：此時橢圓是右旋的

此時橢圓是左旋的

zxy三、左旋和右旋：第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三四、橢圓偏振光的強度在矢量形式下光波的強度一般地可寫成在同一介質(zhì)內(nèi)時對于橢圓偏振光：它是由振動方向互相垂直的兩線偏振光疊加構(gòu)成：則即此式表示橢圓偏振光的強度恒等于合成它的兩個振動方向互相垂直地單色光波地強度之和，它與兩個疊加波的位相無關(guān)。第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三四、橢圓偏振光的強度這一結(jié)論不僅適用于橢圓偏振光，也適用于圓偏振光和自然光。此時Ix=Iy，則另：由此結(jié)論，說明兩振動方向互相垂直的光波在疊加區(qū)域內(nèi)各點的光強度都應(yīng)等于兩個光波的強度之和，即此時不發(fā)生干涉現(xiàn)象。第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三

設(shè)兩列平面波均沿z軸正方向傳播，其振動方向相同，振幅皆為E，兩列波的傳播數(shù)和角頻率分別為是k1,ω1和k2,ω2

。取第一列波的初相為零，第二列波相對于第一列波的初相差為δ0，則兩列波的實波函數(shù)可寫為任一時刻及位置波場中的合振動可表示為式中10.3.6兩列頻率相近、同向振動、同向傳播的平面波的疊加—光學(xué)拍第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)兩列波頻率相近，即10.3.6兩列頻率相近、同向振動、同向傳播的平面波的疊加—光學(xué)拍則上式中第一項因子在時空中的變化速度要比第二項緩慢得多，因此可以把后者看做是高頻載波，而把前者看做是對載波的低頻調(diào)制。載波的角頻率為，其振幅為A的分布構(gòu)成了調(diào)制后的載波的包絡(luò)線。合成波的強度則為式中I1=E02為單列波的強度。第27頁，共30頁，2023年，2月2