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第三節(jié)波動方程第1頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三
1-5-3波動方程第2頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三
1-5-3波動方程一.平面簡諧波的波動方程第3頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三參考點O點的振動方程為:ωcosyxx=utAyoB
1-5-3波動方程一.平面簡諧波的波動方程第4頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三任意點(B點)的振動方程為:參考點O點的振動方程為:ωcosyxx=utAyoB
1-5-3波動方程一.平面簡諧波的波動方程第5頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三任意點(B點)的振動方程為:B點落后O點的時間參考點O點的振動方程為:ωcosyxx=utAyoB
1-5-3波動方程一.平面簡諧波的波動方程xu第6頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三任意點(B點)的振動方程為:B點落后O點的時間,落后相位ω參考點O點的振動方程為:ωcosyxx=utAyoB
1-5-3波動方程一.平面簡諧波的波動方程xuux第7頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三任意點(B點)的振動方程為:B點落后O點的時間,落后相位ω參考點O點的振動方程為:=tωωcoscosyyxx=utAA)(yoB
1-5-3波動方程一.平面簡諧波的波動方程uxxuux第8頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三表示在波線上任意一點(距原點為x處)質(zhì)點在任意時刻的位移,任意點(B點)的振動方程為:參考點O點的振動方程為:=tωωcoscosyyyxxx=uutAA)(yoB
1-5-3波動方程一.平面簡諧波的波動方程第9頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三表示在波線上任意一點(距原點為x處)質(zhì)點在任意時刻的位移,也就是平面簡諧波的波動方程。任意點(B點)的振動方程為:參考點O點的振動方程為:=tωωcoscosyyyxxx=uutAA)(yoB
1-5-3波動方程一.平面簡諧波的波動方程第10頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三π2Tω==2πν,...任意點(B點)的振動方程為:參考點O點的振動方程為:=tωωcoscosyyxxx=uutAA)(yoB表示在波線上任意一點(距原點為x處)質(zhì)點在任意時刻的位移,也就是平面簡諧波的波動方程。y
1-5-3波動方程一.平面簡諧波的波動方程第11頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三πT任意點(B點)的振動方程為:參考點O點的振動方程為:=tuωωωcoscosyyxxx===uutAA)(yoB22π=λν...ν,表示在波線上任意一點(距原點為x處)質(zhì)點在任意時刻的位移,也就是平面簡諧波的波動方程。y
1-5-3波動方程一.平面簡諧波的波動方程第12頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三...平面簡諧波的波動方程為:第13頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三uxy...=Acostω)(平面簡諧波的波動方程為:第14頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三txλT...A=cosπ()2平面簡諧波的波動方程為:uxy=Acostω)(第15頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三λu...cost2=Aπ)(x平面簡諧波的波動方程為:uxy=Acostω)(txλTA=cosπ()2第16頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三...質(zhì)點的振動速度:平面簡諧波的波動方程為:λucost2=Aπ)(xuxy=Acostω)(txλTA=cosπ()2第17頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三...=質(zhì)點的振動速度:vytee平面簡諧波的波動方程為:λucost2=Aπ)(xuxy=Acostω)(txλTA=cosπ()2第18頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三ety平面簡諧波的波動方程為:...=A質(zhì)點的振動速度:vsinωt=ω)(xueλucost2=Aπ)(xuxy=Acostω)(txλTA=cosπ()2第19頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三二.波動方程的物理意義第20頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三二.波動方程的物理意義
1.=x1(常數(shù))x第21頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三yAωxt=cos)(1u二.波動方程的物理意義
1.=x1(常數(shù))x第22頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三yAωxt=cos)(1uytox表示1處質(zhì)點的振動方程二.波動方程的物理意義
1.=x1(常數(shù))x第23頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三yAωxt=cos)(1uytox表示1處質(zhì)點的振動方程二.波動方程的物理意義
1.=x1(常數(shù))tt=(常數(shù))12.x第24頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三y=AωxttxxAω=coscos())(11uu表示y1yto處質(zhì)點的振動方程二.波動方程的物理意義
1.=x1(常數(shù))tt=(常數(shù))12.x第25頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三y=AωxttxAω=coscos())(1uuy表示在時刻的波形t1ytoyxox表示1處質(zhì)點的振動方程二.波動方程的物理意義
1.=x1(常數(shù))tt=(常數(shù))12.x1第26頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三y=AωxttxAω=coscos())(1uuy表示在時刻的波形t1ytoyxox表示1處質(zhì)點的振動方程二.波動方程的物理意義
1.=x1(常數(shù))tt=(常數(shù))12.3.
t
與x都發(fā)生變化x1第27頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三y=AωxttxAω=coscos())(11uuy表示在時刻的波形t1ytoyxtt=1ox表示1處質(zhì)點的振動方程二.波動方程的物理意義
1.=x1(常數(shù))tt=(常數(shù))12.3.
t
與x都發(fā)生變化x第28頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三y=AcosωxttxAω=coscos()))(11uuy表示在時刻的波形t1ytoyxtttyA==ω(11xuo1x表示1處質(zhì)點的振動方程二.波動方程的物理意義
1.=x1(常數(shù))tt=(常數(shù))12.3.
t
與x都發(fā)生變化x第29頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三ty=AcosωxttxAω=coscos()))(11uuy表示在時刻的波形t1ytoyxttttyA===ω(111xut+Δo1x表示1處質(zhì)點的振動方程二.波動方程的物理意義
1.=x1(常數(shù))tt=(常數(shù))12.3.
t
與x都發(fā)生變化x第30頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三+Aωcos)=(1xuytΔtt
1.=x1(常數(shù))y=AcosωxttttxAω==coscos()))(常數(shù))(111uu2.y表示在時刻的波形t1ytoyx3.
t
與x都發(fā)生變化ttttyA===ω(111xut+Δo1x表示1處質(zhì)點的振動方程二.波動方程的物理意義x第31頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三y=11Acostω)(xu第32頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三y1xyy=11Acostω)(xut1x第33頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三ty1xyy=111AAcoscosωΔttω())(xxuuy=+t1x第34頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三tyy1xyy=111AAcoscosωΔttω())(xxuuy=+xt1xt1+t第35頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三tyy1xxyt1y=111AAcoscosωΔttω())(xxuuy=+令xy1=yt1+t第36頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三ytyy1xutxyy=1111AAcoscosωΔttω())(xxuuy==+令yxx=+uΔt得:t1xt1+t第37頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三y,tyy1xxyy=1111AAcoscosωΔttω())(xxuuy==+令yxx=+uΔy1t1這表示在t時刻x處的位移得:utt1xt1+t第38頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三y在經(jīng)過,tyy1xxyy=1111AAcoscosωΔttω())(xxuuy==令yxx=+uΔxtΔy1t1這表示在t時刻x處的位移時間后,同樣的位移發(fā)生在處,得:+utt1xt1+t第39頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三y在經(jīng)過的距離Δ,tyy1xxyy=1111AAcoscosωΔttω())(xxuuy==+令yxx=+uΔtxtΔy1ut1這表示在t時刻x處的位移時間后,同樣的位移發(fā)生在處,波向前傳播了得:utt1xt1+t第40頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三y在經(jīng)過的距離即某一固定周相傳播了Δ,tyy1xxyy=1111AAcoscosωΔttω())(xxuuy==+令yxx=+uΔtxtΔy1uuΔtt1這表示在t時刻x處的位移時間后,同樣的位移發(fā)生在處,波向前傳播了的距離。得:utt1xt1+t第41頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三三.波動方程的一般形式第42頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三t=uyxAcos()ω三.波動方程的一般形式第43頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三ωωt2==AuuyyxxtAcos()22cos)(tωee三.波動方程的一般形式第44頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三ωeωωωtAy2==AuuyyxxxxttAcos()222coscos))((t222=uuωeee三.波動方程的一般形式第45頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三ωueeωωωutAyx2==AuuyyxxxxttAcos()2222coscos))((tt222==uω從上兩式可得:yy22212eeeeee三.波動方程的一般形式第46頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三ωeeωωωutAyx2==AuuyyxxxxttAcos()2222coscos))((tt222==uuω從上兩式可得:yy22212可以證明三維的波動方程為:eeeeee三.波動方程的一般形式第47頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三ωeeeeωωωutAyx2===++AuuyyxxxxξttzAcos()2222coscos))((ttt222==uuω從上兩式可得:yy22221222ξξξ可以證明三維的波動方程為:xy222221u2eeeeeeeeeeee三.波動方程的一般形式第48頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三ωeeee三.波動方程的一般形式ωωωutAyx2===++AuuyyxxxxξttzAcos()2222coscos))((ttt222==uuω從上兩式可得:yy22221222ξξξ可以證明三維的波動方程為:xy222221u2ξeeeeeeeeeeee質(zhì)點的位移第49頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-1有一以速度為c,沿x軸正方向傳播的平面簡諧波。已知在波傳播到Po點(離原點為xo)處的振動規(guī)律為y=Acost,求此波的表達式。
xoxPoPc第50頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-1有一以速度為c,沿x軸正方向傳播的平面簡諧波。已知在波傳播到Po點(離原點為xo)處的振動規(guī)律為y=Acost,求此波的表達式。解:設(shè)振動傳播到P點(x>xo)xoxPoPc第51頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-1有一以速度為c,沿x軸正方向傳播的平面簡諧波。已知在波傳播到Po點(離原點為xo)處的振動規(guī)律為y=Acost,求此波的表達式。解:設(shè)振動傳播到P點(x>xo)P落后于Po的時間為
(x-xo)/cxoxPoPc第52頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-1有一以速度為c,沿x軸正方向傳播的平面簡諧波。已知在波傳播到Po點(離原點為xo)處的振動規(guī)律為y=Acost,求此波的表達式。解:設(shè)振動傳播到P點(x>xo)P落后于Po的時間為
(x-xo)/cP落后于Po的相位為(x-xo)/cxoxPoPc第53頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-1有一以速度為c,沿x軸正方向傳播的平面簡諧波。已知在波傳播到Po點(離原點為xo)處的振動規(guī)律為y=Acost,求此波的表達式。解:設(shè)振動傳播到P點(x>xo)P落后于Po的時間為
(x-xo)/cP落后于Po的相位為(x-xo)/c所以點的振動方程為:xoxPoPc第54頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-1有一以速度為c,沿x軸正方向傳播的平面簡諧波。已知在波傳播到Po點(離原點為xo)處的振動規(guī)律為y=Acost,求此波的表達式。解:設(shè)振動傳播到P點(x>xo)P落后于Po的時間為
(x-xo)/cP落后于Po的相位為(x-xo)/c所以點的振動方程為:y=Acos[t-(x-xo)/c]=Acos[t-(x-xo)/c]xoxPoPc第55頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-1有一以速度為c,沿x軸正方向傳播的平面簡諧波。已知在波傳播到Po點(離原點為xo)處的振動規(guī)律為y=Acost,求此波的表達式。解:設(shè)振動傳播到P點(x>xo)P落后于Po的時間為
(x-xo)/cP落后于Po的相位為(x-xo)/c所以點的振動方程為:y=Acos[t-(x-xo)/c]=Acos[t-(x-xo)/c]波源(x=0)的振動方程:yo=Acos(t+xo/c)xoxPoPc第56頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-1有一以速度為c,沿x軸正方向傳播的平面簡諧波。已知在波傳播到Po點(離原點為xo)處的振動規(guī)律為y=Acost,求此波的表達式。解:設(shè)振動傳播到P點(x>xo)P落后于Po的時間為
(x-xo)/cP落后于Po的相位為(x-xo)/c所以點的振動方程為:y=Acos[t-(x-xo)/c]=Acos[t-(x-xo)/c]波源(x=0)的振動方程:yo=Acos(t+xo/c)初相:xo/cxoxPoPc第57頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-2一平面簡諧波沿x軸正方向傳播,t=0s時刻的波形如圖所示,試畫出P處質(zhì)點的振動在t=0時刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖。
cxyoP第58頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-2一平面簡諧波沿x軸正方向傳播,t=0s時刻的波形如圖所示,試畫出P處質(zhì)點的振動在t=0時刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖。
cxyoP第59頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-2一平面簡諧波沿x軸正方向傳播,t=0s時刻的波形如圖所示,試畫出P處質(zhì)點的振動在t=0時刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖。
cxyoP第60頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-2一平面簡諧波沿x軸正方向傳播,t=0s時刻的波形如圖所示,試畫出P處質(zhì)點的振動在t=0時刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖。
cxyoPyoA第61頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-3圖示為一平面簡諧波在t=2s時刻的波形圖,波的振幅為0.02m,周期為4s,求圖中P點處質(zhì)點的振動方程。
Pcyxo第62頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-3圖示為一平面簡諧波在t=2s時刻的波形圖,波的振幅為0.02m,周期為4s,求圖中P點處質(zhì)點的振動方程。解:已知A=0.02m,T=4s則有=2/T=/2
Pcyxo第63頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-3圖示為一平面簡諧波在t=2s時刻的波形圖,波的振幅為0.02m,周期為4s,求圖中P點處質(zhì)點的振動方程。解:已知A=0.02m,T=4s則有=2/T=/2
Pcyxo第64頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-3圖示為一平面簡諧波在t=2s時刻的波形圖,波的振幅為0.02m,周期為4s,求圖中P點處質(zhì)點的振動方程。解:已知A=0.02m,T=4s則有=2/T=/2
PV<0cyxo第65頁,共71頁,2023年,2月20日,星期三例5-3圖示為一平面簡諧波在t=2s時刻的波形圖,波的振幅為0.02m,周期為4s,求圖中P點處質(zhì)點的振動方程。解:已知A=0.02m,T=4s則有=2/T=/2
PV<0cyxo
oyt=2s第66頁,共71頁,20
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