高三數(shù)學(xué)排列組合

排列組合的綜合(zōnghé)應(yīng)用太湖(tàihú)二中數(shù)學(xué)組第一頁(yè)，共36頁(yè)。1基本原理組合(zǔhé)排列(páiliè)排列(páiliè)數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用問題根底知識(shí)1：知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖復(fù)習(xí)第二頁(yè)，共36頁(yè)。2

名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點(diǎn)不同點(diǎn)做一件事或完成(wánchéng)一項(xiàng)工作的方法數(shù)直接(zhíjiē)〔分類〕完成間接〔分步驟(bùzhòu)〕完成做一件事，完成它可以有n類方法，第一類方法中有m1種不同的方法，第二類方法中有m2種不同的方法…，第n類方法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…mn種不同的方法做一件事，完成它可以有n個(gè)步驟，做第一步中有m1種不同的方法，做第二步中有m2種不同的方法……，做第n步中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn

種不同的方法.根底知識(shí)2：兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系復(fù)習(xí)第三頁(yè)，共36頁(yè)。3

名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點(diǎn)不同點(diǎn)做一件事或完成一項(xiàng)工作(gōngzuò)的方法數(shù)直接(zhíjiē)〔分類〕完成間接〔分步驟(bùzhòu)〕完成做一件事，完成它可以有n類方法，第一類方法中有m1種不同的方法，第二類方法中有m2種不同的方法…，第n類方法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…mn種不同的方法做一件事，完成它可以有n個(gè)步驟，做第一步中有m1種不同的方法，做第二步中有m2種不同的方法……，做第n步中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn

種不同的方法.根底知識(shí)2：兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系復(fù)習(xí)第四頁(yè)，共36頁(yè)。4名稱排列組合定義種數(shù)符號(hào)計(jì)算公式關(guān)系性質(zhì)

，從n個(gè)不同元素(yuánsù)中取出m個(gè)元素，按一定的順序排成一列從n個(gè)不同(bùtónɡ)元素中取出m個(gè)元素，把它并成一組所有(suǒyǒu)排列的的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)根底知識(shí)點(diǎn)3：排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系第五頁(yè)，共36頁(yè)。5名稱排列組合定義種數(shù)符號(hào)計(jì)算公式關(guān)系性質(zhì)

，從n個(gè)不同(bùtónɡ)元素中取出m個(gè)元素，按一定的順序排成一列從n個(gè)不同(bùtónɡ)元素中取出m個(gè)元素，把它并成一組所有(suǒyǒu)排列的的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)根底知識(shí)點(diǎn)3：排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系第六頁(yè)，共36頁(yè)。6

例1、

4個(gè)男同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)站成一排.(1)3個(gè)女同學(xué)必須(bìxū)排在一起，有多少種不同的排法？(2)任何兩個(gè)(liǎnɡɡè)女同學(xué)彼此不相鄰,有多少種不同的排法？排隊(duì)(páiduì)問題第七頁(yè)，共36頁(yè)。7(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有3人，有多少(duōshǎo)種不同的排法？(4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少(duōshǎo)種不同的排法？(5)女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？(3個(gè)女生(nǚshēng)身高互不相等)(6)學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有3人，有多少種不同的排法？(4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有3人，有多少種不同的排法？(5)女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？(3個(gè)女生身高互不相等)(4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有3人，有多少種不同的排法？(6)學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？(5)女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？(3個(gè)女生身高互不相等)(4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有3人，有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有3人，有多少種不同的排法？(5)女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？(3個(gè)女生身高互不相等)(4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有3人，有多少種不同的排法？(6)學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？(5)女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？(3個(gè)女生身高互不相等)(4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有3人，有多少種不同的排法？第八頁(yè)，共36頁(yè)。8〔男生(nánshēng)〕〔女生(nǚshēng)〕(1)3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少(duōshǎo)種不同的排法？第九頁(yè)，共36頁(yè)。9解析：3個(gè)女同學(xué)是特殊元素，我們先把她們排好，共有A33種排法；由于(yóuyú)3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，我們可視排好的女同學(xué)為一整體，再與男同學(xué)排隊(duì)，這時(shí)是5個(gè)元素的全排列，應(yīng)有A55種排法，由乘法原理，有A33A55種=720種不同排法.(1)3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少(duōshǎo)種不同的排法？第十頁(yè)，共36頁(yè)。10解析(jiěxī)：3個(gè)女同學(xué)是特殊元素，我們先把她們排好，共有A33種排法；由于3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，我們可視排好的女同學(xué)為一整體，再與甲同學(xué)排隊(duì)，這時(shí)是5個(gè)元素的全排列，應(yīng)有A55種排法，由乘法原理，有A33A55種=720種不同排法.(1)3個(gè)女同學(xué)必須(bìxū)排在一起，有多少種不同的排法？

元素相鄰問題，一般用“捆綁法”,先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其它元素全排列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列。第十一頁(yè)，共36頁(yè)。11解析：先將男生排好,共有(ɡònɡyǒu)A44種排法,再在這4個(gè)男生的中間及兩頭的5個(gè)空檔中插入3個(gè)女生有A53種方案,故符合條件的排法共有(ɡònɡyǒu)A44A53=1440種不同排法.(2)任何兩個(gè)(liǎnɡɡè)女同學(xué)彼此不相鄰,有多少種不同的排法？第十二頁(yè)，共36頁(yè)。12解析：先將男生排好,共有(ɡònɡyǒu)A44種排法,再在這4個(gè)男生的中間及兩頭的5個(gè)空檔中插入3個(gè)女生有A53種方案,故符合條件的排法共有(ɡònɡyǒu)A44A53=1440種不同排法.(2)任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰,有多少(duōshǎo)種不同的排法？元素不相鄰，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在普通元素之間或兩端插入不相鄰的元素。第十三頁(yè)，共36頁(yè)。13(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有3人，有多少(duōshǎo)種不同的排法？第十四頁(yè)，共36頁(yè)。14解析：甲、乙2人先排好，有A22種排法,再?gòu)挠嘞?人中選3個(gè)排在甲、乙2人中間,有A53種排法,這時(shí)把已排好的5人視為一個(gè)整體,與最后(zuìhòu)剩下的2人再排,又有A33種排法，這樣總共有A22A53A33=720種不同排法.(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有3人，有多少(duōshǎo)種不同的排法？第十五頁(yè)，共36頁(yè)。15(4)甲、乙兩人相鄰(xiānɡlín)，但都不與丙相鄰(xiānɡlín)，有多少種不同的排法？第十六頁(yè)，共36頁(yè)。16解析：安排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A44種排法；由于甲、乙要相鄰,故再把甲、乙排好,有A22種排法,最后把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的空檔中有A52種排法,這樣(zhèyàng),總共有A44A22A52=960種不同排法.(4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少(duōshǎo)種不同的排法？第十七頁(yè)，共36頁(yè)。17解析：從7個(gè)位置中選出4個(gè)位置把男生安排(ānpái)好，那么有A74種方法，然后再在余下的3個(gè)空位置中安排(ānpái)女生，由于女生要按身體高矮排列，故僅有一種排法，這樣一共有A74種不同排法。(5)女同學(xué)從左到右按高矮順序(shùnxù)排，有多少種不同的排法？(3個(gè)女生身高互不相等)第十八頁(yè)，共36頁(yè)。18(6)學(xué)生(xuésheng)甲不站排頭，學(xué)生(xuésheng)乙不站排尾，共有多少種不同的排法？解析：學(xué)生甲不站在排頭，那么他可能站在中間或排尾，故可分兩類，一類是甲站在中間有5種站法，此時(shí)乙有5種站法，其他5名學(xué)生站在五個(gè)不同的位置(wèizhi)上有A55種站法，故共有5×5×A55=3000種站法。第二類是甲站在排尾，此時(shí)乙有6種站法，其他5名同學(xué)站在五個(gè)不同的位置(wèizhi)上有6×A55=720種，由加法原理，故共有3720種站法。第十九頁(yè)，共36頁(yè)。19(6)學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少(duōshǎo)種不同的排法？解析：學(xué)生甲不站在排頭，那么他可能站在中間或排尾，故可分兩類，一類(yīlèi)是甲站在中間有5種站法，此時(shí)乙有5種站法，其他5名學(xué)生站在五個(gè)不同的位置上有A55種站法，故共有5×5×A55=3000種站法。第二類是甲站在排尾，此時(shí)乙有6種站法，其他5名同學(xué)站在五個(gè)不同的位置上有6×A55=720種，由加法原理，故共有3720種站法。位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件第二十頁(yè)，共36頁(yè)。20例2、為支援四川災(zāi)區(qū),有6名教師去汶川甲、乙、丙三所不同的學(xué)校(xuéxiào)任教。按以下要求分配各有多少種分法？〔1〕平均分給甲、乙、丙三所學(xué)校(xuéxiào)，每校兩名?！?〕分給甲、乙、丙三所學(xué)校(xuéxiào)，一校1名，一校2名，一校3名。〔3〕分給甲、乙、丙三所學(xué)校(xuéxiào)，一校4名，另兩所學(xué)校(xuéxiào)各1名。分組問題(wèntí)第二十一頁(yè)，共36頁(yè)。21解析：分三步：甲學(xué)校(xuéxiào)2名，有C62種方法，乙學(xué)校(xuéxiào)2名有C42種方法，丙學(xué)校(xuéxiào)2名，有C22種方法，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所求不同方法數(shù)為C62C42C22=90?！?〕平均分給(fēnɡěi)甲、乙、丙三所學(xué)校，每校兩名。第二十二頁(yè)，共36頁(yè)。22解析(jiěxī)：分兩步：第一步，把6名教師分為三組，分別為一、二、三名，共有＿＿＿＿＿種方法;第二步，把他們分給甲、乙、丙三所學(xué)校有＿＿種方法，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有＿＿＿＿＿種方法。〔2〕分給(fēnɡěi)甲、乙、丙三所學(xué)校，一校1名，一校2名，一校3名。第二十三頁(yè)，共36頁(yè)。23解析：分三步：第一步，從6名教師中選取4名有＿＿＿種方法；第二步,分給(fēnɡěi)甲、乙、丙三所學(xué)校中的一所有＿＿種方法；第三步：余下兩名教師分給(fēnɡěi)剩下的兩所學(xué)校有＿＿種方法；由分步計(jì)數(shù)原理有＿＿＿＿＿種方法。3〕分給(fēnɡěi)甲、乙、丙三所學(xué)校，一校4名，另兩所學(xué)校各1名。第二十四頁(yè)，共36頁(yè)。24解決“允許重復(fù)排列問題〞要注意區(qū)分(qūfēn)兩類元素：一類元素可以重復(fù)(chóngfù)，另一類不能重復(fù)(chóngfù)，把不能重復(fù)(chóngfù)的元素看作“客〞，能重復(fù)(chóngfù)的元素看作“店〞，再利用乘法原理直接求解。例3、七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)射擊冠軍(guànjūn)，每項(xiàng)冠軍(guànjūn)只能由一人獲得，獲得冠軍(guànjūn)的可能的種數(shù)有〔〕5B.57CA7575分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店〞，五項(xiàng)冠軍看作5名“客〞，每個(gè)“客〞有7種住宿法，由乘法原理得75種。注：對(duì)此類問題，常有疑惑，為什么不是57

呢？用分步計(jì)數(shù)原理看，5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。A住店問題第二十五頁(yè)，共36頁(yè)。25例4、某城市(chéngshì)在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)局部〔如圖〕，現(xiàn)要栽種4種顏色的花，每局部栽種一種，且相鄰局部不能栽種相同顏色的花，不同的栽種方法共

有______種.(用數(shù)字作答)涂色問題(wèntí)612345第二十六頁(yè)，共36頁(yè)。26612345[解析]此題是一道涂色問題的應(yīng)用題,可以將不相鄰的區(qū)域合并(hébìng)成涂同一顏色的區(qū)域，再用顏色進(jìn)

行排列；也可以根

據(jù)條件分布涂色.第二十七頁(yè)，共36頁(yè)。27把不相鄰的區(qū)域合并后，成為4個(gè)“大區(qū)域〞，然后再把4種顏色對(duì)應(yīng)(duìyìng)全排列124356

124365

125364

125463

123546共5種合并方法(fāngfǎ)，所以5×A44=120種栽種方法(fāngfǎ).612345第二十八頁(yè)，共36頁(yè)。28例5、將4個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的小球放入4個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多(zhìduō)一球，有多少種放法？(3)恰好有一個(gè)空盒，有多少種放法？(4)每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多少種放法？放球問題(wèntí)第二十九頁(yè)，共36頁(yè)。29解析(jiěxī)〔1〕每個(gè)小球都等可能放入4個(gè)盒子(hézi)中的任何一個(gè)，將小球一個(gè)一個(gè)地放入盒子(hézi)，共有4×4×4×4=44=256種放法?！?〕為全排列(páiliè)問題，共有A44種放法。(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？第三十頁(yè)，共36頁(yè)。30解析：先將4個(gè)小球分為三組有＿＿＿＿種，再