三角函數(shù)中的正、余弦函數(shù)性質(zhì)及化簡(jiǎn)

錄1111122、余弦值域 3、余弦周期3、余弦奇偶3、余弦單調(diào)3yx)型 5y

x)

6777898.9.致 謝 PAGEPAGE16三角函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中考察的一個(gè)重要內(nèi)容，但由于內(nèi)容繁雜，公式多且性質(zhì)靈活，在解題中如何把握好變換的方向，有目的地進(jìn)行三角變換是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵．三角函數(shù)在數(shù)學(xué)、其它科學(xué)以及生產(chǎn)實(shí)踐中都有廣泛的應(yīng)用，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)是對(duì)函數(shù)概念的深化，與其它函數(shù)相比，三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中存在的那些具有周期性變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型．16世紀(jì)以前，天文學(xué)家所用的三角函數(shù)都不過(guò)是一條線而已，早期的天文學(xué)家所關(guān)16()的2003三角函數(shù)線在學(xué)中的應(yīng)用]7以三角函數(shù)的來(lái)用圓定義的及多2]8艷青給出求三角函數(shù)最值得三中方3]，王愛紅對(duì)三角函數(shù)類試題在高考中的重要性進(jìn)行4]，胡艷主張用化歸方來(lái)解決一些三角函數(shù)問題 5]9，周幸杰闡述三角函數(shù)公式的記憶方法6]，福ft從三個(gè)方面進(jìn)行挖掘可以避免隱含條件而引起的錯(cuò)誤7]，潘圖佳討論容易忽視隱含條件的三角問題的學(xué)

8]0桂平闡述解三角函數(shù)的幾大思路

9]．價(jià)從上面的文獻(xiàn)中，我們可以看到，在三角函數(shù)方面，國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)中的解題文獻(xiàn)占絕大多數(shù)，相關(guān)文獻(xiàn)中，把重放在如何，如何記憶這些方面，而學(xué)生是如何想的，如何理解的，如何做的這類文獻(xiàn)相對(duì)較少．三角函數(shù)性質(zhì)是一個(gè)重要性質(zhì)，如何利用性質(zhì)又是重中之重，雖然有過(guò)這方面，但的比較一而且散亂，此有人理解起來(lái)比較困難，揮不出三角函數(shù)性質(zhì)的強(qiáng)大作用．提出問題三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，的過(guò)程中感覺學(xué)生掌握和理解程度不夠；同時(shí)三角函數(shù)也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一，教師在教學(xué)過(guò)程中以及學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中如何去把握這些呢？筆者認(rèn)為首先要理解三角函數(shù)特有的性質(zhì)，這樣就會(huì)存在以下幾個(gè)常見的問題：怎樣利用三角函數(shù)性質(zhì)來(lái)解題？怎樣理解三角函數(shù)式變形？怎樣理解三角函數(shù)的化簡(jiǎn)？三角函數(shù)中的常見問題有哪些？從哪些方面挖掘三角函數(shù)中隱含的條件？在解決這些問題時(shí)三角函數(shù)性質(zhì)到底能發(fā)揮哪些作用就是本文要解決的內(nèi)容，本文以三角函數(shù)中的正、余弦函數(shù)進(jìn)行了舉例說(shuō)明．三角函數(shù)性質(zhì)用之處，特別是在比較大小，求三角函數(shù)的圖象、最值，解不等式等都有著不可替代的作用，要性質(zhì)就先來(lái)圖象．三角函數(shù)的圖象三角函數(shù)的圖象最常用的是“點(diǎn)作圖：先個(gè)點(diǎn)點(diǎn)來(lái)畫x值為：、2

、2

著求應(yīng)的 y值，個(gè)點(diǎn)，用的來(lái)，擴(kuò)展就可三角函數(shù)的圖象 ．如下：x0yx0yx0210220表1xx0ycosx120-13201表2表中數(shù)將圖象移動(dòng)得如下兩圖：yx ycosx觀察圖象可以得如何性質(zhì)：、余弦函數(shù)的值域xR、余弦值域都為[-1,1]．、余弦函數(shù)的周期性y

f ,x取定義域內(nèi)的(x)每一個(gè)值f f 都成立

f 叫周期函數(shù)T叫這個(gè)函數(shù)的周期所有周期中的(xT） ）

（x）最小數(shù)又叫最小、根據(jù)誘導(dǎo)公式

2kcos(x

2k得、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2k(k

且

0都是它們的周期最?。?、擴(kuò)展y

A

kTk

0)；0)．、應(yīng)用示例：212

f(x

sin(2x

)4

2

的最小周期2 222

1cos2xf(x)

sin2x22222222222

cos2x2 2

sin2x2

cos2x2sin(2x

)4故原函數(shù)的最?。?、余弦函數(shù)的奇偶性x

f (x)

f(x成立這樣的函數(shù)稱為偶函數(shù)；把存在x

f(x

f 成立這樣的函數(shù)稱為奇函數(shù)．(x)、根據(jù)定義由誘導(dǎo)公式sin(xxcos(xcosx

，余弦函數(shù)是偶函數(shù)．、余弦函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)圖象可知、

sinx[2k

2

2；

2,2k2](k)y

cosx[2k

];[2k

](k)例1：比較下列兩個(gè)函數(shù)的大小sin(sin5)與sin(cos7)解：因?yàn)閟in16

cos且16

16cosx在[2k,2k

16內(nèi)cos16

cos160coscos而ysinx內(nèi)sin(sinsin(cos716 16 16 16性來(lái)比較．例2：求y

1sin(x的3 8 4解：令

x，則只需求y8 4

sin的即可ysin在

2

x8 4

(k)上22k

4

x2k8

34

16k

6即原函數(shù)在

](k)上ysin在

2

x8 4

32

(k)上16k

k或

A

k思想作代換，令x

k或

A

k作整體

(或

cos)．

3sin(

)在x

范圍內(nèi)的值域4 4 4

[

]

- [0, -

sint在t[-

, 上所4 4 4 2 2 2t

2

34

3

0

40[]．

k

k)(k

t

k

A

k

yt(

cost

t(

cost．誤；

k

A

k區(qū)間因?yàn)闆]有x系負(fù)從而相反結(jié)論；、對(duì)

k

A

k周期果說(shuō)是有負(fù)．

)k型、y

3

xcosx2

周期、振幅、初相與區(qū)間。解y

3

xcosx2 2

2sin(x2

),令T6

x2 6

,列表下：TT0x3ysin(x)0223253023302 6圖再向兩端拓展．

,4 6[3

2k,3

2k

);[3

2k,3

2k

).(1

A、、

)

像均有影響．一般地y

)k(Ay=sinx 再把正弦曲線向左(右)位長(zhǎng)度得到y(tǒng)

然后使曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)

倍得到

Ay

．、需要記住幾概念A(yù)就簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)f

1T

,它表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體在位時(shí)內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)次;x稱為位x=0時(shí)位稱為初．x(橫坐標(biāo))而言即x起了多大變化而不角變化了多少．

Asin(

)

與性質(zhì)y

通?？疾閷?duì)稱軸對(duì)稱中心性最大值和最小值

k

即對(duì)稱中心坐標(biāo)為k

),對(duì)稱軸方程滿足x

k

2

0)．

2x

acos2x

sin(2x

)(

a,1a1a2

x 8)由

0

0,a02222對(duì)稱軸必經(jīng)過(guò)應(yīng)該是最點(diǎn)2222ymax

sin[2(8

)]acos[2()]22822

(1a)

a11a21a21a2max1

a1即a2

1

(a2

2a得

1.、余弦辦法．方程cos2x

cos2

cos3a1[0,2內(nèi)恰有兩個(gè)a取范圍．解方程轉(zhuǎn)化為cos2

cos

20令xt,則方程變形為t2

t20式14(3a2912a

9

得

3,此時(shí)t(1,1)符合題意；4、有兩個(gè)不相等根時(shí)9-2得a

34

f 0(1)即2)00a

20a23 3綜上所述aa三角函式的化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)的意義

3或0a2.4 3f

(x

)cos(2

3x．

f(x

16x2

)．計(jì)算式這里有兩種情況一是結(jié)正好是一個(gè)常這是所式；二是．證明恒等式證明恒等式有時(shí)等式較繁一邊而結(jié)通常是目所規(guī)定即等式等式兩邊推同一結(jié)．一般要求從目意義發(fā)到終一般都是現(xiàn)兩種結(jié)一種是一元一次，

)

即類似y

B)2c標(biāo)準(zhǔn)形式(1)(2)、種類盡量少；(3)冪要盡量低；(4)項(xiàng)要盡量少；(5)盡量使分母不含這些要?dú)w根結(jié)底是一個(gè)字．cos5

cos25

sin

sin

sin3式2cos10

3 10

52cos10

5cos10

2

5 5 1 25 5n42x

2x

)cosx式

2

x)(sin2

x)

2

)cosx1

cos2x

2

21

1

cos2xcosx cosx

(

)co

)co( 2

)cos(2

)co

)(

)(

)(2解：原似

()(cos)()

(2

))

tan．(cos)

)[

)]sin(4

(2

))

cos例4：化簡(jiǎn)函數(shù)fx

2cos

sin(x

)3

3sin2sin

cosx解：fx

2cos

sin(x

)3

3sin2sin

cos

三角公式開降冪式sin2x

3cos2x

助角式2sin(2x )36 三角函數(shù)中的幾個(gè)常見問題1、根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)可知，在直角坐標(biāo)系中，在角終邊上任取一點(diǎn)作x軸的垂線，得到的三角函數(shù)值不會(huì)隨所取點(diǎn)的位置的不同而不同，那么還要用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義任意角的三角函數(shù)，這樣定義有什么樣的好處呢？好處有如下幾點(diǎn)：好處 1：更簡(jiǎn)潔、更清楚，而且更能突出正、余弦函數(shù)中自變量（角的弧度）與函數(shù)值（單位圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)）的對(duì)應(yīng)關(guān)系．好處2：更方便，因?yàn)閱挝粓A上點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)角的三角函數(shù)，所以任意角的三角函數(shù)的代數(shù)形式都可以用圖象直觀地表達(dá)出來(lái)，使用單位圓能讓我們?cè)谇笕呛瘮?shù)值、作三角函數(shù)圖象時(shí)更方便．好處 3：數(shù)形結(jié)合更明，助單位圓與三角函數(shù)線，我們能方便地用數(shù)結(jié)合的三角函數(shù)的定義、值、三角函數(shù)值的變化、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、公式、三角函數(shù)的、單值．2、用不變，了六組公式，并且在運(yùn)用口訣時(shí)要把成是一個(gè)銳角，但是這個(gè)難道不是一個(gè)任意角嗎？公式確實(shí)是一個(gè)適用于任意2k(k

、、2

的三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系，從數(shù)形結(jié)合的角度來(lái)，三角函數(shù)的公式實(shí)質(zhì)上是圓的對(duì)“2k(k

、、2

的終邊之一個(gè)記憶上的技巧．3、我們通過(guò)先平移后伸縮與先伸縮后平移的方法，對(duì)同一個(gè)函數(shù)y

Asin(x

)進(jìn)y

sinx的

Asin(2x 3．ysinx

3

)123

)3．1 ynx2

6

2(x )6ysin(2x )6x，x3

121 1 ．27 三角函數(shù)求解八大類型

3 2 6a2a2b2

a2

bcos

ca2b2a2a2b2a2b2

,

a2b2

)c；

y

a2b2

c]．

f (x)

3

cosx

2

x1(x

R).

f (x)

]2、fx0

6,x5

[,4

],求cos2x

值.0(1

f(x

3(2cosx

x)(2

1)

32x

cos2x=2sin(2x

)6所

f 最正周期.(x)

f(x

2

6

]6[6

]

(0)

1,f()6

2,f()2

f [0,(x) 2

]

6 3(2)、由(1)知

f(x0

2sin(2x 0

),因f6(x60

,sin(2x 5 0

) 6 5x [,0 4

]得2x0

[,6 3 6

],從而cos(2x0

)112(2x )06

45

,3cos2x3

)]

)cos

)

34 .0 0 6

0 6

0 6 6 題主要考察二倍角正弦y

的y

a

bcosx

c

cosx

at

btct求．例：已知

f (x)

3

)

)(0,0yf

(x

.(12y(x)

f(x

右平移

4，6

yg (x).(x)

(x

2[323

)12

2

),6

(x

，

)6

),整理得6

)0,因0,且6

R，)因06

,故6

2

f(x

2

22

22

2

f(x

2cos2x.2y

f(x

6

f 圖象再將得到圖象各點(diǎn)橫(x)6坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)4縱坐標(biāo)不變得到

f 圖象(x)

(x)

f(

2x2

)，346 4 62k

x

(kZ),

4k

x4k

8

(kZ

.即2 3

3 (x).y

cosx,

cos

a(t2

cos

y

1 btct[ 2,

2上(

cosx,x

“知其一其另)

4

,tancot52

10,38sin

cos

11cos2

82(1).(2)2 2 2 2 .2sin( 41(1由已知得3n210n3,得n

或3

33因4

所1

n所n

13

1cos(2)因

13

所所

5(sin

cos22

)46 82 2cos5433cos8sincos

43cossincos

431

5.4礎(chǔ).y

asinbsinx

cd利正弦(余弦)有界來(lái)或利形結(jié)合來(lái)．例若

cos2sin(242

則cos多少.222sin()ncos

cossin

cos)

cos2 =4 4 4

sin( 42

cos

,con

1.22cos) 2 2 222 2yxcos2

x1 1

f(

2xsin2

xcos

sin(2 2

)(0

(61

,12

.(1)、(2)、將y

f(

上各橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)變，到y(tǒng)2

g(

，g 在(x)

]上最大和最小.4原化為f 12xsin1cos2x原化為

12xsin

1cos2xcos(x) 2

2 2 212xsincos2xcos)2

1)2

又(6

1 ，所以, 2, 11

)1，又0

2 2 6

cos(31

，所.3(2(1)

(

2

將y3

f(

上各橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)1，縱坐標(biāo)變，到y(tǒng)12

g(

，

(x)

f(2

1cos(4x2

)，因?yàn)?x[0,4

],所4x

[3 3

],故3

cos(4x2

1y3

g(

在[04

]上最小和最大分別為1和1.4 2能力.yaxb

x

cosx

yacosxb最大是1，最小7，則yacosxbx最大是多少？a由

b

a

所acosxb

x最大

a2b25 a

b

b3,yx

asinx

．

(0,),

2

．

t(0t

)

t1t1y 3．min11x2y

3x

．x

sin,[

ysin

cos,

[

)3[ 3

, 2 2 3,y

, ]6 3 3 63 max

min閉區(qū)間內(nèi)外還均結(jié)合來(lái)．三角函數(shù)中的隱含條件錯(cuò)誤隱能挖掘隱含條件：域中挖掘隱含條件于切域受一局限若有考慮周就會(huì)改變集．

a,cos2

tan()求4tan(

)

k

k

,ktan(4

)

4tan(

422 )2

sin(21

22)

4 cos21

b1acos(2

2)有界中挖掘隱含條件、余弦域固范圍內(nèi)改變約束就集．

1nco3

．n

11

1

1

42

-1

323

知3

313

3

)

1)221112

1nco2

11n12

23

nco

492

3 ,cos5 2

45n

2

cos2 2

2425

2

702 5

．．AB

,cosB5

5cosC13A、B形內(nèi)AB

深入A、B實(shí)際．A35

3 2, 2 5 2 62,

A 4 4

A56

5而130513

12 3

B2

A4

A6

符合6

A4則cosA

5

12cosC13

(AB)]cos(AB)cosAcosBB(4

5)312

165 13 5 13 65主要發(fā)現(xiàn)到解題中來(lái)，將會(huì)更快捷．啟示和意義局限性．努力方向更好的利用這些性質(zhì)；二、我需努力的方向．參考文獻(xiàn)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書，必修 4[M].普通高中數(shù)學(xué)課程課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].張禾瑞，近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].汪曉勤，韓祥臨.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M].科學(xué)出版社.2002胡艷.化歸思想方法在三角函數(shù)中的應(yīng)用[J].教育科研(數(shù)學(xué)教研),200818