第10章期權(quán)定價模型

《現(xiàn)代金融經(jīng)濟學》第10章期權(quán)定價模型第一頁，共二十頁。本章大綱復合證券和衍生證券的定價原則布萊克—舒爾斯(Black-Scholes)期權(quán)定價公式期權(quán)定價公式的應用第二頁，共二十頁。10.1復合證券和衍生證券的定價原則前提假設(shè)：經(jīng)濟行為主體及其效用函數(shù)的假設(shè)證券市場組成的假設(shè)證券市場的均衡消費配置是帕累托最優(yōu)的在以上假設(shè)下，我們可以構(gòu)建一個具有嚴格凹的增效用函數(shù)u0和u1的代表性經(jīng)濟行為主體。并由此推導出證券的風險補償均衡關(guān)系：

也即風險證券j的風險補償為正值的充分必要條件是其時期1的隨機收益與時期1的總財富正相關(guān)。利用效用函數(shù)的特點第三頁，共二十頁。

+(10.9)

即在證券市場均衡時，證券j的風險補償和市場組合的風險補償成比例。其比例系數(shù)等于rj和的協(xié)方差與rm和的協(xié)方差之比第四頁，共二十頁。效用函數(shù)為冪函數(shù)時的定價關(guān)系假設(shè)經(jīng)濟行為主體在時期1的效用函數(shù)為冪函數(shù)

當B=-1時，經(jīng)濟行為主體的效用函數(shù)為二次效用函數(shù)，上式變?yōu)槲覀兯煜さ腃APM關(guān)系式。當B=-1/2時，代表性的經(jīng)濟行為主體時期1的消費的效用函數(shù)為三次函數(shù)第五頁，共二十頁。由期權(quán)的性質(zhì)我們可以判斷期權(quán)的現(xiàn)時價格并不依賴于經(jīng)濟行為主體的效用函數(shù)和標的證券的未來收益分布。以上嚴格不等式背后隱含的直觀經(jīng)濟含義如下：一個必須執(zhí)行的，以執(zhí)行價格k在時期1購買1個單位的標的證券j的義務，其現(xiàn)值為pj

–k/(1+rf)。當存在一個嚴格正值的概率使得嚴格小于k時，不用執(zhí)行購買的選擇權(quán)就具有嚴格正的價值。從純粹市場套利的觀點來討論的期權(quán)價格的一些性質(zhì)第六頁，共二十頁。一支期權(quán)的價格是其執(zhí)行價格的凸函數(shù)。可以證明，這個性質(zhì)在更加一般的條件下也成立，也即一支標的資產(chǎn)為正值權(quán)重的證券組合，執(zhí)行價格為k的期權(quán)，其價值要小于以組合中的證券為標的資產(chǎn)，執(zhí)行價格同樣為k的相同權(quán)重的期權(quán)組合的價值。從純粹市場套利的觀點來討論的期權(quán)價格的一些性質(zhì)第七頁，共二十頁。10.2布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式這里我們將首先證明，在標的證券或標的資產(chǎn)的未來收益率分布業(yè)已固定的情況下，一個買入期權(quán)的價格是其標的證券或標的資產(chǎn)的價格的增函數(shù)和凸函數(shù)。第一個證明是：看漲期權(quán)的價格vj

(pj,k)是pj的增函數(shù)，并且如果>k的概率嚴格為正，則vj

(pj,k)是pj的嚴格增函數(shù)。第二個證明是：vj

(pj,k)是pj的凸函數(shù)。第八頁，共二十頁。前提假設(shè)兩期的證券市場經(jīng)濟經(jīng)濟行為主體的效用函數(shù)如關(guān)系式(10.12)所定義

在時期０，我們賦予經(jīng)濟行為主體消費物品和市場交易證券選擇一個代表性的經(jīng)濟行為主體，使其效用函數(shù)為冪函數(shù)進一步假設(shè)和服從二維對數(shù)正態(tài)分布。

布萊克-舒爾斯(Black-Scholes)期權(quán)定價公式的推導第九頁，共二十頁。求得布萊克-舒爾斯(Black-Scholes)期權(quán)定價公式如下：

第十頁，共二十頁。幾點說明：期權(quán)定價公式是在一種特定假設(shè)的經(jīng)濟中推導的，在這種經(jīng)濟中，經(jīng)濟行為主體的效用函數(shù)是具有相同謹慎度B的線性風險容忍效用函數(shù)，并且假定經(jīng)濟行為主體的初始收入只是交易證券。在市場均衡時，每個經(jīng)濟行為主體都持有一支無風險證券和市場組合構(gòu)成的線性組合，并且實現(xiàn)了帕累托最優(yōu)。這樣，如果一個以某支證券為標的的買入期權(quán)被引入經(jīng)濟中，在市場均衡時就沒有人需要這支期權(quán)。這就是說，只要期權(quán)是按照關(guān)系式(10.32)和(10.35)式定價的，那么，在經(jīng)濟處于均衡時，引入一個買入期權(quán)，初始的均衡就不會遭到破壞。期權(quán)的定價使得在均衡時的經(jīng)濟中沒有一個行為主體對其有所需求。在這樣的背景下，期權(quán)在經(jīng)濟均衡時就沒有配置資源的作用，因而有時就被稱為多余證券或資產(chǎn)。第十一頁，共二十頁。

證券定價的兩個基本方法：均衡方法和無套利方法

均衡是從相互作用的經(jīng)濟行為主體的活動中產(chǎn)生，所以需要對經(jīng)濟主體效用函數(shù)作出假設(shè)。經(jīng)濟行為主體的效用函數(shù)被假定為是具有相同謹慎度B的線性風險容忍效用函數(shù)，并且假定經(jīng)濟行為主體的初始收入只是交易證券。無套利方法是基于無套利原理──在沒有套利機會的金融市場中，兩個期末收益相同的證券在任一時刻的交易價格應該相等。它只對價格進行比較，所以與行為主體效用函數(shù)無關(guān)。不管什么樣的效用主體，只要市場是完全和有效的，則其價格關(guān)系必須滿足無套利原理。第十二頁，共二十頁。無套利原理的核心思想是我們能用交易的證券完全復制一個證券，并因此給該證券定價。但無套利方法并不總是可以使用，有時我們無法使用無套利方法。但卻可以使用均衡方法。均衡方法為分析市場和證券定價提供了更一般的框架，也是一以貫之地在本書中得到體現(xiàn)和強調(diào)的思想邏輯主線。該方法把證券的價格更多地與基本經(jīng)濟概念聯(lián)系起來，即使是最簡單的確定性模型，也可導出資產(chǎn)價格關(guān)于經(jīng)濟參數(shù)的表達式。正是在這種意義上，均衡方法比無套利方法更基本，因為后者假定價格是給定的，而均衡方法則可以說明價格的起因。第十三頁，共二十頁。10.3期權(quán)定價公式的應用期權(quán)定價公式的一個比較典型的應用是對于有風險的公司債券的定價研究。前提假設(shè)假設(shè)公司j有１個單位的普通股股票和一支面值為k的貼現(xiàn)債券在外流通。股票和債券的價格分別為Sj和Dj，貼現(xiàn)公債在時期１到期。公司j在時期１的總收入為，我們假設(shè)與時期１的總消費構(gòu)成聯(lián)合對數(shù)正態(tài)分布，并且這個分部的參數(shù)和我們上一節(jié)的討論相同。的現(xiàn)值是該公司在時期０的價值，我們用Vj來表示，因此，Vj

=Sj+Dj。第十四頁，共二十頁。運用關(guān)系式（10.3）計算Dj可得：同時，我們也可以用布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式以一種更直接和直觀的方式來計算Dj

第十五頁，共二十頁。我們對有風險的公司債券可以作出兩種解釋第一種第二種第十六頁，共二十頁。在推導布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式的條件下，我們總可以利用關(guān)系式(10.32)和（10.35）對以總消費量或總財富為標的的歐式買入期權(quán)進行定價。依據(jù)第７章的討論我們知道，可以利用這些期權(quán)價格對任何復合證券進行定價。qc(k)的一個比較靜態(tài)分析從qc(k)在不同的k之下的結(jié)構(gòu)提取一些信息以上分析表明，用布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式對以總消費量為標的的歐式看漲期權(quán)進行正確定價的充分條件是，時期１的總消費量服從對數(shù)正態(tài)分布，并且代表性經(jīng)濟行為主體的相對風險厭惡是固定的。第十七頁，共二十頁。我們知道，一個以對總消費量的狀況權(quán)證的定價概率密度被該總消費水平發(fā)生的概率密度除的結(jié)果就是，以就是代表性個體當前消費和未來消費的邊際替代率。這個比率相對于其總消費的彈性是恒定的當且僅當代表性個體的１期效用函數(shù)呈恒定的相對風險厭惡。這樣，用布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式對以總消費為標的的期權(quán)進行定價暗含了１期個體效用函數(shù)為具有恒定的相對風險厭惡的效用函數(shù)的假設(shè)。第十八頁，共二十頁。

《現(xiàn)代金融經(jīng)濟學》謝謝！第十九頁，共二十頁。內(nèi)容總結(jié)《現(xiàn)代金融經(jīng)濟學》。+(10.9)。其比例系數(shù)等于rj和的協(xié)方差與rm和。第一個證明是：看漲期權(quán)的價格vj(pj,k)是pj的增函數(shù)，并且如果>k的概率嚴格為正，則vj(pj,