讓理性之光照亮解題思路 論文

讓理性之光照亮解題思路

-----如何在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的理性思維【內(nèi)容摘要】如何在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的理性思維？本文給出三種方法：在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生明確解答題目的依據(jù)；在“讀一點(diǎn)、想一些”中，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想出更多的解題條件；以學(xué)生的思考結(jié)果為“生長(zhǎng)點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生擬定、執(zhí)行解題方案?？傊?，教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)化的活動(dòng)，學(xué)生在活動(dòng)中親身體會(huì)到數(shù)學(xué)的理性魅力，然后模仿著理性思考，當(dāng)這一切成為習(xí)慣時(shí)，理性思維的素養(yǎng)就會(huì)得到提升?！娟P(guān)鍵詞】解題教學(xué)數(shù)學(xué)化的活動(dòng)理性思維

【正文】

面對(duì)難題，大多數(shù)學(xué)生困惑重重：題目，讀了一遍又一遍，腦海里幾乎還是空白一片；或許能想到些什么，但依然找不到解題思路；找到了解題思路，又被“卡”在某個(gè)地方老是過不去，如此等等。出現(xiàn)這些現(xiàn)象的原因是多方面的，其中一個(gè)關(guān)鍵性的因素是教師的“教”?！皫煾狄M(jìn)門，修行在個(gè)人”，如果教師根本就沒有把學(xué)生引進(jìn)數(shù)學(xué)的大門，他們?cè)趺茨軌蛐扌械煤媚兀苦嵷剐耪f：“數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)是通過數(shù)學(xué)教學(xué)促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，特別是，使學(xué)生能學(xué)會(huì)更清晰、更深入、更全面、更合理地進(jìn)行思考，并能由‘理性思維’逐步走向‘理性精神’”【1】。理性思維是什么？理性思維是指有明確的思維方向，有充分的思維依據(jù)，能對(duì)事物或問題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括的一種思維。作為新時(shí)代的數(shù)學(xué)教師不能只為分?jǐn)?shù)而教，更應(yīng)該為“理性思維”而教！本文就在解題教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，談一談個(gè)人的做法和想法。1.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生明確解答題目的依據(jù)具體是什么解答題目的依據(jù)只能是課本中的定義、公式、法則、運(yùn)算律、性質(zhì)、判定、基本事實(shí)、定理、推論等等。在解題過程中，學(xué)生往往根據(jù)情境的需要和自己的解題經(jīng)驗(yàn)，主觀臆造出一些自己認(rèn)為是正確的結(jié)論，并把它們作為解題依據(jù)，這正是學(xué)生理性思維欠缺的表現(xiàn)?！景咐?】下面是一位學(xué)生解答的一道計(jì)算題：1解：1???2èx 1+-x2?

÷=1????2èx 1+-x?=??x 1+?xx÷

??

èx÷

?=?x2+1=′x=1xx2+1x+1【教學(xué)片斷摘錄】師：等式“x=1

”+1對(duì)嗎x2+1x生1：對(duì)，當(dāng)x=1時(shí)就對(duì)生2：不對(duì)，當(dāng)x=2時(shí)就不對(duì)師：到底是對(duì)還是錯(cuò)呢

生：錯(cuò)，只要有一個(gè)數(shù)使它左右兩邊不相等，就是錯(cuò)的師：不過，這里的數(shù)應(yīng)該是在x的取值范圍內(nèi)。請(qǐng)這位同學(xué)說一說x為什么會(huì)x+1等于1x+1做錯(cuò)本題的學(xué)生：約分，2x和x相約得x，1不能和x相約，就照抄唄（大多數(shù)）生：不能這樣約分吧

師：為什么不能這樣約分

大家你一言我一語，但沒有一個(gè)學(xué)生能說到點(diǎn)子上。這是，老師出示了下面的題目：約分：（1）23（2）2+366生：老師，（2）不能約分，2和3不是相乘關(guān)系師：2和3為什么一定是相乘關(guān)系才可以約分呢學(xué)生又陷入了迷茫，這時(shí)，有學(xué)生開始打開課本找依據(jù)生3：“根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，叫分式的約分”

師：原因就在這句話里，……生3（打斷老師的話）：我知道了！公因式，只有相乘，才會(huì)出現(xiàn)因式，其它的運(yùn)算不行啊！師：非常好!請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算下列各題：2（1）a(2)x2+xy（）?1-x2?a2-abx+y31??

èx+x÷?師：通過本部分學(xué)習(xí)，除知識(shí)上的收獲外，你還有什么想說的？生：要認(rèn)真揣摩定義；不能自己制造“法則”；原來計(jì)算也需要有根有據(jù)?。∪绱说鹊?。師：再補(bǔ)充一點(diǎn)，如果能夠嚴(yán)格依據(jù)書中的定義、法則、性質(zhì)、定理、基本事實(shí)等去解題，這就是一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。【評(píng)析】怎樣讓學(xué)生更清晰地認(rèn)識(shí)到自己錯(cuò)在哪里，錯(cuò)誤的根源在哪里？本部分教學(xué)采取的方式是：通過“問題串”設(shè)計(jì)一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)（舉特殊數(shù)判斷對(duì)錯(cuò)；類比分?jǐn)?shù)約分知道錯(cuò)在哪里；在課本中尋找錯(cuò)誤的根源；及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容），而不是長(zhǎng)篇大論地直接說教。最后通過讓學(xué)生談想法，引導(dǎo)學(xué)生從思想上意識(shí)到解題的依據(jù)只能是課本中給出的定義、公式、法則、性質(zhì)、判定、定理等等，任何人不能想當(dāng)然地臆造“解題依據(jù)。希望在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中學(xué)生能領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的理性魅力。2、在“讀一點(diǎn)、想一些”中，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想出更多的解題條件 條件，是解題的必需，但題目直接告知的條件一般是不充分的，這就要求教師引導(dǎo)學(xué)生能推導(dǎo)出更多的正確的新條件。如何引導(dǎo)呢？聯(lián)想，有根有據(jù)的聯(lián)想?！景咐?】如圖，在RtABC中，DACB=90°，點(diǎn)D為AC上的一點(diǎn)，DE^AB于點(diǎn)，點(diǎn)M為DB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于一點(diǎn)F，DDAE@DCEM求證：DDMC=DDEC（根據(jù)2018年安徽中考第23題改編）【教學(xué)片斷摘錄】師：如圖（1），由DACB=90°，DE^AB于點(diǎn)E，可得到DAED:DACB，理由生：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似生：AD=AE= DE 是什么？從“線段”和“角”兩個(gè)方面，你能得出新的結(jié)論？AB AC BC生：DABC=DADE.師：在圖1的基礎(chǔ)上，增添了“點(diǎn)M為DB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于一點(diǎn)F”。3在RtDEB中，你能聯(lián)想到哪個(gè)定理？從“線段”和“角”兩個(gè)方面，你能得到什么？生：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半生：ME=MD=MB;DMBE=DMEB;DMDE=DMED.生1：MC和ME、MD、MB也相等師：為什么？生1：DDCB也是直角三角形生：噢……，又可得出兩組角相等：DMCD=DMDC,DMCB=DMBC師:在圖（2）的基礎(chǔ)上，又增添了條件“DDAE@DCEM”，如圖（3），你又能得到什么？生2：從線段的角度看，EA=EM=MD=MB=MC=ED，DDEM是等邊三角形。生3：DAED是等腰直角三角形師：還有等腰直角三角形嗎生：DEMC和DACB也是等腰直角三角形師：此時(shí)，你能證明DDMC=DDEC嗎？生4：老師，DDMC和DDEC的度數(shù)可以算出來，DDMC=30,°DDEC=15°.師：不知不覺中我們已經(jīng)把這一題證明好了！生：真簡(jiǎn)單！師：同學(xué)們，我們是怎樣證明出DDMC=DDEC的？生：先把圖形拆成簡(jiǎn)單圖形，再一點(diǎn)一點(diǎn)地累加起來；每添加一個(gè)條件，看看可以挖掘什么新的條件；……

【評(píng)析】波利亞在《怎樣解題》中寫道：“好的思路來源于過去的解題經(jīng)驗(yàn)和以前獲得的知識(shí)?！?，你以前見過它嗎？…，你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？…，你能利用它的方法嗎？…，你知道一條可能有用的定理嗎？…，為了有可能應(yīng)用它，你是否應(yīng)該引入某個(gè)輔助元素？”【2】實(shí)際上，解答數(shù)學(xué)題就是通過認(rèn)真閱讀題目，喚起儲(chǔ)存在記憶中的數(shù)學(xué)材料（或定義、法則、公式、定理等，4或數(shù)學(xué)思想方法，或熟知的相似題目等），然后把它們轉(zhuǎn)化為有助于解題的因素，再由此引出新的聯(lián)想，如此反復(fù)，直至達(dá)到問題的目標(biāo)。可見，“聯(lián)想”在解題過程中是不可缺少的！那么，以怎樣的方式聯(lián)想才能獲得更多的可能有助于解題的條件呢？讀一點(diǎn)、想一些、再讀一點(diǎn)、再想一些…，如此下去。當(dāng)然，這里的“想”一定是有根有據(jù)的邏輯推理，否則，得出的結(jié)論也不能作為解題的依據(jù)。此外，這種先化繁為簡(jiǎn)，再步步推進(jìn)的方式就應(yīng)該是學(xué)生面對(duì)難題時(shí)的一種理性態(tài)度。3.以學(xué)生的思考結(jié)果為“生長(zhǎng)點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生理性地?cái)M定、執(zhí)行解題方案運(yùn)用上面的方法可以挖掘出題目中的隱含條件，但哪些是有用的，哪些是沒用的？又如何將有用的條件穿成串形成解題過程？這就需要解題方案。對(duì)于難題，解題方案有時(shí)還需要適時(shí)調(diào)整。但無論是解題方案的確定還是調(diào)整，都離不開理性分析！【案例3】如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn)，且DAGB=90,延長(zhǎng)AG、BG分別與邊BC、CD交于點(diǎn)E、F.求證：（1）BE=CF（2）BE2=BCCE(節(jié)選自2017年安徽中考第23題)

【教學(xué)片斷摘錄】學(xué)生按照【案例2】的方法，順利地證明了BE=CF。師：怎樣證明BE2=BCCE呢生：化為比例式：BEBC CE

=BE師：我們學(xué)過的哪些定理可以得到比例式呢？生：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

生：平行線分線段也成比例

師：先嘗試運(yùn)用“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”，哪兩個(gè)三角形相似才能得到這個(gè) 比例式呢

生：找不到，因?yàn)锽E、BC、CE都在一條直線上，構(gòu)不成三角形

生1：因?yàn)锽E=CF，可以用CF替換BE試一試，即FC2=BCCE

師：現(xiàn)在需要哪兩個(gè)三角形相似呢？生：BCF和DFCE5師：我很好奇，你們是怎么找到它們的？生：先把FC2=BCCE化成比例式：FC=CE，然后再看BC和CF是哪個(gè)三角形的邊，BCFCCE和CF是哪個(gè)三角形的邊師：它們相似的條件夠嗎

3分過去了，沒有結(jié)果，5分鐘過去了，還是沒有結(jié)果。生2：條件不夠啊！是不是不能通過三角形相似來證明師：可以，這一點(diǎn)不能懷疑！給點(diǎn)提示，根據(jù)比例式FC=CE，把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在BCFC對(duì)應(yīng)的位置上生：FCE:DBCF生3：老師，我覺得這兩個(gè)三角形好像不可能相似師：是什么引起了你的懷疑生3：DCFE不等于DCBF師：為什么

生3：我量的

師：很好，這兩個(gè)三角形確實(shí)不相似，能證明嗎學(xué)生們?nèi)宄扇旱赜懻撈饋?，終于有學(xué)生發(fā)言了！生3：可以用反證法來證明……師：停！其他同學(xué)想一想怎樣用反證法來證明，你想一想怎樣表達(dá)得更清晰 約5分鐘以后，有更多的學(xué)生知道了理由生3：假設(shè)DFCE:DBCF，那么，DCFE=DGBE，又DFCE=DBGE=90, BE=CF，所以DFCE@DBGE，所以EF=EB，但是EF不可能等于EB，因?yàn)镋B=FC，在RtFCE中，斜邊大于直角邊，EF一定大于FC，因此它們不可能相似。師：同學(xué)們，現(xiàn)在到了“山窮水盡疑無路”的地步。怎么辦？是繼續(xù)找其它線段來替代BE,還是用“平行線分線段成比例”來證明？ 學(xué)生們一時(shí)不知如何是好

師：兵分兩路！看哪一路先完成任務(wù)

分組以后，場(chǎng)面更加熱烈：有的寫寫畫畫，有的獨(dú)自深思，有的討論交流，……6生4：做出來了！可以用GC替代BE，我還是寫出來，大家更明白些！證明：QDAGB=90,MA=MB\MG=MB=MA\DMBG=DMGB,DMGA=DMAG.,QAB//CD,\DMBG=DCFG,又DMGB=DFGC\DCFG=DFGC,\CG=CF.QDCGE=DAGM=DGAM=DGBE,\在DCGE和DCBG中，DGCE=DBCG，DCGE=DGBE\DCGE:DCBG\CG CE=CG,CBQCG=CF=BE,\BE CE=BE,即BE2=BCECCB課后，另一組同學(xué)，也給出了另外一種解法：證明：作EH//DC,分別交BF、MC于點(diǎn)、N.QEH//DCAB//CD,\HE//ABQHE//AB\NE NG=GM,HN NG

=GMAMBM\NE=HN,QAM=BM\NE=NHAMBMQNE//AB,\EC=NEQNE=2NE=EHBCBMBM2BMAB\EC=EHQAB=BC\EC=EHBCABQHE//DC\BE=HEQBE=FCHE=ECBCFC\BE=EC即BE2=BCgCE.BCBE【評(píng)析】本題為什么要通過相似三角形或構(gòu)造一組平行線來證明比例式呢？原因是“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”、“平行線分線段成比例”，正是由于定理本身的特點(diǎn)引起了我們的聯(lián)想，而不是幸運(yùn)地撞上了；由從正面入手找不全DFCE和DBCF相似的條件，到通過測(cè)量懷疑它們有可能不相似，再到運(yùn)用反證法證明它們確實(shí)不相似；由進(jìn)一步挖掘出CG=CF到用GC替代BE，再到通過另兩個(gè)三角形相似證明出BE2=BCCE。為什么學(xué)生能一直走在理性思維的大道上？教師的引導(dǎo)。整個(gè)教學(xué)過程中，教師始終以學(xué)生的思考結(jié)果為“生長(zhǎng)點(diǎn)”，通過看似不經(jīng)意的點(diǎn)撥，一次次將學(xué)生的思維引向深入。這種順著學(xué)生的思維去引導(dǎo)的方式，本身就閃爍著理性的光芒。“數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言，是思維的工具，是理性的藝術(shù)”【3】，怎樣才能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是“理性的藝術(shù)”？“學(xué)生只有親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的活動(dòng)過程，才能真7正形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”【4】。所以，教師應(yīng)該精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)化的活動(dòng)，在活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生親身體會(huì)數(shù)