第八章變形及剛度計(jì)算改

第八章變形及剛度計(jì)算改第1頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三§8—1軸向拉伸桿的變形§8—2圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計(jì)算§8—3梁的變形及剛度計(jì)算§8—4簡單超靜定問題目錄第二章軸向拉伸和壓縮第2頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三§8-1軸向拉壓桿的變形§8-1軸向拉壓桿的變形FF一、軸向拉壓的變形分析FF軸向拉伸：縱向伸長、橫向縮短縱向伸長量：橫向縮短量：軸向壓縮：縱向縮短、橫向伸長縱向縮短量：橫向伸長量：注：絕對變形量不足以描述變形的程度，尤其對于長度不一的桿件，因此引入應(yīng)變的概念。第3頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三FFFF1、縱（軸）向變形量：2、橫向變形量：二、線應(yīng)變軸向線應(yīng)變：線應(yīng)變：將絕對伸長量除以桿件的初始尺寸，即得單位伸長，稱之為線應(yīng)變。橫向線應(yīng)變：3、線應(yīng)變的符號約定：與變形量的正負(fù)號一致，即拉應(yīng)變?yōu)檎瑝簯?yīng)變?yōu)樨?fù)。§8-1軸向拉壓桿的變形第4頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三上式表明，在線彈性范圍內(nèi)軸向拉、壓桿件的伸長或縮短量

l，與軸力FN和桿長

l成正比,與EA成反比。EA——抗拉（壓）剛度§8-1軸向拉壓桿的變形由胡克定律且軸向線應(yīng)變：第5頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三E——彈性模量EA——抗拉（壓）剛度l表示長為

l的桿件在軸力FN的作用下的伸長量或縮短量條件：桿件在

l長范圍內(nèi)EA和FN均為常數(shù)。當(dāng)EA和FN在桿長范圍內(nèi)分段為常數(shù)時–++FN圖當(dāng)EA和FN在桿長范圍內(nèi)為位置的函數(shù)時§8-1軸向拉壓桿的變形第6頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三三、泊松比當(dāng)桿件受拉伸沿縱向伸長時，橫向則縮短；當(dāng)桿件受壓縮沿縱向縮短時，橫向則伸長。FFbh橫向線應(yīng)變：縱向線應(yīng)變：實(shí)驗(yàn)表明，對于同一種線彈性材料，存在如下關(guān)系：——稱為泊松比，量綱為一——負(fù)號表示縱向與橫向變形的方向總是相反§8-1軸向拉壓桿的變形第7頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法畫軸力圖分析：多力作用下，整個桿長范圍內(nèi)軸力分段為常數(shù)，只能分段求變形，再求和。又因?yàn)锽D段內(nèi)雖然軸力為常數(shù)，但截面面積又分兩段，所以要分4段求變形。FN圖§8-1軸向拉壓桿的變形第8頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法畫軸力圖FN圖§8-1軸向拉壓桿的變形第9頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法畫軸力圖FN圖即桿被壓短了1.572mm§8-1軸向拉壓桿的變形第10頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三解：把自重簡化為沿著軸線均勻分布的線荷載，集度q＝γA任意取一個截面1－1，畫受力圖。軸力在1－1截面處取出一微段dy作為研究對象，受力如圖。由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，認(rèn)為在微段dy上軸力均勻分布（常數(shù)）§8-1軸向拉壓桿的變形第11頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三§8-1軸向拉壓桿的變形第12頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三結(jié)論：等直桿由自重引起的變形量等于把自重當(dāng)作集中力作用在桿端所引起的變形量的一半。G令取一根相同的桿件，把它的自重作為一個集中力作用在自由端，此時桿件的伸長量為§8-1軸向拉壓桿的變形第13頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三§8—2圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計(jì)算一、扭轉(zhuǎn)變形——扭轉(zhuǎn)角——抗扭剛度扭率：單位長度扭轉(zhuǎn)角（扭率）描述了扭轉(zhuǎn)變形的劇烈程度扭轉(zhuǎn)角：單位：rad第14頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三一、扭轉(zhuǎn)變形——扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角：當(dāng)在桿長l內(nèi)扭率為常數(shù)時單位：rad當(dāng)在桿長l內(nèi)扭率分段為常數(shù)時，用求和公式§8—2圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計(jì)算第15頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三二、剛度條件以度每米為單位時以弧度每米為單位時許用單位長度扭轉(zhuǎn)角三、剛度條件的應(yīng)用（1）校核剛度（2）設(shè)計(jì)截面（3）確定荷載§8—2圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計(jì)算第16頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例題：圓軸如圖所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的許用切應(yīng)力[]=40MPa，軸的許用單位扭轉(zhuǎn)角[]=0.8°/m，剪切彈性模量G=80GPa。試校核該軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m第17頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m解：強(qiáng)度校核T圖12滿足強(qiáng)度條件分析：雖然MTAB<MTBC，但BC段的截面面積也大于AB段的截面面積，所以要分段分別校核。第18頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三+8KN.m3KN.m剛度校核T圖滿足剛度條件第19頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例：實(shí)心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時，橫截面的最大切應(yīng)力是原來的

倍？圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的

倍？816第20頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為α=0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為Ｔ，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為Ｔ的多少倍？（按強(qiáng)度計(jì)算）。解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)閐1、

D1，最大許可扭矩為Ｔ1第21頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三一、基本概念（撓度、轉(zhuǎn)角、撓曲線）取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，梁變形前的軸線為x軸，橫截面的鉛垂對稱軸為y軸，xy平面為縱向?qū)ΨQ平面§8—3梁的變形及剛度計(jì)算BxyA第22頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三yABx1、撓度（

y）:橫截面形心C(即軸線上的點(diǎn))在垂直于x軸方向的線位移，稱為該截面的撓度。y撓度度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量C'C一、基本概念（撓度、轉(zhuǎn)角、撓曲線）撓度方程：一般各橫截面的撓度是不相同的，是位置x的函數(shù)，稱為撓度方程，記做y=y（x）第23頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三yABx2、轉(zhuǎn)角（）：橫截面對其原來位置的角位移（橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度）,稱為該截面的轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角y撓度C'C度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量一、基本概念（撓度、轉(zhuǎn)角、撓曲線）轉(zhuǎn)角方程：一般各橫截面的轉(zhuǎn)角是不相同的，是位置x的函數(shù)，稱為轉(zhuǎn)角方程，記做=

（x）第24頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三3、撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。撓曲線方程為式中，x為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)，y為該點(diǎn)的撓度。yABx轉(zhuǎn)角y撓度C'C撓曲線一、基本概念（撓度、轉(zhuǎn)角、撓曲線）——撓度方程第25頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三yABx轉(zhuǎn)角y撓度C'C撓曲線4、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系即該式表明，某截面的轉(zhuǎn)角等于撓曲線在該截面處的一階導(dǎo)數(shù)第26頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三撓度：向下為正，向上為負(fù)。轉(zhuǎn)角：自x轉(zhuǎn)至切線方向，順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負(fù)。yABx轉(zhuǎn)角y撓度C'C撓曲線5、撓度和轉(zhuǎn)角的符號約定第27頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三剪力彎曲時,M和都是x的函數(shù)。略去剪力對梁的位移的影響,則推導(dǎo)公式純彎曲時曲率與彎矩的關(guān)系為二、撓曲線的近似微分方程由幾何關(guān)系知,平面曲線的曲率可寫作由以上兩式，得第28頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三MMoxyMMM>0M<0在規(guī)定的坐標(biāo)系中,x軸水平向右為正,

y軸豎直向下為正；而彎矩是下側(cè)受拉為正。曲線向上凸時：y''>0,M<0曲線向下凸時：y''<0,M>0因此,

M

與

y''的正負(fù)號相反oxy推導(dǎo)公式二、撓曲線的近似微分方程第29頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三此式稱為梁的撓曲線近似微分方程近似原因:(1)略去了剪力的影響;(2)略去了y'2項(xiàng)。與1相比十分微小而可以忽略不計(jì),故上式可近似為推導(dǎo)公式二、撓曲線的近似微分方程第30頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三三、用積分法求梁的變形梁的撓曲線近似微分方程（一）、公式推導(dǎo)再積分一次,得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程式中C、D稱為積分常數(shù)，可通過梁撓曲線的位移邊界條件和變形連續(xù)光滑條件來確定。第31頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三ABAB在簡支梁中，左右兩鉸支座處的撓度yA和yB都應(yīng)等于零（邊界）；C左、C右截面的饒度、轉(zhuǎn)角相等（變形連續(xù)光滑）。在懸臂梁中，固定端處的撓度yA和轉(zhuǎn)角A都應(yīng)等于零。（二）、位移邊界條件和變形連續(xù)條件位移邊界條件：yA＝0，yB＝0位移邊界條件：yA＝0，A＝0注意：位移邊界條件在支座處變形連續(xù)條件中間在分段點(diǎn)變形連續(xù)條件：CyC1＝y(tǒng)C2，C1＝C2三、用積分法求梁的變形第32頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三注意當(dāng)梁上的外力將梁分為數(shù)段時，由于各段梁的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程需分段列出。相應(yīng)地各段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程也隨之而異。ABFDab三、用積分法求梁的變形第33頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三1、正確分段，分別列彎矩方程；2、分段列近似微分方程，一次積分得轉(zhuǎn)角方程，再此積分得撓度方程；3、由位移邊界條件和變形連續(xù)條件求得積分常數(shù)。步驟注意：1、位移邊界條件在支座處，變形連續(xù)條件在中間分段點(diǎn)處；2、分n段，就要列n個彎矩方程，就有n個轉(zhuǎn)角方程和n個撓度方程，因此就有2n個積分常數(shù)，就必須列出2n個補(bǔ)充方程（邊界條件和變形連續(xù)條件）三、用積分法求梁的變形第34頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三CDAFB例題：用積分法求位移時，圖示梁應(yīng)分幾段來列撓曲線的近似微分方程？試分別列出確定積分常數(shù)時需用的邊界條件和變形連續(xù)條件。3m3m2mq解：分AC、CB、BD三段1位移邊界條件：變形連續(xù)條件：yA＝0yC1＝y(tǒng)C2，C1＝C223應(yīng)該列6個補(bǔ)充方程yB2＝y(tǒng)B3，B2＝B3A截面：x1=0時，C截面：x1=x2=3m時，B截面：x2=x3=6m時，B截面：x2=x3=6m時，yB＝0x第35頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例題：圖示一抗彎剛度為EI

的懸臂梁,在自由端受一集中力P

作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度ymax和最大轉(zhuǎn)角max。yABxP第36頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三彎矩方程為解：撓曲線的近似微分方程為xyABxP對撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分第37頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三邊界條件為：C1=0C2=0將邊界條件代入(3)(4)兩式中,可得xyABxP第38頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三C1=0C2=0梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為xyABxP第39頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三max及ymax都發(fā)生在自由端截面處（）yABxP（）ymax第40頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例題：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在D點(diǎn)處受一集中力P的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求D截面的撓度和A、B截面的轉(zhuǎn)角ABPDab第41頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三解：梁的兩個支反力為ABPDabFRAFRB12xx1、分兩段分別列彎矩方程第42頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2、兩段梁的撓曲線方程分別為12撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程(0xa)(ax)可見，梁分兩段，就有4個積分常數(shù)第43頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三D點(diǎn)的連續(xù)條件：在x1＝x2=a處邊界條件在處，在X=0處，ABPDab12FRAFRB3、邊界條件和變形連續(xù)條件第44頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三代入方程可解得：12撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程(0xa)(ax)在處，在X=0處，在x1＝x2=a處第45頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三12撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程(0xa)(ax)12第46頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三12將x=0和x=l分別代入轉(zhuǎn)角方程，左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角當(dāng)a>b時,右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大ABPDab12FRAFRB第47頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三12ABPDab12FRAFRBD截面的撓度：把x=a代入y1或者y2，得第48頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三疊加原理：梁在小變形、彈性范圍內(nèi)工作時，梁在幾項(xiàng)荷載（可以是集中力,集中力偶或分布力）同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，就分別等于每一荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。

當(dāng)每一項(xiàng)荷載所引起的撓度為同一方向（如均沿y軸方向),其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在xy平面內(nèi))時,則疊加就是代數(shù)和。四、用疊加法求梁的變形力的獨(dú)立作用原理——在線彈性及小變形條件下，梁的變形（撓度y和轉(zhuǎn)角θ）與荷載始終保持線性關(guān)系，而且每個荷載引起的變形與其他同時作用的荷載無關(guān)。第49頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三疊加法的分類直接疊加——梁上荷載可以化成若干個典型荷載，每個典型荷載都可以直接查表求出位移，然后直接疊加；間接疊加——梁上荷載不能化成直接查表的若干個典型荷載，需將梁進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換后才能利用表中結(jié)果進(jìn)行疊加計(jì)算。四、用疊加法求梁的變形第50頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例題：一抗彎剛度為EI的簡支梁受荷載如圖所示。試按疊加原理求梁跨中點(diǎn)的撓度yC和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角A、B。ABmCq第51頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三解：將梁上荷載分為兩項(xiàng)簡單的荷載，如圖b、c所示(b)ABmCqBACqBAmC(C)第52頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三ABmCqACqAmC()()查表，得第53頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例題：試?yán)茂B加法，求圖所示抗彎剛度為EI的簡支梁跨中點(diǎn)的撓度yC和兩端截面的轉(zhuǎn)角A,B

。ABCq第54頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三解：可視為正對稱荷載與反對稱荷載兩種情況的疊加。ABCqABCq/2CAB第55頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三（1）正對稱荷載作用下ABCq/2第56頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三（2）反對稱荷載作用下可將AC段和BC段分別視為受均布線荷載作用且長度為l/2的簡支梁在跨中C截面處，撓度yc等于零

，但轉(zhuǎn)角不等于零且該截面的彎矩也等于零CAB第57頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三CABCAB（2）反對稱荷載作用下第58頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加,即得ABCq（）（）第59頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例7.6等截面外伸梁受力如圖7.8（a）所示，其抗彎剛度EI為常數(shù)。試求自由端處的撓度yC。AB為基本部分BC為附屬部分

基本部分AB的變形使附屬部分BC產(chǎn)生的剛體位移，稱為牽連位移

附屬部分BC自身變形引起的位移，稱為附加位移第60頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例7.6等截面外伸梁受力如圖7.8（a）所示，其抗彎剛度EI為常數(shù)。試求自由端處的撓度yC。牽連位移

附加位移第61頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例7.7變截面梁受力如圖7.9（a）所示，試求自由端處的撓度yB。AC為基本部分CB為附屬部分

第62頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例題：一抗彎剛度為EI

的外伸梁受荷載如圖所示,

試按疊加原理并利用附表,求截面B的轉(zhuǎn)角B

以及A端和BC中點(diǎn)D的撓度yA

和yD。

ABCDaa2a2qq第63頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三解：將外伸梁沿B截面截成兩段，將AB段看成B端固定的懸臂梁，BC段看成簡支梁。ABCDaa2a2qq第64頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2qABB截面兩側(cè)的相互作用力為：2qa2qa2qaBCDqABCDaa2a2qq第65頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2qaBCDq簡支梁BC的受力情況與外伸梁AC的BC段的受力情況相同由簡支梁BC求得的B，yD，就是外伸梁AC的

B，yDABCDaa2a2qq第66頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2qaBCDq簡支梁BC的變形就是MB和均布荷載q分別引起變形的疊加。qBCDBCD第67頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三(1)求B，yDqBCDBCD由疊加原理得第68頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2qAB(2)求yA由于簡支梁上B截面的轉(zhuǎn)動，代動AB段一起作剛體運(yùn)動，使A端產(chǎn)生撓度y1

懸臂梁AB本身的彎曲變形，使A端產(chǎn)生撓度y22qa2qaABCDqABCDq第69頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三因此，A端的總撓度應(yīng)為查表，得2qAB2qa2qaABCDqABCDq第70頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三式中：ymax

為梁上最大的撓度；l為梁的跨長；[f/l]為梁的許可撓度與的跨長比值。五、梁的剛度校核剛度條件（一般只校核撓度）注意：1、建筑結(jié)構(gòu)即要滿足強(qiáng)度條件，同時也要滿足剛度條件；2、一般情況下，強(qiáng)度條件起控制作用，所以，在設(shè)計(jì)梁的截面時，用強(qiáng)度條件選擇梁的截面，選好后再代入剛度條件進(jìn)行校核。第71頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度EI、梁的跨度、荷載、約束等因素有關(guān)。提高梁彎曲剛度的措施措施：1、選用合理的截面形狀，增大梁的抗彎剛度EI；2、改善結(jié)構(gòu)形式，調(diào)整跨長；3、改變加載方式；4、增加約束，采用超靜定結(jié)構(gòu)；第72頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三一、超靜定的概念§8-4簡單超靜定問題§8-4簡單超靜定問題靜定問題：單個物體或物體系未知量的數(shù)目正好等于它的獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目，全部未知量均可求出，這樣的問題稱為靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。

超靜定或靜不定：未知量的數(shù)目多于獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目，未知量不可全部求出，這樣的問題稱為超靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。超出幾個未知量，就是幾次超靜定問題。通常超靜定問題需要建立補(bǔ)充方程，方可求解。在超靜定結(jié)構(gòu)中，若不考慮強(qiáng)度和剛度而僅針對維持結(jié)構(gòu)的平衡而言，有些約束是可以去掉的，這些約束稱為多余約束，與其相應(yīng)的支座反力稱為多余支反力。第73頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三獨(dú)立的平衡方程數(shù)：2×3＝6未知力數(shù)：2+1+2+1＝6獨(dú)立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)：2×3＝6未知力數(shù)：3+1+2+1＝7未知力數(shù)>獨(dú)立的平衡方程數(shù)靜定問題超靜定問題§8-4簡單超靜定問題第74頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三

例題：兩端固定的等直桿AB橫截面積為A，彈性模量為E，在C點(diǎn)處承受軸力P的作用，如圖所示。計(jì)算A、B的約束反力。

PblBACa§8-4簡單超靜定問題第75頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三FRByPBFR