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《空間中直線與直線之間的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能(1)了解空間中兩條直線的位置關(guān)系;(2)理解異面直線的概念、畫(huà)法,培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力;(3)理解并掌握公理4;(4)理解并掌握等角公理;(5)異面直線所成角的定義、范圍及應(yīng)用.2.過(guò)程與方法讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷歸納整理所學(xué)知識(shí).3.情感、態(tài)度與價(jià)值讓學(xué)生感受到掌握空間兩直線關(guān)系的必要性,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn):1.異面直線的概念;2.公理4及等角定理.難點(diǎn):異面直線所成角的計(jì)算.三、教學(xué)方法師生的共同討論與講授法相結(jié)合.四、教學(xué)過(guò)程(一)新課導(dǎo)入問(wèn)題:在同一平面內(nèi),兩條直線有幾種位置關(guān)系?空間的兩條直線還有沒(méi)有其他位置關(guān)系?生1:在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關(guān)系有:平行與相交.生2:空間的兩條直線除平行與相交外還有其他位置關(guān)系,如教室里的電燈線與墻角線……師(肯定):這種位置關(guān)系我們把它稱(chēng)為異面直線,這節(jié)課我們要討論的是空間中直線與直線的位置關(guān)系.(二)探索新知相交直線:同一面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)相交直線:同一面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)共面直線異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn).(1)公理4,平行于同一條直線的兩條直線互相平行(2)定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)3.異面直線所成的角(1)異面直線所成角的概念.已知兩條異面直線a、b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b,我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)異面直線互相垂直如果兩條異面直線所成的角是直角,那么我們就說(shuō)這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a、b,記作a⊥b.(三)典例分析例1如圖所示P50-16是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖,如果將它還原為正方體,那么AB,CD,EF,GH這四條線段所在直線是異面直線的有對(duì).答案:4對(duì),分別是HG與EF,AB與CD,AB與EF,AB與HG.例2如圖所示,空間四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證:四邊形EFGH是平行四邊形.證明:連接BD,因?yàn)镋H是△ABD的中位線,所以EH∥BD,且.同理FG∥BD,且.因?yàn)镋H∥FG,且EH=FG,所以四邊形EFGH為平行四邊形.例3如圖,已知正方體ABCD–A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線?(2)直線BA′和CC′的夾角是多少?(3)哪此棱所在的直線與直線AA′垂直?解:(1)由異面直線的定義可知,棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線.(2)由BB′∥CC′可知,∠B′BA′為異面直線B′A與CC′的夾角,∠B′BA′=45°(3)直線AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線AA′垂直.(四)隨堂練習(xí)1.填空題:(1)如圖,AA′是長(zhǎng)方體的一條棱,長(zhǎng)方體中與AA′平行的棱共有條.(2)如果OA∥O′A′,OB∥O′B′,那么∠AOB和∠A′O′B′.答案:(1)3條.分別是BB′,CC′,DD′;(2)相等或互補(bǔ).2.如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD–A′B′C′D′中,AB=,AD=,AA′=2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度?(2)AA′和BC′所成的角是多少度?答案:2.(1)因?yàn)锽C∥B′C′,所以∠B′C′A′是異面直線A′C′與BC所成的角.在Rt△A′B′C′中,A′B′=,B′C′=,所以∠B′C′A′=45°.(2)因?yàn)锳A′∥BB′,所以∠B′BC′是異面直線AA′和BB′所成的角.在Rt△BB′C′中,B′C′=AD=,BB′=AA′=2,所以BC′=4,∠B′BC′=60°.因此,異面直線AA′與BC′所成的角為60°.(五)歸納總結(jié)1.空間中兩條直線的位置關(guān)系.2.平行公理及等角定理.3.異面直線所成的角.(六)作業(yè)第二課時(shí)習(xí)案五、附加例題例1“a、b為異面直線”是指:①a∩b=,且a∥b;②a面,b面,且a∩b=;③a面,b面,且∩=;④a面,b面;⑤不存在面,使a面,b面成立.上述結(jié)論中,正確的是()A.①④⑤正確 B.①③④正確C.僅②④正確D.僅①⑤正確【解析】①等價(jià)于a和b既不相交,又不平行,故a、b是異面直線;②等價(jià)于a、b不同在同一平面內(nèi),故a、b是異面直線.故選D例2如果異面直線a與b所成角為50,P為空間一定點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P與a、b所成的角都是30的直線有且僅有 條.a(chǎn)bAa′babAa′b′OPA′B′a、b,因a、b成50角,∴a與b也成50角.過(guò)P作∠APB的平分線,取較小的角有∠APO=∠BPO=25.∵∠APA>APO,∴過(guò)P作直線l與a、b成30角的直線有2條.例3空間四邊形ABCD,已知AD=1,BD=,且AD⊥BC,對(duì)角線BD=,AC=,求AC和BD所成的角.【解析】取AB、AD、DC、BD中點(diǎn)為E、F、G、M,連EF、FG、GM、ME、EG.∥=∥=∥=∥=EM∵AD⊥BC∴EM⊥MG在Rt
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