北京市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)八年級第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息

條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,

字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草

稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如果分式工.J1的值為零，那么X等于（）

X-1

A?—1B.0C.1+1

D.2.如圖，將30。的三角尺以直角頂點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)

中心順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在邊的

A.30°B.60°C.90°D.150°

3.已知,是二元一次方程組+=的解，則m-n的值是（）

[y=2[nx-y=1

A.1B.2C.3D.4

4.若％<y,則下列不等式成立的是（）

A.-x+2<-y+2B.4x>4yc.x-2<y-2D.-3x<-3y

5.假期到了，17名女教師去外地培訓(xùn)，住宿時有2人間和3人間可供租住，每個房間

都要住滿，她們有幾種租住方案

A.5種B.4種C.3種D.2種

6.在下列長度的各組線段中，能組成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.5,6,7C.1,4,9D.5,12,13

7.如圖，在△A8C中，ZBAC=90°,40是高，8E是中線，C尸是角平分線，C尸交

40于G,交BE于H.下列結(jié)論：①S"=S"；②NA尸G=N4G尸；?ZFAG=

2ZACF；?BH=CH.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A

A.①②③④B.①②③C.②④D.①③

8.下列計(jì)算中正確的是（）

()

A.。2+。3=。5B.。10+。2=。5C.。2?。4=。8D.=。6

9.如圖所示，AB/7CD,O為NBAC、NACD的平分線交點(diǎn)，OE_LAC于E,若OE

=2,則AB與CD之間的距離是（）

D

A.2B.4C.6D.8

x-2

10.下列分式中和分式--的值相等的是()

x+3

(x-2)(x+2)a-2)(x-2)

A-(x+3)(x-3)B，(x+3)(x-3)

(X-2)(X-3)

(x03)

c.(x+3)(x—3)

11.若一個正n邊形的每個內(nèi)角為156。，則這個正n邊形的邊數(shù)是（）

A.13B.14C.15D.16

12.把半徑為0.5m的地球儀的半徑增大0.5m,其赤道長度的增加量記為X,把地球的

半徑也增加0.5m,其赤道長度的增加量記為匕那么X、F的大小關(guān)系是（）

A.X>YB.X<YC.X=YD.X+2it=Y

二、填空題（每題4分，共24分）

13.若等腰三角形的一個角為70°,則其頂角的度數(shù)為.

14.4、B、C三地在同一直線上，甲、乙兩車分別從4B兩地相向勻速行駛，甲車先

出發(fā)2小時，甲車到達(dá)B地后立即調(diào)頭，并將速度提高10%后與乙車同向行駛，乙車

到達(dá)A地后，繼續(xù)保持原速向遠(yuǎn)離B的方向行駛，經(jīng)過一段時間后兩車同時到達(dá)C地，

設(shè)兩車之間的距離為」（千米），甲行駛的時間x（小時）.y與x的關(guān)系如圖所示，則5、

C兩地相距千米.

15.如果一個多邊形的內(nèi)角和為1260%那么從這個多邊形的一個頂點(diǎn)引對角線，可以

把這個多邊形分成個三角

形.16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC是等

腰直角三角形，NABC=90。，AB平行x軸，點(diǎn)C在x軸上，若點(diǎn)A,B分別在正比

例函數(shù)y=6x和y=kx的圖象上，則1<=___.

17.因式分解ax2-4a=---------------------------------.

18.若代數(shù)式立三有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

4

三、解答題（共78分）

19.（8分）某校組織“大手拉小手，義賣獻(xiàn)愛心”活動，計(jì)劃購買黑白兩種顏色的文化

衫進(jìn)行手繪設(shè)計(jì)后出售，并將所獲利潤全部捐給ft區(qū)困難孩子.已知該學(xué)校從批發(fā)市場花

4800元購買了黑白兩種顏色的文化衫200件，每件文化衫的批發(fā)價(jià)及手繪后的零售價(jià)

如表:

批發(fā)價(jià)（元）零售價(jià)（元）

黑色文化衫2545

白色文化衫2035

⑴學(xué)校購進(jìn)黑.白文化衫各幾件？

（2）通過手繪設(shè)計(jì)后全部售出，求該校這次義賣活動所獲利潤.

20.（8分）如圖1,等腰直角三角形ABC中，NACB=90。，CB=CA,直線DE經(jīng)過

點(diǎn)C,過A作AD±DE于點(diǎn)D,過B作BE±DE于點(diǎn)E,貝iJaBECgZkCDA,

我們稱這種全等模型為“K型全等”.（不需要證明）

圖1

（模型應(yīng)用）若一次函數(shù)y=kx+4（k=#0的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn).

（1）如圖2,當(dāng)k=-l時，若點(diǎn)B到經(jīng)過原點(diǎn)的直線1的距離BE的長為3,求點(diǎn)

A到直線1的距離AD的長;

圖2

4

（2）如圖3,當(dāng)k=一不時，點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，若△ABM是等腰直角三角形,

O

求點(diǎn)

M的坐標(biāo)；

圖3

（3）當(dāng)k的取值變化時，點(diǎn)A隨之在x軸上運(yùn)動，將線段BA繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)

90°得到BQ,連接OQ,求OQ長的最小值.

21.（8分）在中，AB=AC,點(diǎn)E、尸分別在AB、AC上，BE=CF,BF

與CE相交于點(diǎn)P.

(1)求證：△BEC四△GFB；

(2)求證：BP=CP.

22.（10分）近年來，安全快捷、平穩(wěn)舒適的中國高鐵，為世界高速鐵路商業(yè)運(yùn)營樹立

了新的標(biāo)桿.隨著中國特色社會主義進(jìn)入新時代，作為“中國名片”的高速鐵路也將踏上自

己的新征程，跑出發(fā)展新速度，這就意味著今后外出旅行的路程與時間將大大縮短，但

也有不少游客根據(jù)自己的喜好依然選擇乘坐普通列車；已知從A地到某市的高鐵行駛路

程是400千米，普通列車的行駛路程是高鐵行駛路程的1.3倍，請完成以下問題：

（1）普通列車的行駛路程為多少千米？

（2）若高鐵的平均速度（千米/時）是普通列車平均速度（千米/時）的2.5倍，且乘坐

高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮短3小時，求普通列車和高鐵的平均速

度.23.（10分）新春佳節(jié)來臨，某公司組織10輛汽車裝運(yùn)蘋果、蘆柑、香梨三種

水果共

60噸去外地銷售，要求10輛汽車全部裝滿，每輛汽車只能裝運(yùn)同一種水果，且裝運(yùn)每

種水果的車輛都不少于2輛，根據(jù)下表提供供信息，解答以下問題

蘋果蘆柑香梨

每輛汽車載貨量（噸）765

每車水果獲利（元）250030002000

（1）設(shè)裝運(yùn)蘋果的車輛為x輛，裝運(yùn)蘆柑的車輛為y輛，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,

并直接寫出x的取值范圍

（2）用w來表示銷售獲得的利潤，那么怎樣安排車輛能使此次銷售獲利最大？并求出w

的最大值.

24.（10分）如圖，在A4BC中，已知/B=NC,的垂直平分線交力B于點(diǎn)N,

交/C于點(diǎn)連接MB

A

(1)若NABC=65。,則NNMA的度數(shù)是度

(2)若4B=10cm,AMBC的周長是18cm

①求BC的長度；

②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請你直接寫出APBC周長的最小值

4a—4a—4

25.(12分)先化簡，再求值：(——-a-2)v————-.其中a與2,3構(gòu)成4ABC

a-2Ta2-4a+4

的三邊，且a為整數(shù).

26.小江利用計(jì)算器計(jì)算15x15,1x1,…，95*95,有如下發(fā)現(xiàn)：

15x15=21=1x2x100+1,

1x1=61=2x3*100+1

35x35=121=3*4x100+1,

小江觀察后猜測：如果用字母a代表一個正整數(shù)，則有如下規(guī)律：(ax10+5)2=a(a+1)

*100+1.但這樣的猜測是需要證明之后才能保證它的正確性.請給出證明.

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、A

【解析】根據(jù)分式值為零的條件(分母不等于零，分子等于零)計(jì)算即可.

【詳解】解：

*?*X豐］

v|r|-1=0

???犬=±1

:.%二一1

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式值為0的條件，當(dāng)分式滿足分子等于0且分母不等于0時，分式的值為0,

分母不等于0這一條件是保證分式有意義的前提在計(jì)算時經(jīng)常被忽視.

2、B

【分析】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC,且NC=60,可證△ACC是等邊三角形，即可求解.

【詳解】1?將30。的三角尺以直角頂點(diǎn)4為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，

：.AC=AC',且NC=60°

.?.△4CO是等邊三角形，

：.ZCAC=60°,

雌B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.3、

D

【分析】根據(jù)已知將<鼠=-1代入二元一次方程組+=得到叫n的值，即可

[y=2[nx-y=1

求得m-n的值.

【詳解】???八=-1是二元一次方程組合+2了=團(tuán)

[y=2[=1

-3+4=m

A[-n-2=l

/.m=l,n=-3

m-n=4

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元一次方程組解的定義，已知二元一次方程組的解，可求得方程組中的參數(shù).

4、C

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次分析判斷即可.

【詳解】A、x<y,則一X>一>,所以一x+2>->+2,故A錯誤；

B、x<y,則4x<4y,故B錯誤;

c、X<y,x-2<y-2,故C正確;

D、X<y,則一3x>-3y,故D錯誤；

雌C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號

的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等

式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

5,C

【解析】試題分析：設(shè)住3人間的需要有x間，住2人間的需要有y間，則根據(jù)題意得，

3x+2y=17,

???2y是偶數(shù)，17是奇數(shù)，；.3x只能是奇數(shù)，即x必須是奇

數(shù).當(dāng)x=l時，y=7,

當(dāng)x=3時,y=4,

當(dāng)x=5時，y=l,

當(dāng)x>5時，y<l.

???她們有3種租住方案：第一種是：1間住3人的，7間住2人的，第二種是：3間住3

人的，4間住2人的，第三種是：5間住3人的，1間住2人

的.故選C.

6、D

【分析】欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最

長邊的平方即可.

【詳解】解：A、因?yàn)?2+2#32,所以不能組成直角三角形；

B、因?yàn)?2+62^72,所以不能組成直角三角形；

C、因?yàn)?2+42^92,所以不能組成直角三角形；

D、因?yàn)?2+122=132,所以能組成直角三角

形.故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，

只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

7、B

【分析】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等即可判斷①；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

ZABC=ZCAD,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可推出②；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

ZFAG=ZACD,根據(jù)角平分線定義即可判斷③；根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可.

【詳解】解：???BE是中線，

，AE=CE,

???SAABE=SABCE(等底等高的三角形的面積相等)，故①正確；

VCF是角平分線，

；.NACF=NBCF,

VAD為高，

ZADC=90°,

VZBAC=90°,

NABC+NACB=9()°,ZACB+ZCAD=90°,

；.NABC=NCAD,

VZAFG=ZABC+ZBCF,NAGF=NCAD+NACF,

二NAFG=NAGF,故②正確；

；AD為高，

/.ZADB=90",

VZBAC=90",

AZABC+ZACB=90°,ZABC+ZBAD=90°,

.,.ZACB=ZBAD,

；CF是NACB的平分線，

:.ZACB=2ZACF,

；.NBAD=2NACF,

即NFAG=2/ACF,故③正確；

根據(jù)已知條件不能推出NHBC=NHCB,即不能推出BH=CH,故④錯誤；

B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，三角形的角平分線、中線、高，等

腰三角形的判定等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

8、D

【分析】運(yùn)用幕的運(yùn)算法則即可進(jìn)行判斷.

【詳解】A中a2和b3不是同底數(shù)嘉，也不是同類項(xiàng)，不能合并，A錯；

同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，B錯;

同底數(shù)募相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，C錯；

嘉的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，D對

故本題正確選項(xiàng)為D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了塞的運(yùn)算法則，掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解決本類題的關(guān)

鍵.9、B

【分析】過點(diǎn)O作MN,MNLAB于M,求出MN_LCD,則MN的長度是AB和CD

之間的距離；然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，分別求出OM、ON的長度是多少，再把它們

求和即可.

【詳解】如圖，過點(diǎn)O作MN,MNJ_AB于M,交CD于N,

VAB/7CD,

AMNlCD,

：AO是NBAC的平分線，OM_LAB,OE±AC,OE=2,

，OM=OE=2,

；CO是NACD的平分線，OE_LAC,ON1CD,

/.ON=OE=2,

.*.MN=OM+ON=1,

即AB與CD之間的距離是

1.故選B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和平行線之間的距離；熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是

解決問題的關(guān)鍵.

10、C

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷.

x—2x—2

【詳解】解：A、分式一；的分子、分母變化的倍數(shù)不一樣，所以該分式與分式-7

x+3x+3

的值不相等.故本選項(xiàng)錯誤；

x—2x—2

B、分式；工的分子、分母變化的倍數(shù)不一樣，所以該分式與分式xH的值不相等.故

本選項(xiàng)錯誤；

x-2

C、分式一^的分子、分母同時乘以不為零的因式（x-3）,分式的值不變，所以該分

x+3

x-2

式與分式一的值相等.故本選項(xiàng)正確；

x+3?

x-2x-2

D、分式/的分子、分母變化的倍數(shù)不一樣，所以該分式與分式丫工^1值不相等.故

本選項(xiàng)錯誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的基本性質(zhì).分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于。的整式，

分式的值不變.

11、C

【解析】試題分析：由一個正多邊形的每個內(nèi)角都為156。，可求得其外角的度數(shù)，繼

而可求得此多邊形的邊數(shù)，則可求得答案.

解：?.?一個正多邊形的每個內(nèi)角都為156。，

.?.這個正多邊形的每個外角都為：180。-156。=24。，

.?.這個多邊形的邊數(shù)為：360。+24。=15,

故選C.

考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外

角.12、C

【分析】根據(jù)圓的周長公式分別計(jì)算長X,丫比較即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?.?地球儀的半徑為0.5米，

.?.X=2x（0.5+0.5）IT-2x0.5jr=n/n.

設(shè)地球的半徑是r米，可得增加后，圓的半徑是（升0.5）米，

Y=2（r+0.5）7t-lnr=nm,

：.X=Y,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的認(rèn)識，圓的周長的計(jì)算，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、70?；?0。

【分析】分頂角是70°和底角是70°兩種情況求解即可.

【詳解】當(dāng)70。角為頂角,頂角度數(shù)即為70°;

當(dāng)70。為底角時，頂角=180?；?70。=40。.

答案為：70?；?0°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題，若題目中沒有明確頂

角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進(jìn)行討論才是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵.

14、1.

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以求得甲乙兩車的速度，再根據(jù)“路程=速

度X時間”，即可解答本題.

【詳解】解：設(shè)甲車的速度為a千米/小時，乙車的速度為b千米/小時，

彳(6—2)x(a+歷=5601a=80

(6—2)6=(9—6)a,解得,

,2=OU

:.A、B兩地的距離為：80X9=720千米,

設(shè)乙車從B地到C地用的時間為x小時，

60x=80(1+10%)(x+2-9),

解得，x=22,

則B、C兩地相距：60x22=1(千米)

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用

數(shù)形結(jié)合的思想解答.

15、1

【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可得多邊形的邊數(shù)，再計(jì)算分成三角形的個數(shù).

【詳解】解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)為》，由題意得：x-2X18O=126O,

解得；x=9,

從這個多邊形的一個頂點(diǎn)引對角線，可以把這個多邊形分成的三角形個數(shù)：9-2=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了多邊形的內(nèi)角，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式180〃-2.

6

16、一

7

【分析】根據(jù)點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=6x的圖像上，設(shè)點(diǎn)A為(x,6x),由AB平行x軸,

AB=BC,可以得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(7x,6x),代入計(jì)算，即可求出k的值.

【詳解】解：???點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=6x的圖像上,

則設(shè)點(diǎn)A為(x,6x),

?由AB平行x軸，

...點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為6x,

,.?△ABC是等腰直角三角形，ZABC=90°,

/.AB=BC=6x,

.?.點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為：7x,

即點(diǎn)B為(7x,6x),

把點(diǎn)B代入y=kx,則

6x=7x?k,

7

6

故答案為：一

7

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形，解題的

關(guān)鍵是利用點(diǎn)A的坐標(biāo)，正確表示出點(diǎn)B的坐標(biāo).

17、a(x+2)(%-2).

【詳解】試題分析：原式=a(x2-4)=a(x+2)(x-2).故答案為a(x+2)(x-

2).考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

18、x>3

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求出x的取值范圍.

【詳解】解：?.?代數(shù)式五三3有意義，

4

/.x—3>0,

Ax>3.

故答案為：x>3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握被開方數(shù)大于或等于0.

三、解答題(共78分)

19、⑴學(xué)校購進(jìn)黑文化衫160件，白文化衫40件；(2)該校這次義賣活動共獲得

3800

元利潤.

【分析】(1)設(shè)學(xué)校購進(jìn)黑文化衫X件，白文化衫y件，根據(jù)兩種文化衫200件共花費(fèi)

4800元，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)總利潤=每件利潤*數(shù)量，即可求出結(jié)論.

【詳解】解：(1)設(shè)學(xué)校購進(jìn)黑文化衫x件，白文化衫y件，

[x+y=200

依題意，得：(25X+20y=4800'

x=160

解得：\S.

y=40

答：學(xué)校購進(jìn)黑文化衫160件，白文化衫40

件.(2)(45-25)x160+(35-20)x40=3800(%).

答：該校這次義賣活動共獲得3800元利潤.

【點(diǎn)睛】

本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)

鍵.

77

20、(1)a；(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(7,3)或(1,7)或(2，2)；(3)OQ的最小值

為1.

【分析】(1)先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求出OE的長，然后利用

AASffitBAADO^AOEB,即可求出AD的長；

(2)先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)分類討論，分別畫出

對應(yīng)的圖形，利用AAS證出對應(yīng)的全等三角形即可分別求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)k的取值范圍分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,0),

證出對應(yīng)的全等三角形，利用勾股定理得出OQ2與x的函數(shù)關(guān)系式，利用平方的非負(fù)

性從而求出OQ的最值.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意可知：直線AB的解析式為y=-x+l

當(dāng)x=0時，y=l；當(dāng)y=0時，x=l

...點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)

/.OA=BO=1

根據(jù)勾股定理：OE=4OB2—BE2=J7

?:ZADO=ZOEB=ZAOB=90°

.\ZAOD+ZOAD=90°，ZAOD+ZBOE=90°

.\ZOAD=ZBOE

在△ADO和△OEB中

&DO=NOEB

,ZOAD^ZBOE

OA=BO

/.△ADO^AOEB

，AD=OE="

4

（2）由題意可知：直線AB的解析式為y=-7x+l

當(dāng)x=0時,y=l；當(dāng)y=0時,x=3

:.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,1）

，OA=3,BO=1

①當(dāng)AABM是以NBAM為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時，AM=AB,過點(diǎn)M作MN±x

軸于N

VZMNA=ZAOB=ZBAM=90°

ZMAN+ZAMN=90°,ZMAN+ZBAO=90°

/.ZAMN=ZBAO

在AAMN和△BAO中

ZMNA=ZAOB

<ZAMN^ZBAO

/.△AMN^ABAO

.\AN=BO=1,MN=AO=3

.\ON=OA+AN=7

此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為（7,3）;

②當(dāng)AABM是以NABM為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時，BM=AB,過點(diǎn)M作MN±y

軸于N

VZMNB=ZBOA=ZABM=90°

/.ZMBN+ZBMN=90°,NMBN+NABO=90°

ZBMN=ZABO

在△BMN和△ABO中

rZMNB^ZBOA

<ZBMN=^ABO

BM=AB

/.△BMN^AABO

，BN=AO=3,MN=BO=1

.*.ON=OB+BN=7

此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,7)；

③當(dāng)AkBM是以NAMB為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時，MA=MB,過點(diǎn)M作MNJ_x

軸于N,MDJ_y軸于D,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)

:.MD=ON=x,MN=OD=y,ZMNA=ZMDB=ZBMA=ZDMN=90°

/.BD=OB-OD=l-y,AN=ON-OA=x-3,ZAMN+ZDMA=90",ZBMD+

ZDMA=90°

.*.ZAMN=ZBMD

在AAMN和△BMD中

ZMNA=ZMDB

<ZAMN^ZBMD

MA=MB

/.△AMN^ABMD

AMN=MD,AN=BD

.\x=y,x-3=1-y

7

解得：x=y=-

77

此時M點(diǎn)的坐標(biāo)為（彳，-）

77

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（7,3）或（1,7）或（訝，2X

（3）①當(dāng)k<0時，如圖所示，過點(diǎn)Q作QNJ_y軸，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x,0）該直線

與x軸交于正半軸，故x>0

/.OB=1,OA=x

由題意可知：ZQBA=90°,QB=BA

VZQNB=ZBOA=ZABQ=90°

...NQBN+NBQN=90°,ZQBN+ZABO=90"

/.ZBQN=ZABO

在4BQN和△ABO中

4QNB=ZBOA

<4BQN=ZABO

BQ=AB

.,.△BQN^AABO

.*.QN=OB=1,BN=OA=x

.,.ON=OB+BN=l+x

在RtZUDQN中，OQ2=ON2+QN2=(1+X)2+12=(x+1)2+I6,其中x>0

/.OQ2=(X+1)2+16>16

②當(dāng)k>0時，如圖所示，過點(diǎn)Q作QN_Ly軸，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,0)該直線與x

軸交于負(fù)半軸，故x<0

AOB=1,OA=-x

由題意可知：NQBA=90°,QB=BA

VNQNB=NBOA=NABQ=9()°

...NQBN+NBQN=90°,NQBN+NABO=9()°

:.ZBQN=ZABO

在△BQN和△ABO中

'^NB=ZBOA

<NBgN=N/BO

.?.△BQNg△ABO

，QN=OB=1,BN=OA=-x

.\ON=OB-BN=l+x

在RtZkOQN中,OQ2=ON2+QN2=(1+X)2+12=(x+1)2+I6,其中x<0

?,.OQ2=(X+1)2+16216(當(dāng)x=O時,取等號)

綜上所述：OQ2的最小值為16

.?.OQ的最小值為1.

【點(diǎn)睛】

此題考查是一次函數(shù)與圖形的綜合大題，難度系數(shù)較大，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)、等

腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平方的非負(fù)性和分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵.21、(1)

見詳解；(2)見詳解

【分析】(D根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)等邊對等角、全等三角形的判定進(jìn)行推導(dǎo)即可；

(2)由(1)的結(jié)論根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NBCE=NCBF,再利用等式的性質(zhì)

可得NFBC=NECB,最后由等腰三角形的判定等角對等邊可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???AB^AC

J.ZABC^^ACB

在△BEC和ACFB中

BE=CF

<ZABC=ZACB

BC=CB

：.^BEC^^CFB(SAS)

(2)證明：'：LBEC^LCFB

：.ZBCE=ZCBF

:.BP=CP.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等式的性質(zhì)等知識點(diǎn)，體

現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).

22、(1)普通列車的行駛路程為520千米(2)普通列車的平均速度是120千米/時，

高鐵的平均速度是300千米/時.

【解析】(1)根據(jù)高鐵的行駛路程是400千米和普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程

的1.3倍，兩數(shù)相乘即可得出答案；

(2)設(shè)普通列車平均速度是x千米/時，根據(jù)高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮

短3小時，列出分式方程，然后求解即可.

【詳解】(1)普通列車的行駛路程為：400x1.3=520(千米)；

(2)設(shè)普通列車的平均速度為x千米/時，則高鐵的平均速度為2.5千米/時，則題意得:

400520.

-------=-----^3,

2.5xx

解得:x=120,

經(jīng)檢驗(yàn)x=120是原方程的解，

則高鐵的平均速度是120x2.5=300(千米/時)，

答：普通列車的平均速度是120千米/時，高鐵的平均速度是300千米/時.

【點(diǎn)睛】

此題考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析題意，找到合適的數(shù)量關(guān)系列出方程，解分式方

程時要注意檢驗(yàn).

23、(1)y=-2x+10(2Wx?4)；⑵見解析.

【解析】(1)設(shè)裝運(yùn)蘋果的車輛為x輛，裝運(yùn)蘆柑的車輛為y輛，則運(yùn)香梨的車輛

(10-x-y)輛?根據(jù)表格可列出等量關(guān)系式7x+6y+5(10-x-y)=60,化簡得

y=-2x+10(2<x<4).

(2)由利潤=車輛數(shù)“每車水果獲利可得w=—15()()x+3()()0(),因?yàn)?WX