第四章第二節(jié)冪級(jí)數(shù)

第四章第二節(jié)冪級(jí)數(shù)第1頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、冪級(jí)數(shù)的斂散性1.冪級(jí)數(shù)定義具有形式的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).其中第2頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.阿貝爾(Abel)定理證明從而它的通項(xiàng)序列必有界,即有正數(shù)M,使

第3頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為收斂的等比級(jí)數(shù),

這樣即有第4頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第5頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.(4.3)斂散性討論(1)對(duì)所有的復(fù)數(shù)除

z=a

外都發(fā)散.此時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除點(diǎn)a外處處發(fā)散.通項(xiàng)不趨于零,

故級(jí)數(shù)發(fā)散.第6頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如,級(jí)數(shù)對(duì)任意固定的z,

從某個(gè)n開(kāi)始,

總有于是有故該級(jí)數(shù)對(duì)任意的z均收斂.(2)對(duì)所有的復(fù)數(shù)都收斂由Abel定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面上處處絕對(duì)且內(nèi)閉一致收斂.第7頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如圖:冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以點(diǎn)a為中心的圓域..收斂圓收斂半徑(3)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的復(fù)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)收斂的復(fù)數(shù).第8頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三答案:

冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問(wèn)題1:在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能注意問(wèn)題2:冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?作出一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.第9頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如,級(jí)數(shù):收斂圓周上無(wú)收斂點(diǎn);在收斂圓周上處處收斂.第10頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(4)收斂半徑的定義注:一個(gè)冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上有三種情況（?。┨幪幨諗?（ⅱ）處處發(fā)散;（ⅲ）既有收斂點(diǎn),也有發(fā)散點(diǎn).第11頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、收斂半徑的求法定理4.12第12頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由上節(jié)定理,證明由于收斂.第13頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以收斂半徑為[證畢]即假設(shè)不成立.據(jù)阿貝爾定理,第14頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1)(2)或解(1)因?yàn)樗允諗堪霃降?5頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2)(3)第16頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理4.13(1)冪級(jí)數(shù)三、冪級(jí)數(shù)和的解析性(4.6)與(4.5)有相同的收斂半徑;第17頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證明由Abel定理,冪級(jí)數(shù)故由Weierstrass定理,

第18頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注1(4.5)可沿K內(nèi)曲線C逐項(xiàng)積分,且收斂半徑與(4.5)相同.簡(jiǎn)言之:在收斂圓內(nèi),冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析;

冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分.(常用于求和函數(shù))即第19頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項(xiàng)積分,得:所以第20頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解第21頁(yè)，共22頁(yè)