第十章 全微分與偏導數(shù)

第十章全微分與偏導數(shù)第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三一、偏導數(shù)的定義及其計算法第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三偏導數(shù)的求法由偏導數(shù)的定義可知，求二元函數(shù)的偏導數(shù)并不需要新的方法求時把

y

視為常數(shù)而對x求導求時把x

視為常數(shù)而對

y

求導這仍然是一元函數(shù)求導問題第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三如在處偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三一般地設第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三解證第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三原結(jié)論成立．解第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三不存在．第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三證第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明：１、２、求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；計算f

x(x0,y0)時可先將y=y0代入f(x,y)再對x求導然后代入x=x0

計算f

y(x0,y0)時同理解3、第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三4、偏導數(shù)的實質(zhì)仍是一元函數(shù)求導問題，具體求導時要弄清是對哪個變量求導，其余均視為常量，但由于變量較多，易產(chǎn)生混亂-——重要的是區(qū)分清函數(shù)的類型——這是出錯的主要原因。5、若f(x,y)=f(y,x)則稱f(x,y)關(guān)于

x,y具有輪換對稱性在求時只需將所求的中的x

,y互換即可第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三6、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點可導

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在

連續(xù)，？但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導數(shù)存在連續(xù).第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三7、偏導數(shù)的幾何意義如圖幾何意義:第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三三、小結(jié)偏導數(shù)的定義（偏增量比的極限）偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義思考題第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三思考題解答不能.例如,第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三全微分第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三一、全微分的定義由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關(guān)系得全增量的概念第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三全微分的定義第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三證總成立,二、可微的條件第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三同理可得一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在微分存在．多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在全微分存在．？例如第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三則當時第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三說明：多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證全微分存在，證第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三（依偏導數(shù)的連續(xù)性）同理第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三習慣上，記全微分為通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況．第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三解所求全微分第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三解解所求全微分第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三證令則第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三同理第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三不存在.第33頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)可導第34頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三三、小結(jié)１、多元函