第四章數(shù)據(jù)分布特征的描述

第四章數(shù)據(jù)分布特征的描述第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)

數(shù)據(jù)分布集中趨勢的測定第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三一、均值/平均數(shù)/數(shù)值平均數(shù)(mean)(一)概念

是反映數(shù)據(jù)分布集中趨勢十分重要的數(shù)據(jù)，代表總體單位某一標(biāo)志值的一般水平(二)特征

1.具有抽象性

2.具有代表性

3.反映總體分布的集中趨勢**舉例

1.某市中學(xué)生每周平均上網(wǎng)時間為2.8小時

2.某農(nóng)貿(mào)市場2月份牛肉的平均價格為16元/千克

3.某地區(qū)“十五”期間經(jīng)濟(jì)平均增長率為9.6%第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（三）均值的種類及計算

1.算術(shù)平均數(shù)**

(1)概念

算術(shù)平均數(shù)又稱平均值，是用一組數(shù)據(jù)中所有值之和除以該組數(shù)據(jù)的個數(shù)

(2)基本公式第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三算術(shù)平均數(shù)的計算**簡單算術(shù)平均數(shù):針對未分組資料

總體平均數(shù)

樣本平均數(shù)第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三算術(shù)平均數(shù)的計算

**加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

概念:是對每個數(shù)據(jù)都根據(jù)其在全組中的重要程度賦予一定權(quán)重后得到的算術(shù)平均數(shù)

計算公式:

未分組數(shù)據(jù)

其中：w表示各組的標(biāo)志總量，而不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，總體和樣本加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的公式是相同

第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三

[例4-2]根據(jù)某公司四個品牌數(shù)碼相機(jī)的銷售資料計算平均利潤率表4-1四個品牌數(shù)碼相機(jī)的利潤率和銷售額資料第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三所以，四個品牌數(shù)碼相機(jī)的平均銷售利潤率為

因為：

第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三**加權(quán)算術(shù)平均數(shù)⑵分組的加權(quán)平均數(shù):根據(jù)分組數(shù)據(jù)計算均值

樣本均值的計算公式：

總體均值的計算公式：表示各組的變量值（或組距式數(shù)列的組中值）表示各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)（即權(quán)數(shù)）第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三

[例4-3]根據(jù)某電腦公司在各市場上銷售量的分組數(shù)據(jù)，計算電腦銷售量的均值。

按銷售量分組（臺）市場個數(shù)(fi)組中值(Mi)Mifi

140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~240491627201710845145155165175185195205215225235

58013952640472537003315205017209001175合計∑fi＝

120

—

∑Mifi

＝22200第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三2.調(diào)和平均數(shù)

1.問題的由來

思考題:三種蔬菜單價分別為2、3和4元/千克，（1）各買一千克平均單價是多少？（2）各買一元的平均單價是多少？

2.概念:

調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)，是各個變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)

3.計算

(1)簡單調(diào)和平均數(shù):針對未分組資料計算公式為：算術(shù)平均調(diào)和平均第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三2.調(diào)和平均數(shù)2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù):針對分組資料

計算公式為:

其中:

是一種特殊權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，表示各組標(biāo)志總量即第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三

[例4-4]根據(jù)某商場職工月工資資料計算月平均工資第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三

課堂練習(xí)

[資料]甲乙企業(yè)職工的工資如下表：[要求]分別計算甲乙企業(yè)職工月工資額的均值第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系****聯(lián)系——實質(zhì)相同

調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形，兩者的基本公式均為：**區(qū)別——適用的情況不同

當(dāng)已知平均指標(biāo)的分母資料、未知分子資料時，采用加權(quán)算術(shù)平均法當(dāng)已知平均指標(biāo)的分子資料、未知分母資料時，采用加權(quán)調(diào)和平均法第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.幾何平均數(shù)(1)概念:幾何平均數(shù)(geometricmean)又稱對稱平均數(shù)，它是各變量值乘積的n次方根。(2)計算基本公式:

對數(shù)公式:

在實際工作中，由于變量個數(shù)較多，通常要應(yīng)用對數(shù)來進(jìn)行計算。即

第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三(3)幾何平均數(shù)的應(yīng)用及特點

**應(yīng)用條件

a.變量值是相對數(shù)據(jù)，如比率或發(fā)展速度

b.變量值的連乘積等于總比率或總發(fā)展速度**特點

a.如果數(shù)列中有一個標(biāo)志值等于零或負(fù)值，則無法計算

b.受極端值影響較小，故較穩(wěn)健第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三

[例4-5]

某電器銷售公司2000～2005年銷售量的環(huán)比增長率分別為：7.6%、2.5%、0.6％、2.7%和2.2%。求這期間銷售量的平均增長速度？表4-4銷售量平均發(fā)展速度計算表幾何平均數(shù)的計算示例第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三幾何平均數(shù)的計算示例

1.采用基本公式計算的銷售量平均發(fā)展速度為:2.采用對數(shù)公式計算的銷售量平均發(fā)展速度為:所以，銷售量的平均增長速度=103.1%-1=3.1%第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三二、位置平均數(shù)（一）中位數(shù)(median)

1.概念中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)項按照數(shù)值大小升序或者降序排列后位于中間位置的那個數(shù)據(jù)，符號為

2.中位數(shù)的計算方法

(1)未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

將變量值按升序或降序排列，找中間位置的變量值

(2)單項數(shù)列的中位數(shù)計算各組的累計頻數(shù)(向上累計或向下累計)；根據(jù)中位數(shù)位置確定中位數(shù)第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三

[例4-6]

計算某公司銷售人員月銷售冰箱中位數(shù)

按月銷售冰箱分組

(臺)銷售人員數(shù)(人)向上累計頻數(shù)向下累計頻數(shù)25303234363931014271883132754728080776753268合計80－－中位數(shù)的位置

即中位數(shù)在累計頻數(shù)為40的那一組內(nèi)（向上累計或向下累計均可得出），則

第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三2.中位數(shù)的計算方法（3）組距數(shù)列的中位數(shù)：由下列公式近似計算

下限公式其中:為總體單位總數(shù)為中位數(shù)組的下限為中位數(shù)組以下的累計頻數(shù)為中位數(shù)組的頻數(shù)為中位數(shù)組的組距第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例4-7]求以下組距數(shù)列的中位數(shù)

按家庭收入分組（元）家庭數(shù)（戶）向上累計頻率5000以下5000～1000010000～1500015000～2000020000以上214514662166808692合計92－中位數(shù)的近似值為：某地區(qū)家庭收入分組表中位數(shù)的位置在第46（92/2）位，應(yīng)在第二組第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三中位數(shù)的特點⑴是一種位置平均數(shù)，不受極端值及開口組的影響

⑵對于分配不對稱的數(shù)據(jù)，中位數(shù)比平均值更適合當(dāng)集中趨勢的代表值⑶

對某些不具有數(shù)字特征或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象，可用中位數(shù)表示其一般水平例如，對眾多的消費者購買數(shù)碼相機(jī)時，分別對價格、外觀、品質(zhì)的注重程度排序后，可以求出消費者在乎的中位數(shù)因素

第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三二、位置平均數(shù)（二）眾數(shù)(mode)

1.概念

眾數(shù)(mode)是指在一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)值，符號為

2.數(shù)據(jù)數(shù)列的眾數(shù)分布情況

無眾數(shù)如數(shù)據(jù)數(shù)列：13791268

一個眾數(shù)如數(shù)據(jù)數(shù)列：659866

多個眾數(shù)如數(shù)據(jù)數(shù)列：223527352736第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.眾數(shù)的計算方法**品質(zhì)變量的眾數(shù)——觀察次數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值就是眾數(shù)

例如:企業(yè)的所有制結(jié)構(gòu)分布、人口的城鄉(xiāng)分布**數(shù)值變量的眾數(shù)未分組資料——觀察次數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是眾數(shù)分組資料（1）單項式數(shù)列——直接觀察，次數(shù)最多的組的變量值即為眾數(shù)

第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例4-8]單項式變量數(shù)列確定眾數(shù)實例

某市居民家庭按家庭人口數(shù)分組

由上表可以看出，家庭人口數(shù)為3人的家庭數(shù)最多，因此本例中家庭人口數(shù)的眾數(shù)為3人

第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.眾數(shù)的計算方法

組距數(shù)列計算眾數(shù)：由下列公式近似計算

下限公式其中:為眾數(shù)組與前一組頻數(shù)之差為眾數(shù)組的下限為眾數(shù)組與后一組頻數(shù)之差為眾數(shù)組的組距·第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例4-10]組距式數(shù)列計算眾數(shù)示例收入組別人均收入（元）頻數(shù)（人）1234562000元以下2000～4000元4000～6000元6000～8000元8000～10000元10000以上234368322410合計－200其眾數(shù)的近似值為：某地區(qū)的人均月收入調(diào)查數(shù)據(jù)表第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三三、均值、中位數(shù)和眾數(shù)的比較（一）均值、中位數(shù)和眾數(shù)的數(shù)量關(guān)系

1.當(dāng)數(shù)據(jù)呈對稱分布的，三者合而為一，如圖（a）

2.當(dāng)數(shù)據(jù)呈左偏分布時，說明數(shù)據(jù)存在極小值，必然拉動均值向極小值一方靠，則從左至右依次是均值、中位數(shù)和眾數(shù)，如圖（b）

3.當(dāng)數(shù)據(jù)呈右偏分布時，說明數(shù)據(jù)存在極大值，必然拉動均值向極大值一方靠，則從左至右依次是眾數(shù)、中位數(shù)和均值，如圖（c）

第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三均值、中位數(shù)和眾數(shù)的數(shù)量關(guān)系

1.當(dāng)數(shù)據(jù)呈對稱分布的，三者合而為一

第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三均值、中位數(shù)和眾數(shù)的數(shù)量關(guān)系

2.當(dāng)數(shù)據(jù)呈左偏分布時，從左至右依次是均值、中位數(shù)和眾數(shù)

第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三均值、中位數(shù)和眾數(shù)的數(shù)量關(guān)系

3.當(dāng)數(shù)據(jù)呈右偏分布時，從左至右依次是眾數(shù)、中位數(shù)和均值，如圖c

第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三三、均值、中位數(shù)和眾數(shù)的比較(二)均值、眾數(shù)和中位數(shù)的特點及應(yīng)用場合

**均值是對數(shù)值型數(shù)據(jù)計算的，利用了全部數(shù)據(jù)信息，具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，是實際中應(yīng)用最廣泛的集中趨勢測度值

**中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，其特點是不受數(shù)據(jù)極端值的影響，主要適合于作為順序數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值

**眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的峰值，它也是一種位置代表值，不受極端值的影響，主要適合于作為分類數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值

第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)

數(shù)據(jù)分布離散程度的測定第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三一、極差/全距（一）概念：又稱全距，是數(shù)據(jù)中最大值和最小值之差。記為（二）計算

1.未分組數(shù)據(jù)的極差為：表示數(shù)據(jù)的最大值表示數(shù)據(jù)的最小值

2.分組數(shù)據(jù)的極差

極差＝最大組的上限－最小組的下限

若存在開口組,則:

最大組的上限＝前一組的上限＋組距最小組的下限＝下一組的下限－組距其中:第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三

[例4-11]對人均月收入分組如下：2000元以下、2000～4000元、……、8000～10000元、10000元以上，計算全距

[分析]：其最小組的下限為0

最大組的上限為：則全距為：極差/全距的計算示例第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三(三)修正極差(modifiedrange)

1.概念:是去掉極端值后的極差，又稱四分位全距(IQR，interquartilerange)，是中間50％的數(shù)據(jù)的間距，即數(shù)據(jù)分布中第25個和第75個百分位數(shù)的間距，也即第1個和第3個四分位數(shù)的間距

2.公式：

其中:Q3表示第3個四分位數(shù)，即第75個百分位數(shù)

Q1表示第1個四分位數(shù)，即第25百分位數(shù)

第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三二、平均差（MAD）（一）概念：

平均差(meanabsolutedeviation)是各數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離差絕對值的平均數(shù)

（二）樣本平均差的計算公式為：

1.未分組數(shù)據(jù)：

2.分組數(shù)據(jù)：

第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差(一)概念方差(variance)是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)是方差的平方根，又稱“均方差”(二)比較與評價

1.其內(nèi)涵與平均差相似，均為各個數(shù)據(jù)對其平均數(shù)的平均離差。但平均差采用求絕對值消除正負(fù)離差,標(biāo)準(zhǔn)差采用平方法消除正負(fù)離差，在數(shù)學(xué)處理上標(biāo)準(zhǔn)差上比平均差更為科學(xué)合理

2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差是測度數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的最主要的指標(biāo)第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（三）方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算

1.總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差

方差標(biāo)準(zhǔn)差未分組數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例4-12]某電腦公司銷售量分組數(shù)據(jù)如下表，計算銷售量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差計算示例某電腦公司銷售量分組數(shù)據(jù)方差計算表第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差計算示例

根據(jù)公式計算可知總體均值為：

總體方差為：

總體標(biāo)準(zhǔn)差為：

第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三2.樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

說明:在大多數(shù)統(tǒng)計應(yīng)用中，都針對樣本數(shù)據(jù)來分析總體數(shù)量特征。因此通常用樣本方差來估計總體方差，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計總體標(biāo)準(zhǔn)差符號:

樣本容量用n表示樣本方差用S2表示

樣本標(biāo)準(zhǔn)差用S表示

第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（三）方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算

2.樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

方差標(biāo)準(zhǔn)差未分組數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)··第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例4-13]

根據(jù)以下樣本數(shù)據(jù)，計算企業(yè)職工平均工資的標(biāo)準(zhǔn)差。（已知平均工資為=760元）

某企業(yè)職工工資分組數(shù)據(jù)表第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差計算示例

樣本方差為：

樣本標(biāo)準(zhǔn)差為：

第47頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三四、離散系數(shù)/變異系數(shù)

(一)概念：離散系數(shù)（coefficientofvariation）是一組數(shù)據(jù)的離散指標(biāo)的絕對數(shù)與其相應(yīng)的均值之比。是離散指標(biāo)的相對數(shù)形式（二）表現(xiàn)形式有全距系數(shù)、平均差系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。最常用的是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)（三）計算公式總體標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

樣本標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第48頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三四、離散系數(shù)/變異系數(shù)

(四)應(yīng)用：用于比較不同總體數(shù)據(jù)分布的離散程度[例題4-13]

甲乙企業(yè)職工的年均收入分別為20000元和50000元，收入的標(biāo)準(zhǔn)差分別為3000元和5000元，問哪家企業(yè)職工