簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三復(fù)習(xí)：兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式。1、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：2、法則1法則2

,法則3

第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)新授課函數(shù)，，構(gòu)成間的關(guān)系？可由與復(fù)合得到．

例1

指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：

（1）（2）（3）（4）

由復(fù)合而成．

解：（1）（2）由復(fù)合而成．

（3）由復(fù)合而成．

（4）由復(fù)合而成．

第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)新授課例2

寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：（1）（2）解：（1）（2）第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三1.復(fù)合函數(shù)的概念:二、講授新課：5/6/2023第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三如何對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)呢？第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三引例

一艘油輪發(fā)生泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜，其面積是半徑的函數(shù)：

油膜半徑隨著時間的增加而擴(kuò)大，其函數(shù)關(guān)系為：

問：油膜面積關(guān)于時間的瞬時變化率是多少？第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三分析：油膜面積關(guān)于時間的新函數(shù)：由于所以由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：∵∴第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三定理

設(shè)函數(shù)

y=f(u)，u=(x)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)

y=f((x))也可導(dǎo).且或復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即：因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t

)注意：1、法則可以推廣到兩個以上的中間變量；2、求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,合理選定中間變量,明確求導(dǎo)過程中每次是哪個變量相對于哪個變量求導(dǎo).第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三即證設(shè)變量x有增量x，由于u可導(dǎo)，

相應(yīng)地變量u有增量u，從而y有增量y.第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三復(fù)合函數(shù)中，令，則注意：注意：不要寫成！對x求導(dǎo)對求導(dǎo)第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若，，求

并分析三個函數(shù)解析式以及導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．新授課函數(shù)可由復(fù)合而成．第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三例1：求的導(dǎo)數(shù)分析：解1：解2：可由y=sinu,u=2x復(fù)合而成=2cos2xxxxx2cos)2(sincos)(sin=￠T=￠?第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例題講解例2求的導(dǎo)數(shù)．解：設(shè)，則第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三（1）首先要弄清復(fù)合關(guān)系，特別要注意中間變量；（2）盡可能地將函數(shù)化簡，然后再求導(dǎo)；（3）要注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與四則運(yùn)算的綜合運(yùn)用；（4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，常被稱為“鏈條法則”，一環(huán)套一環(huán)，缺一不可。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的注意問題：例3第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三

例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解析解析第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三

利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時，首先要弄清復(fù)合關(guān)系，而選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。分析：

令，則函數(shù)是由與復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知：解：例3

例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三解：

令，則函數(shù)是由與復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知：例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三（1）分解；（2）求導(dǎo)；（3）相乘；（4）回代。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟：第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三例5、一個港口的某一觀測點(diǎn)的水位在退潮的過程中，水面高度y（單位：cm）。關(guān)于時間t（單位：s）的函數(shù)為，求函數(shù)在t=3時的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義。解：函數(shù)是由函數(shù)與復(fù)合而成的，其中x是中間變量。將t=3代入得：（cm/s）。它表示當(dāng)t=3時，水面高度下降的速度為

cm/s。第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

前面所求的都是具體的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而此題中的對應(yīng)法則f是未知的，是抽象的復(fù)合函數(shù)。它們的導(dǎo)數(shù)如何求得？？解析第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三

而對于抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),一方面要從其形式上把握其結(jié)構(gòu)特征，找出中間變量，另一方面要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則。分析:

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，合理選定中間變量，明確求導(dǎo)過程中每次是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)。第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三解：（1）函數(shù)是由與復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知：（2）函數(shù)由與復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知：練習(xí)第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2.求曲線在處的切線方程。動手做一做例4第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：動手做一做×第25頁，共26頁，2023年，2月20