人教版高中數(shù)學(xué)必修2-全冊(cè)教案

人教版高中數(shù)學(xué)必修2-全冊(cè)教案按住Ctrl鍵單擊鼠標(biāo)打開(kāi)教學(xué)視頻動(dòng)畫全冊(cè)播放人教版數(shù)學(xué)必修二第一章空間幾何體重難點(diǎn)解析第一章課文目錄1．1空間幾何體的結(jié)構(gòu)1．2空間幾何體的三視圖和直觀圖1．3空間幾何體的表面積與體積重難點(diǎn)：1、讓學(xué)生感受大量空間實(shí)物及模型、概括出柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征。2、畫出簡(jiǎn)單組合體的三視圖。3、用斜二測(cè)畫法畫空間幾何值的直觀圖。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算，臺(tái)體體積公式的推導(dǎo)。5、了解推導(dǎo)球的體積和面積公式所運(yùn)用的基本思想方法。知識(shí)結(jié)構(gòu)：表面積體積別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；（2）錐棱錐：一般的有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。底面是三角錐、四邊錐、五邊錐……的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。（3）臺(tái)棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；棱臺(tái)也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)。圓臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺(tái)的下底面和上底面；圓臺(tái)也有側(cè)面、母線、軸。圓臺(tái)和棱臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體。（4）球以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。（5）組合體由柱、錐、臺(tái)、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。幾種常凸多面體間的關(guān)系一些特殊棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念和主要性質(zhì)：名稱棱柱直棱柱正棱柱圖形定義有兩個(gè)面互相平行，而其余每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行的多面體側(cè)棱垂直于底面的棱柱底面是正多邊形的直棱柱側(cè)棱平行且相等平行且相等平行且相等側(cè)面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對(duì)角面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底面的截面的形狀與底面全等的多邊形與底面全等的多邊形與底面全等的正多邊形名稱棱錐正棱錐棱臺(tái)正棱臺(tái)圖形定義有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的射影是底面和截面之間的部分用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分由正棱錐截得的棱臺(tái)側(cè)棱相交于一點(diǎn)但不一定相等相交于一點(diǎn)且相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)相等且延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面的形狀三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形對(duì)角面的形狀三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形狀與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形其他性質(zhì)高過(guò)底面中心；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等兩底中心連線即高；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì)：名稱特殊性質(zhì)平行六面體底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分直平行六面體側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分長(zhǎng)方體底面和側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分正方體棱長(zhǎng)都相等，各面都是正方形四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分2．空間幾何體的三視圖三視圖是觀測(cè)者從不同位置觀察同一個(gè)幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。他具體包括：（1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長(zhǎng)度；（2）側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長(zhǎng)度和寬度；三視圖畫法規(guī)則：高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等3．空間幾何體的直觀圖（1）斜二測(cè)畫法①建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐標(biāo)系；②畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對(duì)應(yīng)的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它們確定的平面表示水平平面；③畫對(duì)應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X‘軸，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y‘軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；④擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）。（2）平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)。注意：畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來(lái)，因此平面多邊形水平放置時(shí)，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法。強(qiáng)調(diào)斜二測(cè)畫法的步驟。例題講解：[例1]將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（）EEFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEA．BEB．BEC．BED．[例2]在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（）A．不存在 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有無(wú)數(shù)條[例3]正方體ABCD_A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PM=2，P到直線A1D1的距離為，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓 B.雙曲線 C.兩個(gè)點(diǎn) D.直線解析：點(diǎn)P到A1D1的距離為，則點(diǎn)P到AD的距離為1，滿足此條件的P的軌跡是到直線AD的距離為1的兩條平行直線，又，滿足此條件的P的軌跡是以M為圓心，半徑為2的圓，這兩種軌跡只有兩個(gè)交點(diǎn).故點(diǎn)P的軌跡是兩個(gè)點(diǎn)。選項(xiàng)為C。點(diǎn)評(píng)：該題考察空間內(nèi)平面軌跡的形成過(guò)程，考察了空間想象能力。[例4]兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．無(wú)窮多個(gè)解析：由于兩個(gè)正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，有對(duì)稱性知正四棱錐的高為正方體棱長(zhǎng)的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種，所以選D。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學(xué)會(huì)將空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化。題型2：空間幾何體的定義[例5]長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且AB=2，AD=，，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是()A．B．C．D．2解析：設(shè)則故選Ｂ.點(diǎn)評(píng)：抓住本質(zhì)的東西來(lái)進(jìn)行判斷，對(duì)于信息要進(jìn)行加工再利用。[例6]已知直線m,n和平面滿足,則()或或解析：易知D正確.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于空間幾何體的定義要有深刻的認(rèn)識(shí)，掌握它們并能判斷它們的性質(zhì)。題型3：空間幾何體中的想象能力[例7]如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，。（I）證明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P和的大小。解析：解法一（I）如圖所示,連結(jié)由是菱形且知，是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以又所以又因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，所以而因此平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB,所以又所以是二面角的平面角．在中,．故二面角的大小為解法二：如圖所示,以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（I）因?yàn)槠矫鍼AB的一個(gè)法向量是所以和共線.從而平面PAB.又因?yàn)槠矫鍼BE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量,則由得所以故可取而平面ABE的一個(gè)法向量是于是,．故二面角的大小為點(diǎn)評(píng)：解決此類題目的關(guān)鍵是將平面圖形恢復(fù)成空間圖形，較強(qiáng)的考察了空間想象能力。[例8]ACBP如圖，在三棱錐中，，，，．ACBP（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的大?。馕觯航夥ㄒ唬海á瘢┤≈悬c(diǎn)，連結(jié)．，．ACBACBDP．，平面．平面，．（Ⅱ），，．ACBEACBEP．又，即，且，平面．取中點(diǎn)．連結(jié)．，．是在平面內(nèi)的射影，．是二面角的平面角．在中，，，，．二面角的大小為．解法二：ACBPzxyEACBPzxyE．又，．，平面．平面，．（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．則．設(shè)．，，．取中點(diǎn)，連結(jié)．，，，．是二面角的平面角．，，，．二面角的大小為．點(diǎn)評(píng)：在畫圖過(guò)程中正確理解已知圖形的關(guān)系是關(guān)鍵。通過(guò)識(shí)圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。[例9]畫正五棱柱的直觀圖，使底面邊長(zhǎng)為3cm側(cè)棱長(zhǎng)為5解析：先作底面正五邊形的直觀圖，再沿平行于Z軸方向平移即可得。作法：（1）畫軸：畫X′，Y′，Z′軸，使∠X′O′Y′=45°（或135°），∠X′O′Z′=90°。（2）畫底面：按X′軸，Y′軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE。（3）畫側(cè)棱：過(guò)A、B、C、D、E各點(diǎn)分別作Z′軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE?！洌?）成圖：順次連結(jié)A′，B′，C′，D′，F(xiàn)′，加以整理，去掉輔助線，改被遮擋的部分為虛線。點(diǎn)評(píng)：用此方法可以依次畫出棱錐、棱柱、棱臺(tái)等多面體的直觀圖。[例10]是正△ABC的斜二測(cè)畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那么△ABC的面積為_(kāi)______________。解析：。點(diǎn)評(píng)：該題屬于斜二測(cè)畫法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實(shí)物圖元素與直觀圖元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。特別底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系。[例11]ABCDEFPQHG如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面ABCDEFPQHG（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個(gè)值；（Ⅲ）若與平面PQEF所成的角為，求與平面PQGH所成角的正弦值．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力與邏輯思維能力。解析：解法一：（Ⅰ）證明：在正方體中，，，又由已知可得ABCDEFPABCDEFPQHGNM所以，，所以平面．所以平面和平面互相垂直．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是，是定值．（III）解：連結(jié)BC′交EQ于點(diǎn)M．因?yàn)?，，所以平面和平面PQGH互相平行，因此與平面PQGH所成角與與平面所成角相等．與（Ⅰ）同理可證EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM與的比值就是所求的正弦值．設(shè)交PF于點(diǎn)N，連結(jié)EN，由知．因?yàn)椤推矫鍼QEF，又已知與平面PQEF成角，所以，即，解得，可知E為BC中點(diǎn)．所以EM=，又，故與平面PQCH所成角的正弦值為．解法二：以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D－xyz由已知得，故ABCDEFPQHABCDEFPQHyxzG，，，，，．（Ⅰ）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得，，．因?yàn)椋允瞧矫鍼QEF的法向量．因?yàn)?，所以是平面PQGH的法向量．因?yàn)椋?，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．（Ⅱ）證明：因?yàn)?，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．在所建立的坐標(biāo)系中可求得，，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．（Ⅲ）解：由已知得與成角，又可得 ，即，解得．所以，又，所以與平面PQGH所成角的正弦值為．點(diǎn)評(píng)：考查知識(shí)立足課本，對(duì)空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強(qiáng)能力考查的方向。[例12]多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是：①3；②4；=3\*GB3③5；④6；⑤7以上結(jié)論正確的為_(kāi)_______________________（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）ABCDA1B1C1D1A1解析：如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則D、A1的中點(diǎn)到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點(diǎn)，所以選①③④⑤ABCDA1B1C1D1A1點(diǎn)評(píng)：該題將計(jì)算蘊(yùn)涵于射影知識(shí)中，屬于難得的綜合題目。[例13]（1）畫出下列幾何體的三視圖（2（2）解析：這二個(gè)幾何體的三視圖如下（2）如圖，設(shè)所給的方向?yàn)槲矬w的正前方，試畫出它的三視圖（單位：cm）點(diǎn)評(píng)：畫三視圖之前，應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，選擇一個(gè)合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時(shí)候把輪廓線要畫出來(lái)，被遮住的輪廓線要畫成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應(yīng)符合三條投射規(guī)律。[例14]某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀解析：該幾何體為一個(gè)正四棱錐分析：三視圖是從三個(gè)不同的方向看同一物體得到的三個(gè)視圖。點(diǎn)評(píng)：主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長(zhǎng)和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長(zhǎng)要相等。左視圖和俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀。二、空間幾何體的表面積和體積1．多面體的面積和體積公式：名稱側(cè)面積(S側(cè))全面積(S全)體積(V)棱柱棱柱直截面周長(zhǎng)×lS側(cè)+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S側(cè)+S底S底·h正棱錐ch′棱臺(tái)棱臺(tái)各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱臺(tái)(c+c′)h′表中S表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng)。2．旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式：名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球S側(cè)2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)4πR2Vπr2h(即πr2l)πr2hπh(r21+r1r2+r22)πR3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺(tái)上、下底面半徑，R表示半徑。3．探究柱、錐、臺(tái)的體積公式：1、棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向平移得到，因此，兩個(gè)底面積相等、高也相等的棱柱（圓柱）應(yīng)該具有相等的體積．柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積和高的積，即．2、類似于柱體，底面積相等、高也相等的兩個(gè)錐體，它們的體積也相等．棱錐的體積公式可把一個(gè)棱柱分成三個(gè)全等的棱錐得到，由于底面積為，高為的棱柱的體積，所以．3、臺(tái)體（棱臺(tái)、圓臺(tái)）的體積可以轉(zhuǎn)化為錐體的體積來(lái)計(jì)算．如果臺(tái)體的上、下底面面積分別為，高為，可以推得它的體積是．4、柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間關(guān)系如下：．4．探究球的體積與面積公式：=1\*Arabic1．球的體積：（1）比較半球的體積與其等底等高的旋轉(zhuǎn)體的體積結(jié)論：（2）利用“倒沙實(shí)驗(yàn)”，探索底面半徑和高都為球半徑的圓柱、圓錐與半球三者體積之間的關(guān)系（課件演示）結(jié)論：（3）得到半徑是Ｒ的球的體積公式：結(jié)論：=2\*Arabic2．球的表面積：由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面積無(wú)法利用展開(kāi)圖來(lái)求.該如何求球的表面積公式?是否也可借助分割思想來(lái)推導(dǎo)呢?（課件演示）O圖1OOO（1）若將球表面平均分割成n個(gè)小塊,則每小塊表面可近似看作一個(gè)平面,這n小塊平面面積之和可近似看作球的表面積.當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí),這n小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積.（2）若每小塊表面看作一個(gè)平面,將每小塊平面作為底面,球心作為頂點(diǎn)便得到n個(gè)棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積.當(dāng)n越大,越接近于球的體積,當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)就精確到等于球的體積.（3）半徑為R的球的表面積公式：結(jié)論：例題講解：[例1]一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm2，所有棱長(zhǎng)的和是24cm，求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).解析：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高、對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm、ycm、zcm、lcm依題意得：由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。點(diǎn)評(píng)：涉及棱柱面積問(wèn)題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長(zhǎng)方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對(duì)角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。[例2]如圖1所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。（1）求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上；（2）求這個(gè)平行六面體的體積。圖1圖2解析：（1）如圖2，連結(jié)A1O，則A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結(jié)A1M，A1N。由三垂線定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，從而OM=ON。∴點(diǎn)O在∠BAD的平分線上。（2）∵AM=AA1cos=3×=∴AO==。又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－=，∴A1O=，平行六面體的體積為。[例3]一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．6 D．解析：設(shè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三邊長(zhǎng)分別為a=1，b＝，c＝，則對(duì)角線l的長(zhǎng)為l=；答案D。點(diǎn)評(píng)：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素—棱長(zhǎng)。[例4]如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1∶V2=____解析：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2＝Sh?！逧、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴S△AEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=7∶5。點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。題型3：錐體的體積和表面積PABCDOE[例5]（2006上海，19）在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60PABCDOE解析：（1）在四棱錐P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，∠PBO=60°。在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO，于是PO=BOtan60°=，而底面菱形的面積為2?！嗨睦忮FP－ABCD的體積V=×2×=2。點(diǎn)評(píng)：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。圖[例6]（2002京皖春文，19）在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如圖所示）圖（Ⅰ）證明：SC⊥BC；（Ⅱ）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大??；（Ⅲ）求三棱錐的體積VS－ABC。解析：（Ⅰ）證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC。又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC。由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂線定理，得SC⊥BC。（Ⅱ）∵BC⊥AC，SC⊥BC?！唷蟂CA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角。在Rt△SCB中，BC=5，SB=5，得SC==10。在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，∴∠SCA=60°，即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°。（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，∵SA=，S△ABC=·AC·BC=×5×5=，∴VS－ABC=·S△ACB·SA=。點(diǎn)評(píng)：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。題型4：錐體體積、表面積綜合問(wèn)題[例7]ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFC的距離？解析：如圖，取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B－EFG。設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h，BD＝，EF，CO＝。。而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。由，得·點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為體積問(wèn)題來(lái)求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。[例8]（2006江西理，12）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（）A．S1S2B．S1S2C．S1=S2D．S1，S2的大小關(guān)系不能確定解析：連OA、OB、OC、OD，則VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，而每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故選C點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)復(fù)合平面圖形的分割過(guò)程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。[例9]（2002北京理，18）如圖9—24，在多面體ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h（Ⅰ）求側(cè)面ABB1A1與底面ABCD所成二面角的大??；（Ⅱ）證明：EF∥面ABCD；（Ⅲ）在估測(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用近似公式V估=S中截面·h來(lái)計(jì)算.已知它的體積公式是V=（S上底面+4S中截面+S下底面），試判斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證明。（注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）圖（Ⅰ）解：過(guò)B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過(guò)B1作B1G⊥PQ，垂足為圖如圖所示：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥B1P.∴∠B1PG為所求二面角的平面角.過(guò)C1作C1H⊥PQ，垂足為H.由于相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形B1PQC1為等腰梯形?！郟G=（b－d），又B1G=h，∴tanB1PG=（b＞d），∴∠B1PG=arctan，即所求二面角的大小為arctan.（Ⅱ）證明：∵AB，CD是矩形ABCD的一組對(duì)邊，有AB∥CD，又CD是面ABCD與面CDEF的交線，∴AB∥面CDEF。∵EF是面ABFE與面CDEF的交線，∴AB∥EF?！逜B是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABCD。（Ⅲ）V估＜V。證明：∵a＞c，b＞d，∴V－V估==［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］=（a－c）（b－d）＞0?！郪估＜V。點(diǎn)評(píng)：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計(jì)算公式與可精確計(jì)算體積的辛普生公式之間計(jì)算誤差的問(wèn)題，是極具實(shí)際意義的問(wèn)題。考查了考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。[例10]（1）（1998全國(guó)，9）如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S、S′，中截面的面積是S0，那么（）A．B．C．2S0＝S＋S′D．S02＝2S′S（2）（1994全國(guó)，7）已知正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為2，則其體積為（）A．32 B．28 C．24 D．20解析：（1）解析：設(shè)該棱臺(tái)為正棱臺(tái)來(lái)解即可，答案為A；（2）正六棱臺(tái)上下底面面積分別為：S上＝6··22＝6，S下＝6··42＝24，V臺(tái)＝，答案B。點(diǎn)評(píng)：本題考查棱臺(tái)的中截面問(wèn)題。根據(jù)選擇題的特點(diǎn)本題選用“特例法”來(lái)解，此種解法在解選擇題時(shí)很普遍，如選用特殊值、特殊點(diǎn)、特殊曲線、特殊圖形等等。題型6：圓柱的體積、表面積及其綜合問(wèn)題[例11]（2000全國(guó)理，9）一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（）A． B．C． D．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設(shè)知h=2πr.∴S全=2πr2+（2πr）2=2πr2（1+2π）.S側(cè)=h2=4π2r2，∴。答案為A。點(diǎn)評(píng)：本題考查圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖、側(cè)面積和全面積等知識(shí)。[例12]（2003京春理13，文14）如圖9—9，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則=。解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR2·r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有πr3=πR2r。故。答案為。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問(wèn)題的能力。[例13]（1）（2002京皖春，7）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如圖所示），若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（）A．π B．π C．π D．π（2）（2001全國(guó)文，3）若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的全面積是（）圖A．3π B．3π C．6π D．9π圖解析：（1）如圖所示，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐C—ADE與圓錐B—ADE體積之差，又∵求得AB=1?！啵鸢窪。（2）∵S＝absinθ，∴a2sin60°＝，∴a2＝4，a＝2，a=2r，∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)識(shí)圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。[例14]（2000全國(guó)文，12）如圖所示，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（）A． B．C． D．解析：如圖所示，由題意知，πr2h＝πR2h，圖∴r＝．又△ABO∽△CAO，圖∴，∴OA2＝r·R＝，∴cosθ＝，答案為D。點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查柱體、錐體的體積公式及靈活的運(yùn)算能力。[例15]已知過(guò)球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。解析：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，則，在中，，∴，∴，∴。點(diǎn)評(píng)：正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。[例16]如圖所示，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的表面積。解析：如圖，設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d。在三棱錐P—ABC中，∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC內(nèi)的射影即是△ABC的中心O′。由正弦定理，得=2r,∴r=a。又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共線，球的半徑R=。又PO′===a，∴OO′=R－a=d=,(R－a)2=R2–(a)2，解得R=a,∴S球=4πR2=3πa2。點(diǎn)評(píng)：本題也可用補(bǔ)形法求解。將P—ABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對(duì)稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對(duì)角線，易得球半徑R=a,下略。[例17]（2006四川文，10）如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是（）A．B．C．D．（2）半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為，求球的表面積和體積。解析：（1）如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面積是，選D。（2）作軸截面如圖所示，，，設(shè)球半徑為，則∴，∴，。點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式，解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素。[例18]（1）表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積。（2）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O1的體積。解析：（1）設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為，則作軸截面如圖，，，又∵，∴，∴，∴，∴（2）如圖，設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點(diǎn)，球O與平面ACD、BCD切于點(diǎn)F、G，球O1與平面ACD切于點(diǎn)H由題設(shè)∵△AOF∽△AEG∴，得∵△AO1H∽△AOF∴，得∴點(diǎn)評(píng)：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等。[例19]（1）我國(guó)首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長(zhǎng)度等于多少？（地球半徑大約為）（2）在半徑為的球面上有三點(diǎn)，，求球心到經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的截面的距離。解析：（1）如圖，是北緯上一點(diǎn)，是它的半徑，∴，設(shè)是北緯的緯線長(zhǎng)，∵，∴答：北緯緯線長(zhǎng)約等于．（2）解：設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的截面為⊙，設(shè)球心為，連結(jié)，則平面，∵，∴，所以，球心到截面距離為．[例20]在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為（為地球半徑），求兩點(diǎn)間的球面距離。解析：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，，∴，∴，∴，∴，∴中，，所以，兩點(diǎn)的球面距離等于．點(diǎn)評(píng)：要求兩點(diǎn)的球面距離，必須先求出兩點(diǎn)的直線距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的球面距離。第一章檢測(cè)題1．長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的AB=3，AD=2，CC1=1，一條繩子從A沿著表面拉到點(diǎn)C1，繩子的最短長(zhǎng)度是A．+1B．C．D．2．若球的半徑為R，則這個(gè)球的內(nèi)接正方體的全面積等于（）A．8R2B．9R2C．10R2D．12R3．邊長(zhǎng)為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面,則從E點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離是（）A．10cmB．5cmC．5cmD．cm4．球的大圓面積擴(kuò)大為原大圓面積的4倍，則球的表面積擴(kuò)大成原球面積的（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍5．三個(gè)球的半徑之比為1：2：3，那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的（）A．1倍B．2倍C．1倍D．1倍6．正方體的全面積是a2,它的頂點(diǎn)都在球面上，這個(gè)球的表面積是（）

A．B．C．D．

7．兩個(gè)球的表面積之差為48,它們的大圓周長(zhǎng)之和為12,這兩個(gè)球的半徑之差為（）A．4B．3C．2D．18．已知正方體的棱長(zhǎng)為a，過(guò)有公共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的截面分別截去8個(gè)角，則剩余部分的體積是（）A．a(chǎn)3B．a(chǎn)3