必修12數(shù)學(xué)222對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

§2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（二）在（0，+∞）上是函數(shù)在（0，+∞）上是函數(shù)值域：定義域：性質(zhì)圖象

0<a<1

a>1對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖像和性質(zhì)

(0，+∞)恒過點(diǎn)（1，0），即當(dāng)x=1時(shí)，y=0增減A答案：[1，2]

[例3]

(8分)求函數(shù)y＝log2(x2－4x＋6)的值域．

[思路點(diǎn)撥]

先確定真數(shù)的取值范圍，再運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．[解]

∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴l(xiāng)og2(x2－4x＋6)≥log22＝1.

∴函數(shù)的值域是[1，＋∞)．

[例3]

(8分)求函數(shù)y＝log2(x2－4x＋6)的值域．

[思路點(diǎn)撥]

先確定真數(shù)的取值范圍，再運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．跟蹤訓(xùn)練1．函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域?yàn)?

)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：∵3x＞0，∴3x＋1＞1，∴l(xiāng)og2(3x＋1)>0.∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，＋∞)．答案：A解：(1)y＝log2(x2＋4)的定義域?yàn)镽.∵x2＋4≥4，∴l(xiāng)og2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域?yàn)閧y|y≥2}．1．函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的底數(shù)變化對(duì)圖象位置的影響

(1)上下比較：在直線x＝1的右側(cè)，a>1時(shí)，a

越大，圖象向右越靠近x軸；0<a<1時(shí)，a越小，圖象向右越靠近x

軸．

(2)左右比較：比較圖象與y＝1的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大．

2．對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)的助記口訣

對(duì)數(shù)增減有思路，函數(shù)圖象看底數(shù).底數(shù)只能大于0，等于1來也不行.底數(shù)若是大于1，圖象逐漸往上升；底數(shù)0到1之間，圖象逐漸往下降.無論函數(shù)增和減，圖象都過(1，0)點(diǎn)．課堂練習(xí)課后作業(yè)[例1]

當(dāng)0<a<1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖象可能是 (

)

[思路點(diǎn)撥]

利用0<a<1時(shí)，y＝logax是減函數(shù)，y＝a－x是增函數(shù)進(jìn)行判斷．

[精解詳析]當(dāng)0<a<1時(shí)，a－1>1，因此y＝a－x＝(a－1)x為增函數(shù)且圖像過(0，1)，y＝logax為減函數(shù)且圖像過(1，0)，顯然只有C符合．

[答案]

C

[一點(diǎn)通]解決這類題型的辦法有直接法與排除法．直接法一般是借助函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、過定點(diǎn)等特征對(duì)函數(shù)的圖象進(jìn)行分析進(jìn)而得解的方法．排除法通常是利用函數(shù)的定義域以及圖象經(jīng)過的一些特殊點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證的方法．1．已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函數(shù)為g(x)，且滿足g(2)<0，則函數(shù)g(x＋1)的圖象是下圖中的(

)解析：由y＝ax解得x＝logay，∴g(x)＝logax.又∵g(2)<0，∴0<a<1.故g(x＋1)＝loga(x＋1)是單調(diào)遞減的，并且圖像是由函數(shù)g(x)＝logax的圖像向左平移1個(gè)單位得到的．答案：A2．已知a>0且a≠1，函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象只能是圖中的

(

)解析：y＝loga(－x)只可能在左半平面，故排除A，C.再看單調(diào)性，y＝ax的單調(diào)性與y＝loga(－x)的單調(diào)性正好相反，又排除D.答案：B

[例2]

比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

(1)log2π與log20.9；

(2)log20.3與log0.20.3；

(3)log0.76，0.76與60.7；

(4)log20.4，log30.4.

[思路點(diǎn)撥]

觀察各組數(shù)的特征，利用對(duì)數(shù)單調(diào)性比較大小．

[精解詳析]

(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，π>0.9，所以log2π>log20.9.

(2)因?yàn)閘og20.3<log21＝0，log0.20.3>log0.21＝0，所以log20.3<log0.20.3.

(3)因?yàn)?0.7>60＝1，0<0.76<0.70＝1，又log0.76<log0.71＝0，所以60.7>0.76>log0.76.

(4)底數(shù)不同，但真數(shù)相同.根據(jù)y＝logax的圖象在a>1，0<x<1時(shí)，a越大，圖象越靠近x軸(如圖所示)，知log30.4>log20.4.

[一點(diǎn)通]

利用函數(shù)的單調(diào)性可進(jìn)行對(duì)數(shù)大小的比較，常用的方法有

(1)同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較．

(2)底數(shù)不同且真數(shù)也不相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較，常用引入中間變量法比較，通常取中間量為－1，0，1等．

(3)底數(shù)不同而真數(shù)相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較，常用數(shù)形結(jié)合思想來解決，也可用換底公式化為同底，再進(jìn)行比較．3．若a＝log0.23，b＝log0.2e，c＝log0.20.3，則(

)A．a(chǎn)>b>c

B．a(chǎn)<b<cC．a(chǎn)>c>b D．c>a>b解析：∵0.3<e<3，且y＝log0.2x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴c>b>a.答案：B答案：C

(4)當(dāng)a>1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴l(xiāng)oga3<loga10.當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴l(xiāng)oga3>loga10.[一點(diǎn)通]

1．求形如y＝logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般有如下幾個(gè)步驟：(1)求出函數(shù)的定義域；(2)研究函數(shù)t＝f(x)和函數(shù)y＝logat在定義域上的單調(diào)性；(3)判斷出函數(shù)的增減性求出單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)y＝f[g(x)]的里層函數(shù)μ＝g(x)與外層函數(shù)y＝f(μ)單調(diào)性之間的關(guān)系見下表：函數(shù)單調(diào)性y＝f(μ)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)μ＝g(x)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y＝f[g(x)]增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)可簡(jiǎn)記為“同增異減”．解析：f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知