高考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練1（含答案解析）

高考數(shù)學(xué)真題分類—導(dǎo)數(shù)的幾何意義

一、選擇題(本大題共5小題，共25.0分)

1.函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程為()

A.y=-2x-1B.y=-2x4-1C.y=2x-3D.y=2%4-1

2.設(shè)函數(shù)f(%)=x3+(a-1)/+ax.若/'(%)為奇函數(shù)，則曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為

()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=%

3,若函數(shù)/(X)=Q/+1圖象上點(diǎn)(1J(1))處的切線平行于直線y=2x+l,則a=()

A.—1B.0C.~D.1

4

4.曲線y=2sinx+cos%在點(diǎn)(7T.l)處的切線方程為()

A.x—y—n—1=0B.2x—y—2n—1=0

C.2%4-y—2TT+1=0D.x+y—TT+1=0

5.已知曲線y仙，+在點(diǎn)(l,ae)處的切線方程為y=2%+b,則()

A.a=e,6=—1B.a=e,b=1

C.a=2T,6=1D.a=e-1,b=-1

二、填空題(本大題共8小題，共40.0分)

6.曲線y=Inx+x+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為一.

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y=仇工上,且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(-劭-l)(e為

自然對數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)4的坐標(biāo)是.

8.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，P是曲線曠=%+；0>0)上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的

距離的最小值是.

9.曲線y=3(/+x)/在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

10.曲線y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

11.曲線y=21nx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為.

12.曲線y=cosx-:在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為.

13.曲線y=(ax+l)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為一2,貝ija=.

三、解答題(本大題共10小題，共120.0分)

14.(12分)已知函數(shù)/(x)=aex-v—Inx+Ina.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1)(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若/(x)21,求。的取值范圍.

15.已知函數(shù)f(x)=/+eR),/'(x)為/'(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)卜=6時(shí)，

(團(tuán))求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(團(tuán))求函數(shù)g(x)=f(x)-廣。)+：的單調(diào)區(qū)間和極值；

(II)當(dāng)kN-3時(shí)，求證：對任意的無1，x2G[l,+oo),且%>小，有3^2>駕于2.

/X1—X2

16.已知函數(shù)/'(X)=12-%2.

(1)求曲線y=f(x)的斜率等于一2的切線方程；

(2)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(0,求S(t)的最小值.

J1

17.已知函數(shù)/(x)=(lf-lux+Ina.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1/(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

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(2)若求。的取值范圍.

18.已知函數(shù)=1"上一一，-.

(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明/(X)有且僅有兩個零點(diǎn)；

(2)設(shè)&是/(X)的一個零點(diǎn)，證明曲線y=/nx在點(diǎn)4(久0，仇苑)處的切線也是曲線y=峭的切線.

19.設(shè)函數(shù)/(x)=[ax2—(4a+l)x+4a+3]ex.

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(l))處的切線與x軸平行，求〃；

(2)若/(x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

20.已知函數(shù)f(x)=a*,g(x)=logax,其中a>1.

(1)求函數(shù)/i(x)=/(%)-xlna的單調(diào)區(qū)間;

(2)若曲線y=/(x)在點(diǎn)Qi,/(無1))處的切線與曲線y=g(x)在點(diǎn)(%2，。(%2))處的切線平行，證明

/、21nlna

xi+g3)=-FT；

(3)證明當(dāng)a2￡時(shí)，存在直線/，使/是曲線y=/(x)的切線，也是曲線丫=9。)的切線.

21.已知函數(shù)/'(X)=-尤2+X.

(I)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程；

(11)當(dāng)工€[-2,4]時(shí)，求證：x-6</(x)<x；

(m)設(shè)F(x)=|/(x)-(%+a)|(aeR),記F(x)在區(qū)間[-2,旬上的最大值為M(a).當(dāng)叭a)最小時(shí),

求〃的值.

22.設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2—(3a+l)x+3a+2]ex.

(I)若曲線y=fQ)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為0,求a；

(口)若汽乃在x=1處取得極小值，求a的取值范圍.

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23.設(shè)函數(shù)/(x)=(X-G)(X—t2)(x-J)，其中G，t2，13eR，且G，匕2，t3是公差為d的等差數(shù)

歹Ij.

(1)若12=0，d=l,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0)(0))處的切線方程；

(11)若￡/=3,求/(x)的極值；

(DI)若曲線y=/(%)與直線y=-(x-t2)-6遮有三個互異的公共點(diǎn)，求4的取值范圍.

答案與解析

1.答案：B

解析：

本題考查了函數(shù)的切線方程，屬于基礎(chǔ)題.

求出導(dǎo)函數(shù)與點(diǎn)(1/(1))的切線斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式可得切線方程，即可得解.

解析：

解：先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=4爐一6/,

則由函數(shù)的幾何意義可知在點(diǎn)(1J(D)的切線斜率為k=f(l)=-2.

又因?yàn)?(l)=-1,則切線方程為y-(-1)=-2(x-1),

則y--2x+1.

故答案選B.

2.答案：D

解析：

本題考查函數(shù)的奇偶性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用函數(shù)的奇偶性求出a,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，然后求解切線方程.

解：函數(shù)f(x)=7+(a-1)%2+若/(x)為奇函數(shù)，/(—x)=-/(%).

—X3+(a-l)x2—ax=—(x3+(a-l)x2+ax')=—x3—(a—l)x2—ax.

所以：(a—l)x2=—(a—l)x2,

可得a=1,

所以函數(shù)/'(x)=4+X,可得r(X)=3*2+1,

曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率為：1,

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則曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為：y=x.

故選。.

3.答案：D

解析：

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線平行的條件，屬于基礎(chǔ)題.

求得函數(shù)/(%)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，再由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得。的值.

解：函數(shù)/(%)=ax2+1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2ax,

可得點(diǎn)(1J(D)處的切線斜率為2a,

由點(diǎn)處的切線平行于直線y=2%+1,

可得2a=2,

解得a=l,

故選：D.

4.答案：C

解析：

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)

題.

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在X=7T時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程點(diǎn)斜式得答案.

解：由y=2sinx+cosx,Wyz=2cosx—sinx,

y'\x=n=2cosn—sinn——2,

二曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(兀,一1)處的切線方程為y+1=-2(x-兀)，

即2x+y—2兀+1=0.

故選：C.

5.答案：D

解析：

本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求切線的斜率，考查直線方程的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

求得函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程，可得ae+l+0=2,可得a,進(jìn)而得到切點(diǎn)，

代入切線方程可得6的值.

解：y=aex+xhix的導(dǎo)數(shù)為y'=aex+Inx+1,

由在點(diǎn)(l,ae)處的切線方程為y=2x+b,

可得ae+0+1=2,解得a=e-1,

故切點(diǎn)為(1,1),可得l=2+b,即b=-l.

故選。.

6.答案：2x-y=0

解析：

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式得到切線方程.

解：y=Inx+x+1,[V=1+1

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(&,%)，因?yàn)榍芯€斜率為2,所以《+1=2,故和=1,

此時(shí)，y()=lnl+2=2,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),二y-2=2(x-1)

所以切線方程為2x-y=0.

故答案為：2x—y=0.

7.答案：(e,l)

解析：

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，區(qū)分過點(diǎn)處與在點(diǎn)處的不同，是中檔題.

設(shè)4(沏,)沏)，利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在A處的切線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求解加即可.

解：設(shè)4(%0，"X0),由y=bix,得y'=：,

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y'\x=x0=則該曲線在點(diǎn)A處的切線方程為y-=^(%-%0)>

,?,切線經(jīng)過點(diǎn)???-1-lnx0=-f--1,

即仇'o=5，則％0=e.

XO

???力點(diǎn)坐標(biāo)為(e,1).

故答案為：(e,l).

8.答案：4

解析：解：由、=》+沁>0),得、'=1一9，

設(shè)斜率為一1的直線與曲線y=x+:(x>0)切于(殉,出+小

4

由1一懸=T,解得配=2(與>0).

曲線y=x+：(%>0)上，點(diǎn)p(VX3&)到直線x+y=0的距離最小，

最小值為巖普=4.

V2

故答案為：4.

利用導(dǎo)數(shù)求平行于x+y=0的直線與曲線y=x+：(x>0)的切點(diǎn)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)P

到直線久+y=0的距離的最小值.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題.

9.答案：y=3x

解析：

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

對y=3(>2+為靖求導(dǎo)，可將x=0代入導(dǎo)函數(shù)，求得斜率，即可得到切線方程.

解：???、=3(%2+%)靖，

.?.yf=3(2X4-l)ex+3(x2+x)ex=3ex(x2+3x+1),

.?,當(dāng)％=o時(shí)，y'-3,

???y=3(/+x)e"在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率々=3,

?,?曲線y=3(x2+在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為：y=3%.

故答案為y=3x.

10.答案：y=2%

解析:

本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，考

查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.

欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾

何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.

解：Ty=2)(x+1),

-y-z+i*

當(dāng)x=0時(shí)，y'=2,

???曲線y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x,

故答案是y=2x.

11.答案：y=2x-2

解析：

本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，考

查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.

欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=l的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何

意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.

解：Ty=2仇x,

,2

???y

當(dāng)x=1時(shí)，y'=2,

曲線y=2/nx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=2x-2.

故答案為y=2x-2.

12.答案：x+2y—2=0

解析：

本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)以及某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程.本

題屬基礎(chǔ)題.

根據(jù)對曲線方程求導(dǎo)，然后將x=0代入導(dǎo)數(shù)方程得出在點(diǎn)(0,1)處的斜率，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方

程即可得到切線方程.

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解：由題意，可知：v-siiu--,

,/=-sinO-^=一/

曲線J/(在點(diǎn)(0,1)處的切線方程：y-l=-gx,

整理得：x+2y-2=0.

故答案為：x+2y—2=0.

13.答案：—3

解析：

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用切線的斜率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

利用切線的斜率列出方程求解即可.

解：曲線y=(ax+l)e3可得y'=ae*+(ax+l)e”,

曲線y=(ax+1)/在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為一2,

可得：a+l=-2,解得a=—3.

故答案為-3.

14.答案：解：(1)當(dāng)a=e時(shí)，f^=ex-lnx+l,

???f'(x)=〃%

???/'⑴=e—lf

?//(I)=e+l,

二曲線y=/(%)在點(diǎn)(1J(l))處的切線方程為y一(e+1)=(e-1)(%-1),

當(dāng)x=0時(shí)，y=2,當(dāng)y=0時(shí)，x—

.??曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,/(l))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=Tx2x六=g.

(2)方法一：由/*(%)>1,可得ae*T—Inx+Ina>1,&flex~1+lna—Inx+Ina>1,

nlnx

即e"T+'Q+Ina+%—1>Inx+%=e+lnxf

令9(￡)=e，+t,

則“(1)=-+1>0,

???g(t)在R上單調(diào)遞增，

???g(lna+x-1)>g(lnx)

AIna+%—1>Inx,

即仇Q>Inx—%+1,

令九(X)=Inx—%+1,

，，/、1Y1-X

Ah(%)=——1=——,

xXX

當(dāng)0<x<1時(shí)，h!(x)>0,函數(shù)<%)單調(diào)遞增,

當(dāng)%>1時(shí),￥(%)<0,函數(shù)九。)單調(diào)遞減，

:./i(x)<九(1)=0,

???Ina>0,

a>1,

故a的范圍為［l,+oo).

方法二：由/(%)>1可得ae*T-Inx+Ina>1,

即ae*T-1>inx—Ina,

設(shè)g(x)=ex-x-

???g'(x)=ex-1>0恒成立，

???g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

:.g。)>g(0)=1—0—1=0,

ex-%-1>0,

第12頁，共25頁

即e”>x+1,

再設(shè)九(%)=%—1—Inx,

wi-T

當(dāng)0<x<l時(shí)，h!(x)<0,函數(shù)<%)單調(diào)遞減,

當(dāng)工>1時(shí)，九'(%)>0,函數(shù)九(%)單調(diào)遞增，

???九(久)>/i(l)=0,

??x-1—Inx>0,

即％—1>Inx

va>0,

:.e"-i>x,貝iJae'T>ax,

此時(shí)只需要證ax>x-Ina,

即證X(Q-1)>-Ina,

當(dāng)aN1時(shí)，

Aa>1,x(a—1)>0>一)a恒成立，

當(dāng)0<a<1時(shí),x(a—1)<0<—Ina,此時(shí)x(a—1)>一仇Q不成立，

綜上所述。的取值范圍為［1,+00).

方法三：由題意可得工￡(0,+8),aE(0,+oo),

r(x)=aex~x—p

易知((%)在(0,+8)上為增函數(shù)，

①當(dāng)0<a<1時(shí)，/⑴=a-1<0,=aea-1-a=a(e?-1-1)>0-

二存在%oe(L》使得/'(X。)=0,

當(dāng)％e(Ln)時(shí)，/'(%)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

??./(%)</(I)=Q+Ina<a<1,不滿足題意，

②當(dāng)Q>1時(shí)，e%T>0,Ina>0,

:./(%)>—Inx,

令9(%)—e*T—Inx,

.?.g，(x)=e-—p

易知g'Q)在(0,+8)上為增函數(shù)，

g'(l)=0,

???當(dāng)%6(0,1)口寸，g'(x)<0,函數(shù)g(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)%G(1,+8)時(shí)，/(%)>0,函數(shù)g(%)單調(diào)遞增,

Ag(x)>g(l)=1,

即f(%)>1,

綜上所述a的取值范圍為［1,+00).

方法四：???/(%)=ae%T—%>0,a>0,

??.f(x)=aex-1—i,

易知廣㈤在(0,+8)上為增函數(shù),

??,存在第o￡(0,+8),使得/'(%o)=ae*oT-^=0,則ae/T=^,則m。+&-i=一濟(jì)》。，即

10XQ

Ina=1-x0—lnx0,

當(dāng)％G(0,&)時(shí)，/'(%)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xG(沏,+8)時(shí)，/(X)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，

11

XQ1

???/(%)>f(x0)=ae~—lnx0+Ina=----lnx04-1—x0—lnxQ=-----2lnxQ+1—x()>1

&x0

第14頁，共25頁

1

：?---2/n%o—XQN0

x0

設(shè)g(%)=：-2仇%-%，

易知函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，月.g(l)=1-0-1=0,

???當(dāng)％G(0,1］時(shí)，g(%)>0,

AxE(0,1］時(shí),——2lnx—%o>0,

0xo0

設(shè)九(%)=1—x—mx,xG(0,1］,

=-l-i<0恒成立，

九(%)在(0刀上單調(diào)遞減，

:.九(%)N九(1)=1—1—Ini=0,

當(dāng)％->0時(shí)，h(%)T+8,

???Ina>0=Ini,

a>1.

解析：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與

化歸能力，屬于難題.

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程，可得三角形的面積；

(2)方法一：不等式等價(jià)于e*T+'n。+Ina+%—1>Inx+%=elnx+Inx,令g(￡)=e'+3根據(jù)函

數(shù)單調(diào)性可得仇+再構(gòu)造函數(shù)/i(x)=仇%->+1,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可

求出a的范圍；

方法二：構(gòu)造兩個基本不等式e*>%-1,%-1N/》,則原不等式轉(zhuǎn)化為工(Q-1)N-仇a,再分

類討論即可求出〃的取值范圍，

方法三：利用分類討論的思想，當(dāng)0＜。＜1,此時(shí)不符合題意，當(dāng)a21時(shí)，/-(%)＞-Inx,令

g(x)=e"i—Inx,

再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系即可證明，

方法四：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系求出/■(x)2/(Xo)=5-2/nXo+l-Xo21，Ina=1-

xo

x0-lnx0,再求出配的范圍，再利用導(dǎo)數(shù)求1-&-仇X。的范圍，即可求出。的范圍.

15.答案：解：(/)(i)當(dāng)k=6時(shí)，/(%)=x3+6lnx,

故/'(x)=3x2+=,

"(1)=9,

?."(1)=1,

???曲線y=f(x)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程為y-1=9(x-l),BP9x-y-8=0.

(ii)g(x)=f(x)-f，(x)+：=/+6/nx-3x2+：,x>0,

g'(x)=37_6x+￡—W=3(，T)y+i),

令g'。)=o，解得％=1，

當(dāng)0<久<1,g'(x)<0,

當(dāng)%>1,g\x)>0,

???函數(shù)g(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

%=1是極小值點(diǎn)，極小值為g(l)=1,無極大值

證明：(^，由“刈二/+也九%,則/(%)=3/+3，

對任意的%1，x2E[1,+co),且X]>%2，令竟=口t>1,

則(%1—X2)[f'ix1)+f'(x2)]-2[/(%!)-/(x2)]=(#i_&)(3好+2+3以+§-2(婢一球+

以噌，

=%：—%2—3%2%2+3X^%2+&(廣一1)—2/c"

=以(#—3t2+3t—1)+k(t———2仇t),(T)

令九(%)=%—：—2"%>1,

當(dāng)%>1.時(shí)，/iz(x)=14-^—1=(1—：)2>o,

???九(%)在(1,+8)單調(diào)遞增,

???當(dāng)t>l,ft(t)>/i(l)=0,BPt-1-2Znt>0,

■:%2-1fI?-3tb2+3t—1=(t—l)?>0,kN—3,

第16頁，共25頁

%2(t3—3f2+3t—1)+fc(t---2Znt)>t3—?3t2+3t—1—3(t----2/nt)=/-3t2+6lnt+

；T,②,

由(I)(ii)可知當(dāng)t>1時(shí)，g(t)>g(l)

即/—3t2+€>lnt+；>1,(3),

由①②③可得(Xi-(與)+((犯)]一2[/(必)+/(&)]>0,

:當(dāng)k>一3時(shí)，對任意的右,x2e口,+8),且%>x2>有"6)7收)>

NX1—%2

解析：(I)。)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；

(ii)根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性極值的關(guān)系，即可求出；

(H)要證不等式成立,只要證明(%1-%2)/(%1)+/'。2)]——>0,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)

最值的關(guān)系，以及放縮法即可證明.

本題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值的基本題型，不等式的證明，屬于難題.

16.答案：解：(1)/(%)=12-/的導(dǎo)函數(shù),(X)=-2x,

令切點(diǎn)為(m,n),可得切線的斜率為-2m=-2,

??m=19，幾=12—1=11,

???切線的方程為y=-2x+13：

(2)曲線y=f0)在點(diǎn)(tj(t))處的切線的斜率為k=—2t,

切線方程為y-(12-t2)=-2t(x-t),

令％=0,可得)/=12+/，令y=o,可得x=+

=']+[(12+t2),

由S(T)=S(t),可知S(t)為偶函數(shù)，

不妨設(shè)t>0,則S(t)=：(t+節(jié))(12+t2),

S'(t)=-(3t2+24—殍)=三?(tj)(:+i2),

由S'(t)=0,得t=2,

當(dāng)t>2時(shí)，S'(t)>0,S(t)單調(diào)遞增；當(dāng)0<t<2時(shí)，S'(t)<0,S(t)單調(diào)遞減，

則S(t)在t=2處取得極小值，且為最小值32,

所以S(t)的最小值為32.

解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，考查方程

思想和運(yùn)算能力，屬于較難題.

(1)求得/(x)=12-/的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為(科2，可得切線的斜率，解方程可得如〃，進(jìn)而得到切

線的方程；

(2)求得切線的斜率和方程，分別令x=0,y=0,求得切線的橫截距和縱截距，可得三角形的面積,

考慮t>0的情況，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，然后求出S(t)的最小值.

17.答案：解：團(tuán)當(dāng)。=6,/(x)=ex-]nx+1,

1(x)=ex-^,k=八1)=e-l,f⑴=e+l,

所以切線方程為：y—e—1=(e—1)(%—1),

即y=(e-l)x+2,

所以切線在y軸上截距為2,在x軸上的截距為三，

所以三角形的面積S=：x2xW=三.

2e-1e-1

團(tuán)f(%)=Qe"-i—in%+Ina=elna+x-1—In%4-Ina,

要使f(x)21,只需eina+*T-Inx+lnaN1,

即glna+xT+]na_1>In%,

lnx

即eina+%-i+]na-i4-x>Inx+x=e+In%,

x

令g(%)=e+x9g'(x)=e*+1>0,g(x)遞增，

故只需g(na+%-1)>g(lnx),因?yàn)間(x)為增函數(shù),

只需證Ina+%-1>Inx,

即Ina>In%4-1—%,

設(shè)九(x)=Inx4-1—%,

所以九(%)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減,

九。)max=九(1)=0，

所以Ina>0,

a>l,即。的取值范圍為[1,+8).

第18頁，共25頁

解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于較難題.

團(tuán)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行計(jì)算即可.

團(tuán)把條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得不等式，求解即

可.

18.答案：解析：(1)函數(shù)/(%)="萬一號，定義域?yàn)椋?0,l)U(l,+8)；

X—1

12

廣(x)=1+^7>0,(%>0且％力1),

???/(%)在(0,1)和(1,+8)上單調(diào)遞增,

①在(0,1)區(qū)間取值2，3代入函數(shù)，由函數(shù)零點(diǎn)的定義得，

??"熄)<0,死)>0,嗚)"(》<0，

“X)在(0,1)有且僅有一個零點(diǎn)，

②在(1,+8)區(qū)間取值e,e2代入函數(shù)，由函數(shù)零點(diǎn)的定義得，

又???f(e)<0,/(e2)>0,/(e)-f(e2)<0,

???/(x)在(L+8)上有且僅有一個零點(diǎn)，

故f(x)在定義域內(nèi)有且僅有兩個零點(diǎn)；

(2)的是/'(x)的一個零點(diǎn)，則有mXo=黑■，

曲線y=)工,則有y'=3

曲線y=/nx在點(diǎn)4(xo,m處的切線方程為：y—lnx=—x),

0x00

即y=-x-1+ITIXQ,

可得zy=-x+—,

XOXO-1

而曲線y=e”的切線在點(diǎn)(ln^,白)處的切線方程為：y--ln^),即丁二十無+六，

XQXQXQXQXQXQXQ—L

故曲線y=伍x在點(diǎn)A(%o，，nxo)處的切線也是曲線y=e”的切線.

故得證.

解析：本題考查/(?的單調(diào)性，函數(shù)導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求零點(diǎn)個數(shù)，以及利用

曲線的切線方程定義證明.

(1)討論f(x)的單調(diào)性，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求零點(diǎn)個數(shù)，

(2)運(yùn)用曲線的切線方程定義可證明y=在點(diǎn)處的切線方程為y=+—7，曲線

X

OXQ—1

y=1在點(diǎn)(In；1,1；)處的切線方程為y=1^x+-2^-,得證.

1

%oXQXQ%o-

19.答案:解：⑴函數(shù)f(%)=[a%?一(4a+i)%+4Q+3]e#的導(dǎo)數(shù)為

2x

f'(x)=[ax—(2a+l)x+2]ef

由題意可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(l,f(1))處的切線斜率為0,

可得(a-2Q-1+2)e=0,且/(I)=(a+2)e。0,

解得a=l；

(2)/(%)的導(dǎo)數(shù)為尸(%)=[ax2—(2a+l)x+2]ex=(%—2)(ax—l)ex,

①當(dāng)a<0時(shí)，則!<2,此時(shí)/(x)在弓,2)遞增；在(2,+8),(_83)遞減，

可得/(x)在x=2處取得極大值，不符題意；

②當(dāng)a=0時(shí)，若x<2,則((x)>0,/(%)遞增;若％>2,則((x)<0,/(%)遞減,

可得在x=2處取得極大值，不符題意；

③當(dāng)0<a<：時(shí)，則;>2,此時(shí)f(x)在(2,今遞減；在(，+8),(-8,2)遞增，

可得/Q)在x=2處取得極大值，不符題意；

④當(dāng)a=[時(shí)，此時(shí)尸(%)=如一2)2^20,f(x)在R上遞增，無極值，不符合題意;

日當(dāng)a>泄，則:<2,此時(shí)f(x)在6,2)遞減；在(2,+8),(-8,今遞增，

可得/(%)在x=2處取得極小值，滿足題意.

綜上可得，a的取值范圍是G，+8).

解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查分類討論思想方法，以及運(yùn)算能

力，屬于中檔題.

(1)求得/(x)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得(a-2a-l+2)e=0,進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)題意，分類討論，進(jìn)行求解即可.

20.答案：(1)解:由已知,h(x)=ax-xlna,有九'(%)=a""Q—"a,

令h'(%)=0,解得％=0.

由Q>1,可知當(dāng)x變化時(shí),〃(%),九(%)的變化情況如下表:

X(-00,0)0(0,+8)

"(X)—04-

h(x)極小值/

???函數(shù)九(%)的單調(diào)減區(qū)間為(一8,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8);

x

(2)證明：由/(%)=alnaf可得曲線y=/(%)在點(diǎn)(/，/(與))處的切線的斜率為產(chǎn)伍Q.

由“(X)=高，可得曲線V=9(%)在點(diǎn)(%2，。(%2))處的切線的斜率為六?

???這兩條切線平行，故有*伍。=就，即M(lna)2=l,

第20頁，共25頁

兩邊取以a為底數(shù)的對數(shù)，得logm++2logalna=0,

21nlna

(3)證明：曲線y=f(x)在點(diǎn)(%i，a*i)處的切線4：y-aX1=aX1lna(x-

曲線y=gO)在點(diǎn)(%2，loga%2)處的切線，2：y-lo9a^2茴。一%2).

要證明當(dāng)az上時(shí)，存在直線/，使/是曲線y=/(x)的切線，也是曲線y=以%)的切線,

只需證明當(dāng)QZ藍(lán)時(shí)，存在/￡(一8,+8),%2W(0，+8)使得k與，2重合，

1(aX1lna=?

即只需證明當(dāng)a2/時(shí)，方程組［

X1X1logx-^-@

Ia—x1alna=a2

由①得打二品而，代入②得：

aX1-xaX1lna++-^-+2lnlna=o,③

TxxInaIna

因此，只需證明當(dāng)az￡時(shí)，關(guān)于看的方程③存在實(shí)數(shù)解.

設(shè)函數(shù)u(x)=產(chǎn)一》談)。+》+*+嘿^,即要證明當(dāng)a2盛時(shí)，函數(shù)y="(%)存在零點(diǎn).

z2xz

u(x)=1—(lna)xa9可知》€(wěn)(—8,0)時(shí),u(x)>0；%E(0,+8)時(shí),對/(%)求導(dǎo)，易知1(%)單

調(diào)遞減，

又M(0)=1>0,優(yōu)扁=1-a而？<0.

2x

故存在唯一的%°,且％o>0,使得優(yōu)(%。)=0,KP1—(lna)x0a0=0.

由此可得，〃(乃在(一8,&)上單調(diào)遞增，在(&,+oo)上單調(diào)遞減，

“(X)在％=Xo處取得極大值〃(%0).

va>.，故仇仇a>-1.

2

'u，uulnalnax0(lna)uinaina

下面證明存在實(shí)數(shù)6使得〃(t)<0,

由(1)可得Q%N1+XmQ,當(dāng)力>盍?xí)r，有

u(x)<(14-x/na)(l—x/na)+%+4+2l^Lna=—(/na)2%24-%4-1+4-271n

lnalna''lnalna。.

存在實(shí)數(shù)t,使得u(t)<0.

因此，當(dāng)a>/時(shí)，存在*16(-co,+oo),使得"(xj=0.

二當(dāng)a之小時(shí)，存在直線/，使/是曲線y=f(x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線.

解析：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想，化歸思想，考

查抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，是難題.

(1)把“X)的解析式代入函數(shù)/i(x)=/(x)-xlna,求其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，由

導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號可得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)分別求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(久l，f(Xl))處與y=g(x)在點(diǎn)(不，9(&))處的切線的斜率，由斜率相等,

兩邊取對數(shù)可得結(jié)論；

(3)分別求出曲線y=/'(x)在點(diǎn)處的切線與曲線y=g(x)在點(diǎn)(X2，loga%2)處的切線方程，把

問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)a>/時(shí)，存在與e(-00,+oo),x2G(0,+8)使得。與%重合，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明

當(dāng)a2小時(shí)，方程內(nèi)一匕產(chǎn)m。+勺+高+鬻=0存在實(shí)數(shù)解.然后利用導(dǎo)數(shù)證明即可.

21.答案：解：(I)/'(%)=；尤2-2%+1,

由/''(>)=1得=0,

得與-0,x2-|,

又f(0)=0,6)=另

???切線方程為：丫:》和丫一段二無一會

即y=%和y="—條

(H)證明：欲證x-64/(X)W%,

只需證-6</(x)-%<0,

令g(x)=f(x)-x=一%2,x6［-2,4］,

則9<x)=|x2-2x=-|).

可知g'(x)在［—2,0)為正，在(0譚)為負(fù)，在4］為正，

???g(x)在［-2,0)遞增，在(0詞)遞減,在(|,4］遞增，

又9(-2)=-6,g(0)=0,=g(4)=0,

-6<g(x)<0,

■■x-6</(%)<x；

3)由(n)可得，

F(x)=|/(x)-(x+a)|

=|/(x)-x-a|

=I。。)-a\

???在［-2,4］上，-6<g(x)<0,

令t=9(x)，h(t)=|t-a|.

則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)t6［-6,0］時(shí)，h(t)的最大值M(a)的問題了，

第22頁，共25頁

②當(dāng)a>-3時(shí)，M(a)=/i(-6)=|-6-a|=|64-a|,

6+a>3;

當(dāng)a=-3時(shí)，M(a)=h(0)=h(-6)=3,

綜上，當(dāng)M(a)取最小值時(shí)a的值為-3.

解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合法，屬于中檔題.

(I)求導(dǎo)數(shù)f'Q),由f'Q)=l求得切點(diǎn)，即可得點(diǎn)斜式方程；

(n)把所證不等式轉(zhuǎn)化為—6Wf(x)-xWO再令g(x)=f(x)-x,利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)在[一2,4]的

單調(diào)性和極值點(diǎn)即可得證；

(皿)先把F(x)化為|g(x)-a],再利用(II)的結(jié)論，引進(jìn)函數(shù)九(。=|t—a|,結(jié)合絕對值函數(shù)的對稱

性，單調(diào)性，通過對稱軸t=a與-3的關(guān)系分析即可.

22.答案：解：(I)函數(shù)/(*)=[a爐一(3a+1)%+3a+2]e”的導(dǎo)數(shù)為

f，(x)=[ax2一(a+l)x+l]ex.

曲線y=f(x)在點(diǎn)(2)(2))處的切線斜率為0,

可得(4a—2a—2+l)e2=0>

解得a=I；

(H)f(x)的導(dǎo)數(shù)為/''(x)=[ax2—(a+l)x+l]ex=(x—l)(ax—l)ex,

若a=0,則x<l時(shí)，f(x)>0,/(x)遞增；

x>1時(shí)，f'(x)<0,/(%)遞減.

所以x=1處f(x)取得極大值，不符題意；

若a=1,則r(x)=(x-l)2ex>0,f(x)遞增，無極值；

若a>l,則!<1，f(x)在(，,1)遞減；在(1,+8)遞增，

可得/(x)在x=1處取得極小值；

若0<a<l,則｝>1,/(x)在(一8,1)遞增；在(1[)遞減，

可得/(x)在x=1處取得極大值，不符題意；

若"0,則.<