2022-2023學(xué)年河南省南陽市高二年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省南陽市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則（）A．0 B．C． D．【答案】A【分析】由常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0即可得解.【詳解】∵，∴.故選：A.2．?dāng)?shù)列的第5項為（）A．0 B．C． D．【答案】C【分析】取，直接計算即可.【詳解】數(shù)列的第5項為.故選：C3．《張丘建算經(jīng)》是中國古代的數(shù)學(xué)著作，書中有一道“今有女善織，日益功疾”的題．若第一天織布5尺（市制長度單位），從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，現(xiàn)1個月（按30天計）共織390尺布，則第2天比前一天多織布（）尺．A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)第2天比前一天多織布尺，然后根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的求和公式列方程可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)第2天比前一天多織布尺，根據(jù)題意得，解得，所以第2天比前一天多織布尺，故選：D4．設(shè)等比數(shù)列的前項和為10，前項和為60，則該數(shù)列的前項和為（）A．360 B．720C．1560 D．1800【答案】C【分析】運用等比數(shù)列依次n項的和仍為等比數(shù)列求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，公比為，則，，，，成等比數(shù)列，公比為，因為，，所以所以，所以，所以，所以.故選：C.5．設(shè)曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)為，則數(shù)列的前2023項的積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線方程，進(jìn)而得，再求乘積即可.【詳解】解：因為，所以，曲線在點處的切線斜率為，所以，曲線在點處的切線方程為，所以，曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)為，所以，數(shù)列的前項的積為，所以，數(shù)列的前2023項的積為.故選：D6．計算機是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的，二進(jìn)制即“逢二進(jìn)一”．如表示二進(jìn)制的數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的形式是，那么將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)的形式是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意利用等比數(shù)列求和公式直接計算得到答案.【詳解】二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)的形式是：.故選：D7．若數(shù)列的前項和為，則“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】必要性顯然成立；由，，得①，同理可得②，綜合①，②，得，充分性得證，即可得到本題答案.【詳解】必要性顯然成立；下面來證明充分性，若，所以當(dāng)時，，所以，化簡得①，所以當(dāng)時，②，①②得，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，充分性得證，所以“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件.故選：C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的判斷與證明的問題，考查推理能力，屬于中等題.8．現(xiàn)有長為的鐵絲，要截成小段，每段的長度為不小于的整數(shù)，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則的最大值為（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】不構(gòu)成三角形的條件就是任選三條線段較小兩條之和不超過最長線段，因n段之和為定值，欲n盡可能的大，按從小到大排序后，必須每段的長度盡可能小，即：保證前兩段最短的情況下，使得第三項等于前兩項之和便不能構(gòu)成三角形.【詳解】截成的鐵絲最小為1，因此第一段為1，因n段之和為定值，欲n盡可能的大，則必須每段的長度盡可能小，所以第二段為1，又因為任意三條線段都不能構(gòu)成三角形，所以三條線段中較小兩條之和不超過最長線段，又因為每段的長度盡可能小，所以第三段為2，為了使得n最大，因此要使剩下的鐵絲盡可能長，因此每一條線段總是前面的相鄰兩段之和，依次為：1,1,2,3,5,8,13,21,34，以上各數(shù)之和為88，與89相差1，因此可以取最后一段為35，這時n達(dá)到最大為9.故選：B.二、多選題9．已知遞增數(shù)列滿足，，則下列說法正確的有（）A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則C．若數(shù)列為等比數(shù)列，則D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則【答案】AC【分析】考慮數(shù)列為等差數(shù)列和等比數(shù)列兩種情況，分別計算首項和公差公比，再依次帶入每個選項計算得到答案.【詳解】若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，解得或（舍去），故，，解得，若數(shù)列為等比數(shù)列，，，解得或（舍去），，，解得，對選項A：，正確；對選項B：，錯誤；對選項C：，正確；對選項D：，錯誤；故選：AC10．若，則（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】對求導(dǎo)，令即可求出的值可判斷A，B；將的值代入可得，再令可求出值可判斷C，D.【詳解】由可得：，令，則，解得：，故B正確，A不正確；所以，令，則，故C正確，D不正確故選：BC.11．若數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，，，，則下列說法正確的有（）A．公差 B．C． D．使的最小整數(shù)為14【答案】ABD【分析】根據(jù)題設(shè)得到，，，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式和等差數(shù)列性質(zhì)依次判斷每個選項得到答案.【詳解】，則；，則；，則，對選項A：，故，正確；對選項B：，正確；對選項C：，故，錯誤；對選項D：，，正確.故選：ABD12．某校對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握判斷是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（）附：A．50 B．45 C．40 D．35【答案】AB【分析】可設(shè)男生有人，依題意填寫列聯(lián)表，計算，對照臨界值列出不等式求得的取值情況．【詳解】可設(shè)男生有人，依題意得女生有人，填寫列聯(lián)表如下：喜歡抖音不喜歡抖音總計男生女生總計若有的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則，即，解得，由題意知，且是5的整數(shù)倍，所以滿足題意．故選：AB．三、填空題13．若，則________．【答案】/0.5【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，代入可得．【詳解】由已知，所以．故答案為：．14．一個等比數(shù)列的公比，且它的每一項都是它后面兩項的等差中項，則公比________．【答案】【分析】確定，得到，解得答案.【詳解】，故，，則，解得，（舍）故答案為：15．已知數(shù)列滿足：，，，則________．【答案】1或8.【分析】通過，結(jié)合的表達(dá)式，依次求得，即可得出答案.【詳解】因為，，若為奇數(shù)，則，解得：，不合題意；若為偶數(shù)，則，解得：，符合題意；若為奇數(shù)，則，解得：，符合題意；若為偶數(shù)，則，解得：，符合題意；故答案為：1或8.四、雙空題16．設(shè)是數(shù)列的前項和，且滿足，且，則________，________．【答案】/【分析】利用通項和求和公式的關(guān)系得到，確定數(shù)列是首項為4，公差為4的等差數(shù)列，計算得到，再計算得到答案.【詳解】，則，解得，（舍去負(fù)值），當(dāng)時，，整理得到，故數(shù)列是首項為4，公差為4的等差數(shù)列，故，，故，驗證時滿足，故；.故答案為：；.五、解答題17．（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2）求曲線在點處的切線方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可求得；（2）求出、，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程.【詳解】解：（1）因為，則；（2）因為，則，所以，，，所以，曲線在點處的切線方程為，即.18．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】證明過程見解析【分析】選①②作條件證明③時，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進(jìn)行證明.選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項的差求出公差，然后求出通項公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因為也是等差數(shù)列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，則，將代入，化簡得對于恒成立．則有，解得．所以．選①③作條件證明②：因為，是等差數(shù)列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數(shù)列.選②③作條件證明①：[方法一]：定義法設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因為，所以，解得或；當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；當(dāng)時，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項公式因為，所以，，因為也為等差數(shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，故的通項公式為，所以，，符合題意.【整體點評】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選①②時，法一：利用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，平方后得到的關(guān)系式，利用得到的通項公式，進(jìn)而得到，是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設(shè)出與的公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，，進(jìn)而得到；選①③時，按照正常的思維求出公差，表示出及，進(jìn)而由等差數(shù)列定義進(jìn)行證明；選②③時，法一：利用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項的差求出公差，然后求出的通項公式，利用，求出的通項公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.19．垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污染性，所以需要無害化?減量化處理.某市為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡單隨機抽樣的方法抽取20個縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個縣城的人口(單位：萬人)和該縣年垃圾產(chǎn)生總量(單位：噸)，并計算得，，，，.（1）請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合；（2）求關(guān)于的線性回歸方程，用所求回歸方程預(yù)測該市10萬人口的縣城年垃圾產(chǎn)生總量約為多少噸？參考公式：相關(guān)系數(shù)，對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.【答案】（1）答案見解析；（2）252.5噸.【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)，代入數(shù)據(jù)求出，相關(guān)系數(shù)絕對值越大，相關(guān)性越強即可判斷.（2）由，，代入系數(shù)即可求出回歸直線方程，再將代入即可求解.【詳解】（1）由題意知，相關(guān)系數(shù).因為與的相關(guān)系數(shù)接近1，所以與之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行擬合.（2）由題意可得，，，所以.當(dāng)時，，所以該市10萬人口的縣城年垃圾產(chǎn)生總量約為252.5噸.20．已知等差數(shù)列的公差為，其前項和為，若，且是和的等比中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列前項和公式、通項公式及等比數(shù)列性質(zhì)列出方程組，求出首項與公差，由此能出數(shù)列的通項公式；（2）求出，從而，由此利用裂項相消求和法可求得．【詳解】（1）根據(jù)題意，可得，解之得，數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）可知，，，數(shù)列的前項和．21．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前項和.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由基本量法列方程組解得，得通項公式；（2）求出通項公式，用錯位相減法求和．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為.由，得，解得，所以；（2）由可得當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，，又，兩式相減得所以22．已知數(shù)列中，，點在直線上，其中(1)令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設(shè)數(shù)列的前項和為，是