33等差數(shù)列習(xí)題課課件

等差數(shù)列習(xí)題課*黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校等差數(shù)列習(xí)題課*黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校11．基本公式（1）定義：an＋1－an＝d（n∈N*，d為常數(shù)）；（2）通項(xiàng)公式：an＝a1＋（n－1）d；（3）前n項(xiàng)和公式：（4）通項(xiàng)公式推廣：an＝am＋（n－m）d．等差數(shù)列的有關(guān)公式：黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校1．基本公式（1）定義：an＋1－an＝d（n∈N*，d為常22．等差數(shù)列的一些性質(zhì)（1）對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an＋1－an＝an－an－1

＝…＝a2－a1＝d；（2）對(duì)于任意的正整數(shù)k，l，m，n，如果

k＋l＝m＋n，那么ak＋al＝am＋an；（3）對(duì)于任意的正整數(shù)p，q，r，如果p＋r＝2q，則ap＋ar＝2aq；（4）對(duì)于任意的正整數(shù)n>1，有2an＝an＋1＋an－1；黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校2．等差數(shù)列的一些性質(zhì)（1）對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an＋1－32．等差數(shù)列的一些性質(zhì)（5）對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)b，若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，則｛ban｝也是等差數(shù)列；（6）已知｛an｝、｛bn｝都是等差數(shù)列，則｛an±bn｝也是等差數(shù)列；（7）若｛an｝是公差為d等差數(shù)列,那么等距離抽取的子數(shù)列也是等差數(shù)列.如a1，a3，a5，…，a2n－1,…是公差為2d的等差數(shù)列;a2，a5，a8，…，a3n－1，…是公差為3d的等差數(shù)列；（8）若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn，則數(shù)列｛an｝為公差為2A的等差數(shù)列．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校2．等差數(shù)列的一些性質(zhì)（5）對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)b，若數(shù)列｛a4例1.在等差數(shù)列{an}中,若a1＋a6＝9,a4＝7，求a3，a9．分析1：要求一個(gè)數(shù)列的某項(xiàng)，通常情況下是先求其通項(xiàng)公式，而要求通項(xiàng)公式，必須知道這個(gè)數(shù)列中的至少一項(xiàng)和公差，或者知道這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)(知道任意兩項(xiàng)就知道公差).解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題意可知解得∴an＝－8＋5（n－1），即an＝5n－13．∴a3＝5×3－13＝2，a9＝5×9－13＝32．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例1.在等差數(shù)列{an}中,若a1＋a6＝9,a4＝7，求a5分析2：本題中，只已知一項(xiàng)，和另一個(gè)雙項(xiàng)關(guān)系式，想到從這雙項(xiàng)關(guān)系式入手…解（法2）：∵｛an｝是等差數(shù)列，∴a1＋a6＝a4＋a3＝9，∴a3＝9－a4＝9－7＝2，故d＝a4－a3＝7－2＝5；∴a9＝a4＋（9－4）d＝7＋5×5＝32；所以a3＝2，a9＝32．例1.在等差數(shù)列{an}中,若a1＋a6＝9,a4＝7，求a3，a9．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校分析2：本題中，只已知一項(xiàng)，和另一個(gè)雙項(xiàng)關(guān)系式，想到從這雙項(xiàng)6

點(diǎn)評(píng)：(1)根據(jù)已知條件，求出數(shù)列的首項(xiàng)a1、公差d，這是解決有關(guān)等差數(shù)列的常規(guī)方法；(2)根據(jù)題目所給條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)：對(duì)于任意的正整數(shù)k，l，m，n，如果k＋l＝m＋n，那么ak＋al＝am＋an，可以適當(dāng)?shù)臏p少運(yùn)算量．例1.在等差數(shù)列{an}中,若a1＋a6＝9,a4＝7，求a3，a9．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校點(diǎn)評(píng)：(1)根據(jù)已知條件，求出數(shù)列的首項(xiàng)a1、公差d，這是7練習(xí)：一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列,其中最小的內(nèi)角為120o,公差為5o,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)n等于______．分析：根據(jù)凸多邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°建立等量關(guān)系．解：由（n－2）·180＝120n＋整理得n2－25n＋144＝0，解得n＝9，或n＝16，當(dāng)n＝16時(shí),最大內(nèi)角120°+(16－1)×5＝195°不合題意，舍去.∴n＝9．點(diǎn)評(píng)：凸多邊形的內(nèi)角小于180°.黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校練習(xí)：一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列,其中最小的內(nèi)角為120o8例2.在等差數(shù)列｛an｝中，(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d;分析：等差數(shù)列的a1,d,n,an,Sn等元素中,已知一部分量求另一部分量.在解題時(shí),只要根據(jù)題意,合理選擇公式,列出方程或方程組求解．解：(1)由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得：黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例2.在等差數(shù)列｛an｝中，分析：等差數(shù)列的a1,d,n,a9分析：等差數(shù)列的a1,d,n,an,Sn等元素中,已知一部分量求另一部分量.在解題時(shí),只要根據(jù)題意，合理選擇公式,列出方程或方程組求解．解：(2)∵S6＝S5＋a6＝15，即3（a1＋10）＝15，例2.在等差數(shù)列｛an｝中，(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校分析：等差數(shù)列的a1,d,n,an,Sn等元素中,已知一部分10點(diǎn)評(píng):在題(3)看似缺少條件,但注意到a3＋a15與a1＋a17的聯(lián)系,很容易得到問(wèn)題的解.所以在解此類問(wèn)題時(shí),還必須注意各元素之間的某些特殊聯(lián)系.例2.在等差數(shù)列｛an｝中，(3)已知a3＋a15＝40，求S17．分析：等差數(shù)列的a1,d,n,an,Sn等元素中,已知一部分量求另一部分量.在解題時(shí),只要根據(jù)題意，合理選擇公式,列出方程或方程組求解．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校點(diǎn)評(píng):在題(3)看似缺少條件,但注意到a3＋a15與a1＋a11推廣引伸：在等差數(shù)列{an}中,a4＋a10＝13,則a3＋a5＋a8＋a12＝__________．解：a3＋a5＋a8＋a12＝2a4＋2a10

＝2(a4＋a10)＝26．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校推廣引伸：在等差數(shù)列{an}中,a4＋a10＝13,解：a312例3.設(shè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若，求的值．分析:已知兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值,求的值，關(guān)鍵在于尋求數(shù)列中的項(xiàng)和數(shù)列前n項(xiàng)和的關(guān)系,可以把a(bǔ)11看成是某一列數(shù)的中間項(xiàng)，即S21＝21a11，同理可得：T21＝21b11，因此本題即為求S21與T21的比值．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例3.設(shè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別分析:已知兩13例3.設(shè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若，求的值．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例3.設(shè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別黃岡中學(xué)網(wǎng)校14點(diǎn)評(píng):關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)的和,通常有下面的結(jié)論(2)若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k(k∈N＊)仍成等差數(shù)列,且S3k＝3(S2k-Sk)．例3.設(shè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若，求的值．且(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校點(diǎn)評(píng):關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)的和,通常有下面的結(jié)論(2)若Sn是15例4.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝2n－49,求Sn達(dá)到最小值時(shí)n的值．分析：從數(shù)列前n項(xiàng)的和的定義來(lái)看，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an．當(dāng)an>0時(shí)，Sn的值隨n的增大而增大；當(dāng)an<0時(shí)，Sn的值隨n的增大而減??；只須考慮等差數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)與0的大小關(guān)系．解：由an<0，即2n－49<0可得：所以當(dāng)n＝24時(shí)，Sn達(dá)到最小值；黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例4.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝2n－49,求Sn達(dá)16分析2：用函數(shù)的觀點(diǎn)看待等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，它是關(guān)于n的的二次式．由此可以借助二次函數(shù)求最值的方法去考察當(dāng)n為何值時(shí)，Sn取得最大（?。┲担猓河深}意可知：故當(dāng)n＝24時(shí)，Sn取得最小值－576．例4.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝2n－49,求Sn達(dá)到最小值時(shí)n的值．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校分析2：用函數(shù)的觀點(diǎn)看待等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，它是關(guān)于n的17對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法:(1)利用{an}:(2)利用Sn：當(dāng)a1>0,d<0,前n項(xiàng)和有最大值可由求得n的值.當(dāng)a1<0,d>0,前n項(xiàng)和有最小值可由求得n的值.由利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法:(1)利用{an}:(18練習(xí)：在等差數(shù)列{an}，已知|a3|＝|a9|，公差d<0，則使前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)的自然數(shù)n的值為（）A．4或5B．5或6C．6或7D．6解：由已知可知a3＋a9＝0，且a3>0，所以當(dāng)n＝5，或n＝6時(shí)，Sn取得最大值．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知：a3＋a9＝2a6＝0，B黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校練習(xí)：在等差數(shù)列{an}，已知|a3|＝|a9|，公差d<019§3.3.4等差數(shù)列習(xí)題課例5.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為－24,從第10項(xiàng)起為正數(shù),求公差d的取值范圍．分析：求公差d的取值范圍，關(guān)鍵在于尋求關(guān)于公差d的不等式（組）．解：由題意可知：點(diǎn)評(píng)：在考慮“第10項(xiàng)起為正數(shù)”時(shí)，別忘了它的的潛臺(tái)詞“第9項(xiàng)為非正數(shù)”．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校§3.3.4等差數(shù)列習(xí)題課例5.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為20例6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和(1)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，(2)求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn．解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，有當(dāng)n≥2時(shí)，上式對(duì)于n=1時(shí)也成立，又

∴{an}為等差數(shù)列．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和(121例6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=12n-n2,(1)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，(2)求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn．(2)由(1)知由得∴當(dāng)時(shí)，an>0，當(dāng)時(shí)，an＜0∴當(dāng)n≤6時(shí)，∴當(dāng)n≥7時(shí)，

黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=12n-n2,(122例7.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12,S12＞0,S13＜0,(1)求公差d的取值范圍，(2)指出中哪一個(gè)最大?并說(shuō)明理由．解：(1)依題意有即解得黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例7.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12,S12＞23(2)由d<0，可知{an}是遞減數(shù)列，由可得即在中，S6最大．又∴a6是a1，a2，…，a12中符號(hào)為正的項(xiàng)中最小的，中，最大．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校(2)由d<0，可知{an}是遞減數(shù)列，由黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分24例8．(2008四川理)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10,S5≤15則a4的最大值為

．解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意有即即注意到因此a4的最大值為4．注意整體運(yùn)算,待定系數(shù)法的思想方法4黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例8．(2008四川理)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和25小結(jié)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校小結(jié)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校26書面作業(yè)<<教材>>習(xí)題3.3–5.7.8選作題:已知自然數(shù)集組成的數(shù)集序列……其中每一個(gè)數(shù)集都比前一個(gè)數(shù)集多一個(gè)數(shù)，并且從第二個(gè)數(shù)集開始，每一個(gè)數(shù)集中的最小數(shù)比前一個(gè)數(shù)集中的最大數(shù)多l(xiāng)．試求第n個(gè)數(shù)集中的所有數(shù)之和Sn．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校書面作業(yè)<<教材>>選27等差數(shù)列習(xí)題課*黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校等差數(shù)列習(xí)題課*黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校281．基本公式（1）定義：an＋1－an＝d（n∈N*，d為常數(shù)）；（2）通項(xiàng)公式：an＝a1＋（n－1）d；（3）前n項(xiàng)和公式：（4）通項(xiàng)公式推廣：an＝am＋（n－m）d．等差數(shù)列的有關(guān)公式：黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校1．基本公式（1）定義：an＋1－an＝d（n∈N*，d為常292．等差數(shù)列的一些性質(zhì)（1）對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an＋1－an＝an－an－1

＝…＝a2－a1＝d；（2）對(duì)于任意的正整數(shù)k，l，m，n，如果

k＋l＝m＋n，那么ak＋al＝am＋an；（3）對(duì)于任意的正整數(shù)p，q，r，如果p＋r＝2q，則ap＋ar＝2aq；（4）對(duì)于任意的正整數(shù)n>1，有2an＝an＋1＋an－1；黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校2．等差數(shù)列的一些性質(zhì)（1）對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an＋1－302．等差數(shù)列的一些性質(zhì)（5）對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)b，若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，則｛ban｝也是等差數(shù)列；（6）已知｛an｝、｛bn｝都是等差數(shù)列，則｛an±bn｝也是等差數(shù)列；（7）若｛an｝是公差為d等差數(shù)列,那么等距離抽取的子數(shù)列也是等差數(shù)列.如a1，a3，a5，…，a2n－1,…是公差為2d的等差數(shù)列;a2，a5，a8，…，a3n－1，…是公差為3d的等差數(shù)列；（8）若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn，則數(shù)列｛an｝為公差為2A的等差數(shù)列．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校2．等差數(shù)列的一些性質(zhì)（5）對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)b，若數(shù)列｛a31例1.在等差數(shù)列{an}中,若a1＋a6＝9,a4＝7，求a3，a9．分析1：要求一個(gè)數(shù)列的某項(xiàng)，通常情況下是先求其通項(xiàng)公式，而要求通項(xiàng)公式，必須知道這個(gè)數(shù)列中的至少一項(xiàng)和公差，或者知道這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)(知道任意兩項(xiàng)就知道公差).解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題意可知解得∴an＝－8＋5（n－1），即an＝5n－13．∴a3＝5×3－13＝2，a9＝5×9－13＝32．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例1.在等差數(shù)列{an}中,若a1＋a6＝9,a4＝7，求a32分析2：本題中，只已知一項(xiàng)，和另一個(gè)雙項(xiàng)關(guān)系式，想到從這雙項(xiàng)關(guān)系式入手…解（法2）：∵｛an｝是等差數(shù)列，∴a1＋a6＝a4＋a3＝9，∴a3＝9－a4＝9－7＝2，故d＝a4－a3＝7－2＝5；∴a9＝a4＋（9－4）d＝7＋5×5＝32；所以a3＝2，a9＝32．例1.在等差數(shù)列{an}中,若a1＋a6＝9,a4＝7，求a3，a9．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校分析2：本題中，只已知一項(xiàng)，和另一個(gè)雙項(xiàng)關(guān)系式，想到從這雙項(xiàng)33

點(diǎn)評(píng)：(1)根據(jù)已知條件，求出數(shù)列的首項(xiàng)a1、公差d，這是解決有關(guān)等差數(shù)列的常規(guī)方法；(2)根據(jù)題目所給條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)：對(duì)于任意的正整數(shù)k，l，m，n，如果k＋l＝m＋n，那么ak＋al＝am＋an，可以適當(dāng)?shù)臏p少運(yùn)算量．例1.在等差數(shù)列{an}中,若a1＋a6＝9,a4＝7，求a3，a9．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校點(diǎn)評(píng)：(1)根據(jù)已知條件，求出數(shù)列的首項(xiàng)a1、公差d，這是34練習(xí)：一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列,其中最小的內(nèi)角為120o,公差為5o,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)n等于______．分析：根據(jù)凸多邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°建立等量關(guān)系．解：由（n－2）·180＝120n＋整理得n2－25n＋144＝0，解得n＝9，或n＝16，當(dāng)n＝16時(shí),最大內(nèi)角120°+(16－1)×5＝195°不合題意，舍去.∴n＝9．點(diǎn)評(píng)：凸多邊形的內(nèi)角小于180°.黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校練習(xí)：一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列,其中最小的內(nèi)角為120o35例2.在等差數(shù)列｛an｝中，(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d;分析：等差數(shù)列的a1,d,n,an,Sn等元素中,已知一部分量求另一部分量.在解題時(shí),只要根據(jù)題意,合理選擇公式,列出方程或方程組求解．解：(1)由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得：黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例2.在等差數(shù)列｛an｝中，分析：等差數(shù)列的a1,d,n,a36分析：等差數(shù)列的a1,d,n,an,Sn等元素中,已知一部分量求另一部分量.在解題時(shí),只要根據(jù)題意，合理選擇公式,列出方程或方程組求解．解：(2)∵S6＝S5＋a6＝15，即3（a1＋10）＝15，例2.在等差數(shù)列｛an｝中，(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校分析：等差數(shù)列的a1,d,n,an,Sn等元素中,已知一部分37點(diǎn)評(píng):在題(3)看似缺少條件,但注意到a3＋a15與a1＋a17的聯(lián)系,很容易得到問(wèn)題的解.所以在解此類問(wèn)題時(shí),還必須注意各元素之間的某些特殊聯(lián)系.例2.在等差數(shù)列｛an｝中，(3)已知a3＋a15＝40，求S17．分析：等差數(shù)列的a1,d,n,an,Sn等元素中,已知一部分量求另一部分量.在解題時(shí),只要根據(jù)題意，合理選擇公式,列出方程或方程組求解．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校點(diǎn)評(píng):在題(3)看似缺少條件,但注意到a3＋a15與a1＋a38推廣引伸：在等差數(shù)列{an}中,a4＋a10＝13,則a3＋a5＋a8＋a12＝__________．解：a3＋a5＋a8＋a12＝2a4＋2a10

＝2(a4＋a10)＝26．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校推廣引伸：在等差數(shù)列{an}中,a4＋a10＝13,解：a339例3.設(shè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若，求的值．分析:已知兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值,求的值，關(guān)鍵在于尋求數(shù)列中的項(xiàng)和數(shù)列前n項(xiàng)和的關(guān)系,可以把a(bǔ)11看成是某一列數(shù)的中間項(xiàng)，即S21＝21a11，同理可得：T21＝21b11，因此本題即為求S21與T21的比值．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例3.設(shè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別分析:已知兩40例3.設(shè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若，求的值．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例3.設(shè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別黃岡中學(xué)網(wǎng)校41點(diǎn)評(píng):關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)的和,通常有下面的結(jié)論(2)若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k(k∈N＊)仍成等差數(shù)列,且S3k＝3(S2k-Sk)．例3.設(shè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若，求的值．且(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校點(diǎn)評(píng):關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)的和,通常有下面的結(jié)論(2)若Sn是42例4.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝2n－49,求Sn達(dá)到最小值時(shí)n的值．分析：從數(shù)列前n項(xiàng)的和的定義來(lái)看，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an．當(dāng)an>0時(shí)，Sn的值隨n的增大而增大；當(dāng)an<0時(shí)，Sn的值隨n的增大而減??；只須考慮等差數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)與0的大小關(guān)系．解：由an<0，即2n－49<0可得：所以當(dāng)n＝24時(shí)，Sn達(dá)到最小值；黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校例4.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝2n－49,求Sn達(dá)43分析2：用函數(shù)的觀點(diǎn)看待等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，它是關(guān)于n的的二次式．由此可以借助二次函數(shù)求最值的方法去考察當(dāng)n為何值時(shí)，Sn取得最大（?。┲担猓河深}意可知：故當(dāng)n＝24時(shí)，Sn取得最小值－576．例4.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝2n－49,求Sn達(dá)到最小值時(shí)n的值．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校分析2：用函數(shù)的觀點(diǎn)看待等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，它是關(guān)于n的44對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法:(1)利用{an}:(2)利用Sn：當(dāng)a1>0,d<0,前n項(xiàng)和有最大值可由求得n的值.當(dāng)a1<0,d>0,前n項(xiàng)和有最小值可由求得n的值.由利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法:(1)利用{an}:(45練習(xí)：在等差數(shù)列{an}，已知|a3|＝|a9|，公差d<0，則使前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)的自然數(shù)n的值為（）A．4或5B．5或6C．6或7D．6解：由已知可知a3＋a9＝0，且a3>0，所以當(dāng)n＝5，或n＝6時(shí)，Sn取得最大值．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知：a3＋a9＝2a6＝0，B黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分校練習(xí)：在等差數(shù)列{an}，已知|a3|＝|a9|，公差d<046§3.3.4等差數(shù)列習(xí)題課例5.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為－24,從第10項(xiàng)起為正數(shù),求公差d的取值范圍．分析：求公差d的取值范圍，關(guān)鍵在于尋求關(guān)于公差d的不等式（組）．解：由題意可知：點(diǎn)評(píng)：在考慮“第10項(xiàng)起為正數(shù)”時(shí)，別忘了它的的潛臺(tái)詞“第9項(xiàng)為非正數(shù)”．黃岡中學(xué)網(wǎng)校達(dá)州分?！?.3.4等差數(shù)列習(xí)題課例5.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為47例6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和(1)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，(2)求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn．解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，有當(dāng)n≥2時(shí)，上式對(duì)于n