邊界元法與無網(wǎng)格法無網(wǎng)格法概論

邊界元法與無網(wǎng)格法無網(wǎng)格法概論第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四參考文獻(xiàn)張雄，劉巖.無網(wǎng)格法，清華大學(xué)出版社，2004劉更，劉天祥，謝琴.無網(wǎng)格法及其應(yīng)用.西北工業(yè)大學(xué)出版社，2005.G.R.Liu,Y.T.Gu(王建明、周學(xué)軍).無網(wǎng)格法理論及程序設(shè)計(jì),山東大學(xué)出版社，2007.S.N.Atluri,S.P.Shen.TheMeshlessLocalPetrov-GalerkinMethod,TechSciencePress,2002.第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四有限元法存在的某些困難沖壓成型：網(wǎng)格畸變裂紋動態(tài)擴(kuò)展：網(wǎng)格重分高速碰撞：網(wǎng)格畸變奇異性問題：解析函數(shù)自適應(yīng)問題：網(wǎng)格重分(h)、近似函數(shù)(p)應(yīng)變局部化：網(wǎng)格重分薄殼問題：近似函數(shù)高階連續(xù)性問題復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格的生成第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無網(wǎng)格法直接利用分布在求解域中的離散點(diǎn)來構(gòu)造近似函數(shù)的一種求解偏微分方程的數(shù)值方法。不需要借助于網(wǎng)格。網(wǎng)格法（有限元法、邊界元）無網(wǎng)格法對某些特殊問題，無網(wǎng)格法很有效。第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無網(wǎng)格法概論無網(wǎng)格法的研究歷史全域插值函數(shù)典型無網(wǎng)格法第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無網(wǎng)格法的研究歷史七十年代：非規(guī)則網(wǎng)格有限差分法1977年：Smoothedparticlehydrodynamics

SPH歸一化光滑函數(shù)算法—分片試驗(yàn)不穩(wěn)定的起因及穩(wěn)定化方案克服零能模態(tài)的具體方案MLSPH水下爆炸仿真模擬、高速碰撞等第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無網(wǎng)格法的研究歷史1992年：Diffuseelement(Nayroles等)1994年：ElementFreeGalerkin

(Belytschko)動態(tài)裂紋擴(kuò)展數(shù)值模擬三維撞擊、流體晃動分析板殼分析EFG和有限元、邊界元法耦合相變問題；擴(kuò)散問題1995年：ReproducingKernelParticleMethod（WKLiu）多尺度分析、自適應(yīng)分析結(jié)構(gòu)動力學(xué)、流體動力學(xué)動態(tài)斷裂和局部化金屬加工成形中厚梁板、微電子機(jī)械系統(tǒng)納米管起皺節(jié)理巖體2000邊界條件2001質(zhì)點(diǎn)積分2006實(shí)質(zhì)上與EFG等價(jià)！第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無網(wǎng)格法的研究歷史1996年：FinitePointMethod（Onate等）流體動力學(xué)彈塑性分析1996年：HpClouds(Oden等)鐵摩辛柯梁問題厚板的彎曲問題基于云團(tuán)法的新型hp有限元Hp無網(wǎng)格云團(tuán)法1996年：PUFEM和GFEM（Babuska等）動態(tài)裂紋擴(kuò)展問題1998年：Localboundaryintegralequationmethod(LBIE)

和MeshlesslocalPetrov-Galerkin法(MLPG)(Atluri,Sladek)第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無網(wǎng)格法的研究歷史將無網(wǎng)格法的思想引入有限元法中PUFEM—Babuska，1996GFEM—DuarteXFEM—Belytschko流形元法（石根華）動態(tài)裂紋擴(kuò)展節(jié)理巖體應(yīng)變局部化網(wǎng)格連續(xù)近似函數(shù)不連續(xù)第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無網(wǎng)格法類型2000年：緊支徑向基函數(shù)配點(diǎn)法

2001年：最小二乘配點(diǎn)無網(wǎng)格法

2001年：加權(quán)最小二乘無網(wǎng)格法2003年：伽遼金最小二乘無網(wǎng)格法2003年：伽遼金配點(diǎn)無網(wǎng)格法2004年：邊界弱形式配點(diǎn)法2005年：物質(zhì)點(diǎn)有限元法2006年：質(zhì)點(diǎn)積分無網(wǎng)格伽遼金法2009年：沖擊爆炸三維物質(zhì)點(diǎn)法數(shù)值仿真軟件MPM3D?第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無網(wǎng)格法活動1996年ComputerMethodsinEngineeringMechanicsandEngineering

出版了無網(wǎng)格法專輯（139卷）2000年ComputationalMechanics

出版了無網(wǎng)格法專輯（25卷，2-3期）近年來許多著名數(shù)值方法國際會議都設(shè)置了無網(wǎng)格法的主題會。許多著名有限元專家，如Zienkiewicz、Belytscho、Atluri、WKLiu、KJBathe等都對無網(wǎng)格法進(jìn)行了深入研究。第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無網(wǎng)格法概論無網(wǎng)格法的研究歷史全域插值函數(shù)典型無網(wǎng)格法第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)插值法MLS擬合（n>m）：I=1,2,…,

n線性函數(shù)：二次函數(shù)：配點(diǎn)：函數(shù)逼近：第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四緊支試函數(shù)移動最小二乘法(MovingLeastSquare)核函數(shù)近似(Kernelapproximation)重構(gòu)核近似(ReproducingKernelapprox.)單位分解法(PartitionofUnity)徑向基函數(shù)（Radialbasisfunctions）點(diǎn)插值法（Pointinterpolationmethod）自然鄰接點(diǎn)插值Kriging插值非均勻有理B樣條（NURBS）函數(shù)u(x)可以近似為大多數(shù)無網(wǎng)格法形函數(shù)不滿足插值特性，即第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四徑向基函數(shù)一類以點(diǎn)x到節(jié)點(diǎn)xI的距離dI為自變量的函數(shù)，也稱為距離函數(shù)—

中心位于節(jié)點(diǎn)xI的距離基函數(shù)MQ：RMQ：TPS：Gaussians：

4thordersplineradialbasisfunction：緊支性：當(dāng)?shù)?5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四徑向基函數(shù)第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四徑向基函數(shù)增加多項(xiàng)式基后，MQ插值正定如果p中包含常數(shù)基和線性基，則插值具有一階一性；Wang等采用局部形式—徑向基點(diǎn)插值法Hermite型徑向基函數(shù)插值第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四移動最小二乘近似近似函數(shù)—基函數(shù)（多項(xiàng)式或其它已知函數(shù)）—待定系數(shù)線性基：二次基：第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四移動最小二乘近似—待定系數(shù)的確定有限元法—令uh(x)在單元節(jié)點(diǎn)i處等于函數(shù)u(x)在該節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值ui待定系數(shù)的個(gè)數(shù)必須等于單元自由度uh(xi)=u(xi)—具有插值特性依賴于網(wǎng)格MLS—使uh(x)在節(jié)點(diǎn)處的誤差在加權(quán)最小二乘意義下取極小值精度高，并且可具有高階連續(xù)性能夠精確重構(gòu)基中的任何函數(shù)計(jì)算量大uh(xi)≠

u(xi)—不具有插值特性(擬合)第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四移動最小二乘近似第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四移動最小二乘近似第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四移動最小二乘近似當(dāng)基函數(shù)中最高階完備多項(xiàng)式的階數(shù)k=0時(shí)，MLS形函數(shù)退化為為Shepard函數(shù)如果在MLS近似中將權(quán)函數(shù)在域內(nèi)取為1，在域外取為0，則MLS近似退化為標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘近似MLS近似可以精確重構(gòu)包含在基底中的任何函數(shù)pi(x)，即對于裂紋擴(kuò)展問題，基函數(shù)可以取為對于聲場，基函數(shù)可以取為第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四廣義移動最小二乘近似MLS要求近似函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處誤差的平方和為最小，但對近似函數(shù)導(dǎo)數(shù)的誤差沒有任何約束Atluri等人在分析歐拉梁時(shí)，要求近似函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在各點(diǎn)處誤差的平方和最小可只將函數(shù)在面力邊界各節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)作為自變量，要求近似函數(shù)在所有節(jié)點(diǎn)處誤差的平方和與近似函數(shù)導(dǎo)數(shù)在面力邊界各點(diǎn)處誤差的平方和之和最小第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無網(wǎng)格法概論無網(wǎng)格法的研究歷史全域插值函數(shù)典型無網(wǎng)格法第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四典型無網(wǎng)格法第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四典型無網(wǎng)格法伽遼金型無網(wǎng)格法配點(diǎn)型無網(wǎng)格法基于局部弱形式和邊界積分方程的無網(wǎng)格法最小二乘無網(wǎng)格法物質(zhì)點(diǎn)法加權(quán)余量法第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四伽遼金型無網(wǎng)格法EFGMLSGalerkinRKPMRKGalerkinPIMPIGalerkin第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四伽遼金型無網(wǎng)格法等效積分弱形式（虛位移原理）MLS近似：計(jì)算量大精度高，穩(wěn)定性好需要背景網(wǎng)格進(jìn)行積分系數(shù)矩陣對稱不易施加本質(zhì)邊界條件處理第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四伽遼金型無網(wǎng)格法—數(shù)值積分背景網(wǎng)格積分第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四伽遼金型無網(wǎng)格法—數(shù)值積分第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四伽遼金型無網(wǎng)格法—數(shù)值積分節(jié)點(diǎn)積分穩(wěn)定化方案零能模態(tài)第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四伽遼金型無網(wǎng)格法—位移邊界條件的處理拉格朗日乘子法第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四伽遼金型無網(wǎng)格法—位移邊界條件的處理修正變分原理第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四伽遼金型無網(wǎng)格法—位移邊界條件的處理罰函數(shù)法第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四加權(quán)余量法平衡方程應(yīng)變-位移關(guān)系應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系邊界條件線彈性力學(xué)的控制方程第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四加權(quán)余量法對于復(fù)雜問題，只能求近似解加權(quán)余量法不要求余量在各點(diǎn)均為零，而要求余量的加權(quán)積分為零—平均意義上滿足方程近似解：加權(quán)余量法的物理意義：選取合適的待定參數(shù)強(qiáng)迫余量在某種平均意義下為零等效積分形式檢驗(yàn)函數(shù)Testfunctions—試探函數(shù)(trialfunction)—待定系數(shù)第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四加權(quán)余量法如何選取權(quán)函數(shù)？取：選擇不同的權(quán)函數(shù)，得到不同的加權(quán)余量法—Testfunction第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法強(qiáng)迫余量在域內(nèi)N個(gè)離散點(diǎn)上為零!2.子域法強(qiáng)迫余量在N個(gè)子域VI上的積分為零!第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四加權(quán)余量法3.最小二乘法強(qiáng)迫余量的均方和為最??！4.伽遼金法在有限元法中主要采用伽遼金法第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四加權(quán)余量法5.局部彼得洛夫-伽遼金法余量在各子域Ωs上消除，且檢驗(yàn)函數(shù)和試探函數(shù)取自不同的函數(shù)空間第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四加權(quán)余量法子域Ωs以各節(jié)點(diǎn)為中心：球形、橢球、立方體在子域中積分，易于實(shí)現(xiàn)檢驗(yàn)函數(shù)MLS權(quán)函數(shù)Diracδ函數(shù)誤差函數(shù)微分方程的基本解：等價(jià)于LBIE單位階躍函數(shù)：無域內(nèi)積分，效率高近似函數(shù)：與Galerkin法等價(jià)最終得到的求解方程的系數(shù)矩陣一般是不對稱第41頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無網(wǎng)格法的應(yīng)用天體物理水下爆炸高速碰撞動態(tài)裂紋擴(kuò)展板殼分析流體力學(xué)相變問題大變形自適應(yīng)金屬加工成型塑性變形局部化納米管起皺第42頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四巖土數(shù)值模擬巖土特性：強(qiáng)度和壓力相關(guān)性，剪脹性，非關(guān)聯(lián)塑性，以及應(yīng)變軟化和等壓屈服特性。Drucker-Prager彈塑性本構(gòu)模型

屈服面與壓力相關(guān)，剪脹性和非關(guān)聯(lián)塑性。

屈服面：fs和ftπ平面上

第43頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四巖土數(shù)值模擬Drucker-Prager模型剪切失效-屈服函數(shù)