量子力學課件第五章

量子力學課件第五章第1頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第五章微擾理論微擾法不是量子力學所特有的方法，在處理天體運行的天體物理學中，計算行星運行軌道時，就是使用微擾方法。計算中需要考慮其他行星影響的二級效應。第2頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四例如，地球受萬有引力作用繞太陽轉(zhuǎn)動第五章微擾理論計算所使用的方法是：首先把太陽和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化。第3頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾（一）微擾體系方程可精確求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設體系Hamilton量不顯含時間，而且可分為兩部分：

H0所描寫的體系是可以精確求解的，其本征值En(0)，本征矢ψn(0)滿足如下本征方程：H’是很小的可以看作加于H0上的微小擾動。第4頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾現(xiàn)在的問題是如何求解整個體系的Schrodinger方程：為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫為：其中λ是很小的實數(shù)，表征微擾程度的參量。第5頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾因為En、ψn都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是λ的函數(shù)而將其展開成λ的冪級數(shù)：其中En(0),λEn(1),λ2En(1),...分別是能量的0級近似，能量的一級修正和二級修正等；而ψn(0),λψn(1),λ2ψn(2),...分別是狀態(tài)矢量0級近似，一級修正和二級修正等。第6頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾代入Schrodinger方程得：乘開得第7頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾根據(jù)等式兩邊λ同冪次的系數(shù)應該相等，可得到如下一系列方程式:第8頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾整理后得：上面的第一式就是H0的本征方程，第二、三式分別是ψn(1)和ψn(2)所滿足的方程，由此可解得能量和態(tài)矢的第一、二級修正。第9頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四左乘ψn(0)*,整個空間積分考慮到本征基矢的正交歸一性：§5.1非簡并的定態(tài)微擾(1)能量一級修正En(1)（二）態(tài)矢和能量的一級修正第10頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾根據(jù)力學量本征矢的完備性假定ak(1)=<ψk(0)|ψn(1)>代回到（2）態(tài)矢的一級修正ψn(1)第11頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾左乘ψm(0)*,整個空間積分第12頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾考慮到本征基矢的正交歸一性：有k=m≠n第13頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾態(tài)矢的一級修正ψn(1)第14頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾態(tài)矢和能量的一級修正第15頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾（三）能量的二階修正第16頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾左乘ψn(0)*,整個空間積分考慮到本征基矢的正交歸一性：=0=0第17頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾第18頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾在計及二階修正后，擾動體系能量本征值由下式給出：擾動體系能量本征函數(shù)由下式給出：第19頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾（四）微擾理論適用條件欲使二式有意義，則要求二級數(shù)收斂。由于不知道級數(shù)的一般項，無法判斷級數(shù)的收斂性，我們只能要求級數(shù)已知項中，后項遠小于前項。由此我們得到微擾理論適用條件是：第20頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾上述微擾適用條件表明：（2）|En(0)–Em(0)|要大，即能級間距要寬。（1）|H’mn|=|<ψm(0)|H’|ψn(0)>|要小，即微擾矩陣元要??；第21頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾（五）實例例1.一電荷為q的線性諧振子，受恒定弱電場E作用。電場沿x正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。解：（1）電諧振子Hamilton量將Hamilton量分成H0+H’兩部分第22頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾H0+H’（2）寫出H0的本征值和本征函數(shù)E(0),ψn(0)第23頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾（3）計算En(1)奇函數(shù)第24頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾（4）計算能量二級修正欲計算能量二級修正，首先應計算H’mn矩陣元。利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：第25頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾將上式代入第26頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾En(0)-En-1(0)=ω,En(0)-En+1(0)=-ω第27頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并的定態(tài)微擾波函數(shù)的一級修正第28頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.2簡并情況下的微擾第29頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.2簡并情況下的微擾根據(jù)這個條件，我們選取0級近似波函數(shù)ψn(0)的最好方法是將其表示成k個φi的線性組合，因為反正0級近似波函數(shù)要在φii=1,2,...,k)中挑選。系數(shù)由下式給出第30頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.2簡并情況下的微擾左乘ψl*,整個空間積分0第31頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.2簡并情況下的微擾上式是以展開系數(shù)ci(0)為未知數(shù)的齊次線性方程組,它有不含為零解的條件是系數(shù)行列式為零解此久期方程可得能量的一級修正En(1)的k個根記為Enj(1)(j=1,2…k)第32頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.2簡并情況下的微擾因為En=En(0)+Enj(1)，所以若這k個根都不相等,則一級微擾就可以將k度簡并完全消除.若En

(1)有幾個重根,則表明簡并只是部分消除,須進一步考慮二級修正才可使能級完全分裂開來。第33頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.2簡并情況下的微擾確定能量En=En(0)+Enj(1)所對應的0級近似波函數(shù).可以把Enj(1)之值代入線性方程組從而解得一組ci系數(shù)。將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應的0級近似波函數(shù)第34頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應(1)氫原子一級Stark效應:氫原子在外電場作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為Stark效應。我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場作用，造成第n個能級有n2度簡并。但是當加入外電場后，由于勢場對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，簡并部分被消除。Stark效應可以用簡并情況下的微擾理論予以解釋。第35頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應（2）外電場下氫原子Hamilton量（電場沿Z方向)常外電場強度比原子內(nèi)部電場強度小得多，我們可以把外電場的影響作為微擾處理。第36頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應（3）H0的本征值和本征函數(shù)下面我們只討論n=2的情況，這時簡并度n2=4。第37頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應屬于該能級的4個簡并態(tài)是：第38頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應（4）一級能量修正久期方程先計算出微擾Hamilton量H’在以上各態(tài)的矩陣元第39頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應我們碰到角積分<Yl'm'|cosθ|Ylm>需要利用如下公式：欲使上式不為0，求量子數(shù)必須滿足如下條件：第40頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應僅當Δ=±1,Δm=0時，H’的矩陣元才不為0。因此矩陣元中只有H’12,H’21不等于0。因為第41頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應將H’的矩陣元代入久期方程：解得4個根：第42頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應由此可見，在外場作用下，原來4度簡并的能級E2(0)在一級修正下，被分裂成3條能級，簡并部分消除。E2E1第43頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應（5）求0級近似波函數(shù)分別將E2(1)的4個值代入方程組：得四元一次線性方程組第44頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應<1>將E2(1)=E21(1)=3eεa0代入上面方程，得：所以相應于能級E2(0)+3eεa0的0級近似波函數(shù)是：第45頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應<2>將E2(1)=E22(1)=-3eεa0代入上面方程，得：所以相應于能級E(0)2-3eεa0

的0級近似波函數(shù)是：第46頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.3氫原子一級Stark效應我們可以采用<3>將E2(1)=E23(1)=E24(1)=0，代入上面方程，得：第47頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四內(nèi)容回顧第48頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四1、非簡并的定態(tài)微擾第49頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四2、簡并情況下的微擾久期方程第50頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.6與時間有關(guān)的微擾理論本節(jié)中我們研究量子態(tài)的演化問題,也就是已知初始時刻的狀態(tài)求任意時刻的狀態(tài)依據(jù)運動方程第51頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四1、H不含時間的情況這種情況態(tài)的演化問題將歸結(jié)為求解定態(tài)薛定諤方程。帶入到薛定諤方程§5.6與時間有關(guān)的微擾理論第52頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四此方程很容易積分顯然積分常數(shù)總結(jié):§5.6與時間有關(guān)的微擾理論第53頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四2.Hamilton算符含有與時間有關(guān)的微擾含時微擾理論可以通過H0的定態(tài)波函數(shù)近似地求出微擾存在情況下的波函數(shù)，從而可以計算無微擾體系在加入含時微擾后，體系由一個量子態(tài)到另一個量子態(tài)的躍遷幾率。（1）薛定諤方程的另一種形式§5.6與時間有關(guān)的微擾理論若的H0本征值方程已解得第54頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四則顯然有令再令代入薛定諤方程§5.6與時間有關(guān)的微擾理論第55頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四以Φm*左乘上式后對全空間積分§5.6與時間有關(guān)的微擾理論第56頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四2）近似求解（逐次逼近法）代入方程式§5.6與時間有關(guān)的微擾理論第57頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四設t=0時體系處于H0某一本征態(tài)Φk，即或者代入方程式右邊§5.6與時間有關(guān)的微擾理論第58頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四一級近似公式:把一級近似的結(jié)果代入方程的右邊，可得到二級近似的結(jié)果，逐級進行可以一直進行下去，不過實際上往往只計算到一級近似。§5.6與時間有關(guān)的微擾理論第59頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四3、躍遷幾率設t=0時體系處于H0某一本征態(tài)Φk，t時刻發(fā)現(xiàn)體系處于ψ態(tài)發(fā)現(xiàn)體系處于Φm態(tài)的概率等于|am(t)|2所以在時間內(nèi),體系在微擾作用下由初態(tài)Φk躍遷到末態(tài)Φm的概率在一級近似下為：§5.6與時間有關(guān)的微擾理論第60頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§5.7躍遷概率設H’在0tt1這段時間之內(nèi)不為零，但與時間無關(guān)，即：常微擾情況的躍遷第61頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四（2）一級微擾近似am(1)§5.7躍遷概率第62頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四（3）躍遷概率和躍遷速率數(shù)學公式：則當t→∞時上式右第二個分式有如下極限值：§5.7躍遷概率第63頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四于是：躍遷速率：§5.7躍遷概率第64頁，共70頁，2