五海森堡運動方程

五、海森堡運動方程經(jīng)典物理中，對不是時間顯函數(shù)的，有由此，根據(jù)Dirac的量子化規(guī)則便得海森堡運動方程。但在海森堡運動方程中可以無經(jīng)典對應(yīng)，例如自旋算符也滿足（但不能寫成q和p的函數(shù)）

即經(jīng)典力學(xué)可由對應(yīng)關(guān)系推出，反之卻不然六、量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)觀察量的對應(yīng)

時間演化算符的薛定諤方程和海森堡運動方程的使用都需要有合適的哈密頓算符H。對有經(jīng)典對應(yīng)的物理體系，我們假定H與經(jīng)典物理有相同的形式而將經(jīng)典的和用量子力學(xué)的相應(yīng)算符來代替。當(dāng)對應(yīng)規(guī)則牽涉不對易觀測量時，則要求H是厄米的。例如，經(jīng)典力學(xué)的乘積xp之量子力學(xué)對應(yīng)為。物理體系無經(jīng)典對應(yīng)時，需要猜想H算符的形式。猜想形式的正確性以所用H給出與實驗觀測結(jié)果相同來檢驗。七、自由粒子的運動

由經(jīng)典哈密頓的形式：并將觀測量和理解成Heisenberg繪景的算符，1）即對自由粒子，動量算符是運動常量，即。一般而言，若與H對易，則是運動常量。2）與勻速直線運動的經(jīng)典軌跡方程相似。由于不同時刻的坐標(biāo)算符不對易根據(jù)測不準(zhǔn)關(guān)系，表明粒子的位置會隨時間而變得越來越不確定(對應(yīng)于波動力學(xué)的波包擴展)八、Ehrenfest定理考慮粒子在勢場中運動。是x，y，z算符的函數(shù)由于與對易，與自由粒子情形形式相同。

即，與牛頓第二定律相仿（海森堡繪景）取期望值，（適用于薛定諤和海森堡繪景）由于Ehrenfest定理里無(要求空間和時間平移算符中相關(guān)常數(shù)相等),波包中心的運動與經(jīng)典粒子受勢場作用的形式相同經(jīng)典粒子運動軌跡反映的是量子體系波包中心的位置變化！九、基矢在薛定諤繪景中，基矢滿足。因A與時間無關(guān)，故，基矢不隨時間變化，這與態(tài)矢隨時間變化是極不相同的。在海森堡繪景中，由時可推得基矢的本征方程為即基矢隨時間變化為。可見海森堡繪景的基矢與薛定諤繪景的態(tài)矢旋轉(zhuǎn)方向相反，前者滿足錯號的薛定諤方程：。注：基矢對應(yīng)的本征值則由上可知不隨時間變化，與么正等價觀測量具有相同本征譜這點相一致。十、算符和態(tài)矢的展開算符的展開：與基矢隨時間按變化的情況一致態(tài)矢的展開：兩繪景中態(tài)矢的展開系數(shù)是相同的（薛定諤繪景）基矢態(tài)矢（海森堡繪景）基矢態(tài)矢基矢與態(tài)矢點積對i）基矢不變、態(tài)矢逆時針旋轉(zhuǎn)，或ii）基矢順時針旋轉(zhuǎn)相同角度、態(tài)矢不變是相同的。注：原則上可以在海森堡繪景中堅持用不隨時間變化的基矢，這時展開系數(shù)也將不隨時間變化。只是這樣的話，基矢便不再是時的算符本征態(tài)了，理論上更復(fù)雜。十一、躍遷振幅初態(tài)為A的本征值為a’的本征態(tài)，在時間t被發(fā)現(xiàn)在B的本征值為b’的本征態(tài)的振幅，即躍遷振幅可計算為：薛定諤繪景,態(tài)矢為與時間無關(guān)，振幅海森堡繪景，態(tài)矢不變，基矢反方向演化，，振幅仍為。兩圖像完全等價兩繪景的差別可總結(jié)為薛定諤繪景海森堡繪景態(tài)矢變化（時間演化算符、薛定諤方程）不變觀測量算符不變變化（幺正變換、海森堡運動方程）基矢不變變化經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的比較基本假設(shè)經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)1粒子狀態(tài)由x(t)和p(t)表征，即是相空間{x,p}中的一個點粒子狀態(tài)由Hilbert空間中的矢量表征2力學(xué)量A是x和p的函數(shù)：A=A(x,p)力學(xué)量與厄米算符對應(yīng)，A對應(yīng)的算符為A(x,p)=A(x,p)3如粒子處于(x,p)狀態(tài)，測量A的結(jié)果為A(x,p)，粒子的狀態(tài)不變對處于態(tài)的粒子，測量A的結(jié)果是得到其本征值之一，ai,相應(yīng)幾率為.由于測量，體系的狀態(tài)變?yōu)橄鄳?yīng)的4體系狀態(tài)隨時間的變化由Hamilton方程給出：態(tài)矢服從薛定諤(海森堡)方程

時間演化與薛定諤方程的導(dǎo)出：薛定諤方程的導(dǎo)出只需利用時間平移的基本性質(zhì)（但利用了經(jīng)典力學(xué)的哈密頓量是時間平移的生成元的概念）利用力學(xué)量算符與經(jīng)典物理量的對應(yīng)，及經(jīng)典力學(xué)的動量是空間平移生成元和空間平移的基本性質(zhì)，可導(dǎo)出基本對易關(guān)系與Ehrenfest定理量子力學(xué)包含了經(jīng)典力學(xué)，即經(jīng)典力學(xué)只反映了一（?。┎糠至孔恿W(xué)描述的規(guī)律（力學(xué)量算符與經(jīng)典物理量的對應(yīng)是可以由量子力學(xué)導(dǎo)出經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)。）海森堡運動方程量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)觀測量的對應(yīng)規(guī)則時間演化算符的形式解能量本征矢、定態(tài)回顧2.4薛定諤波動方程一、含時薛定諤方程薛定諤繪景，坐標(biāo)表象的狀態(tài)隨時間演化為暫考慮為厄米算符，且為定域的，即為的實函數(shù)以后我們會討論含時的非定域但可分離的勢，與動量相關(guān)的勢，,等等。一、含時薛定諤方程（續(xù)）由而得含時薛定諤方程為基于上式的量子力學(xué)有時稱為波動力學(xué)，是當(dāng)時態(tài)矢在坐標(biāo)表象下薛定諤方程的特殊形式。二、不含時薛定諤方程對A和H的共同本征初態(tài),對能量本征態(tài)得定態(tài)薛定諤方程：束縛態(tài)：要解方程需加邊界條件，假設(shè)要求的解，合適的邊界條件為當(dāng)即粒子被限于一定的空間內(nèi)，或稱束縛態(tài)。由偏微分方程理論知滿足該邊界條件的非平凡解，只有分立的一組E值。定態(tài)薛定諤方程能級的量子化。由定態(tài)薛定諤方程可見，尋求微觀物理體系的能級與尋求彈簧的特征頻率相仿，都是數(shù)學(xué)物理的邊界值解問題。三、幾率流連續(xù)性方程波函數(shù)是態(tài)矢在坐標(biāo)本征函數(shù)的展開系數(shù)，其模平方是幾率密度，在附近的體積內(nèi)找到該粒子的幾率為由含時方程可推出連續(xù)性方程

其中該結(jié)果依賴于勢能算符的厄米性即實勢能。對復(fù)勢能，結(jié)果會變化，可解釋粒子的消失，如入射粒子被核吸收。幾率流與動量有關(guān)：四、波函數(shù)的解釋連續(xù)性方程與無源無漏區(qū)的流體力學(xué)連續(xù)性方程相似，因此曾被認(rèn)為是物質(zhì)密度，是實際電荷密度。奇特物理圖像：1）一原子的電子可看作連續(xù)分布的物質(zhì)，占據(jù)核附近的一定空間。測量使得電子處于某一特定點時，這一連續(xù)分布的物質(zhì)突然收縮為點狀無空間延伸的粒子。2）電子的“大小”可變，膨脹的電子沒被測量到Born提出了被廣泛接受的解釋，即為幾率密度的統(tǒng)計解釋。不過Born的解釋也不是沒有爭議的重新思考：相位、完整性、電子云五、波函數(shù)的相位S為實數(shù)，