常用邏輯用語知識點(diǎn)教師

PAGE11常用邏輯用語知識點(diǎn)教師常用邏輯用語目標(biāo)認(rèn)知

考試大綱要求：

1.理解命題的概念；了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.

2.了解命題“若p,則q”的形式及其逆命題、否命題與逆否命題，分析四種命題相互關(guān)系.

3.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.

4.理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.

重點(diǎn)：充分條件與必要條件的判定

難點(diǎn)：根據(jù)命題關(guān)系或充分(或必要)條件進(jìn)行邏輯推理。

知識要點(diǎn)梳理

知識點(diǎn)一：命題

1.定義：

一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的語句叫做命題.（1）命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分構(gòu)成.命題通常用小寫英文字母表示，如p,q,r,m,n等.

（2）命題有真假之分，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題.數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理等都是真命題（3）命題“”的真假判定方式：①若要判斷命題“”是一個真命題，需要嚴(yán)格的邏輯推理；有時在推導(dǎo)時加上語氣詞“一定”能幫助判斷。如：一定推出.

②若要判斷命題“”是一個假命題，只需要找到一個反例即可.

注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命題.

2.邏輯聯(lián)結(jié)詞：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.（1）不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)合命題.

（2）復(fù)合命題的構(gòu)成形式：

①p或q；②p且q；③非p（即命題p的否定）.（3）復(fù)合命題的真假判斷（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假①當(dāng)p、q同時為假時，“p或q”為假，其它情況時為真，可簡稱為“一真必真”；

②當(dāng)p、q同時為真時，“p且q”為真，其它情況時為假，可簡稱為“一假必假”。

③“非p”與p的真假相反.

注意：（1）邏輯連結(jié)詞“或”的理解是難點(diǎn)，“或”有三層含義，以“p或q”為例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立?？梢灶惐扔诩现小盎颉?（2）“或”、“且”聯(lián)結(jié)的命題的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.（3）對命題的否定只是否定命題的結(jié)論；否命題，既否定題設(shè)，又否定結(jié)論。

知識點(diǎn)二：四種命題

1.四種命題的形式：

用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用p和q分別表示p和q的否定，則四種命題的形式為：

原命題：若p則q；逆命題：若q則p；

否命題：若p則q；逆否命題：若q則p.

2.四種命題的關(guān)系

①原命題逆否命題.它們具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的依據(jù)和途徑之一.

②逆命題否命題，它們之間互為逆否關(guān)系，具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的另一依據(jù)和途徑.

除①、②之外，四種命題中其它兩個命題的真?zhèn)螣o必然聯(lián)系.命題與集合之間可以建立對應(yīng)關(guān)系，在這樣的對應(yīng)下，邏輯聯(lián)結(jié)詞和集合的運(yùn)算具有一致性，命題的“且”、“或”、“非”恰好分別對應(yīng)集合的“交”、“并”、“補(bǔ)”，因此，我們就可以從集合的角度進(jìn)一步認(rèn)識有關(guān)這些邏輯聯(lián)結(jié)詞的規(guī)定。知識點(diǎn)三：充分條件與必要條件

1.定義：

對于“若p則q”形式的命題：

①若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；

②若pq，但qp，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；

③若既有pq，又有qp，記作pq，則p是q的充分必要條件（充要條件）.

2.理解認(rèn)知：（1）在判斷充分條件與必要條件時，首先要分清哪是條件，哪是結(jié)論；然后用條件推結(jié)論，再用結(jié)論推條件，最后進(jìn)行判斷.（2）充要條件即等價條件，也是完成命題轉(zhuǎn)化的理論依據(jù).“當(dāng)且僅當(dāng)”.“有且僅有”.“必須且只須”.“等價于”“…反過來也成立”等均為充要條件的同義詞語.

3.判斷命題充要條件的三種方法

（1）定義法：

（2）等價法：由于原命題與它的逆否命題等價，否命題與逆命題等價，因此，如果原命題與逆命題真假不好判斷時，還可以轉(zhuǎn)化為逆否命題與否命題來判斷．即利用與；與；與的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運(yùn)用等價法.

(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷，比如AB可判斷為AB；A=B可判斷為AB，且BA，即AB.

如圖：

“”“，且”是的充分不必要條件.

“”“”是的充分必要條件.

知識點(diǎn)四：全稱量詞與存在量詞

1.全稱量詞與存在量詞全稱量詞及表示：表示全體的量詞稱為全稱量詞。表示形式為“所有”、“任意”、“每一個”等，通常用符號“”表示，讀作“對任意”。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.

（II）存在量詞及表示：表示部分的量稱為存在量詞。表示形式為“有一個”，“存在一個”,“至少有一個”，“有點(diǎn)”,“有些”等，通常用符號“”表示，讀作“存在”。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題特稱命題“存在M中的一個x，使p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.

2.對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定

（I）對含有一個量詞的全稱命題的否定全稱命題p：，他的否定：全稱命題的否定是特稱命題。

（II）對含有一個量詞的特稱命題的否定特稱命題p：，他的否定：特稱命題的否定是全稱命題。

注意：

（1）命題的否定與命題的否命題是不同的.命題的否定只對命題的結(jié)論進(jìn)行否定（否定一次），而命題的否命題則需要對命題的條件和結(jié)論同時進(jìn)行否定（否定二次）。

（2）一些常見的詞的否定：正面詞等于大于小于是都是一定是至少一個至多一個否定詞不等于不大于不小于不是不都是一定不是一個也沒有至少兩個

規(guī)律方法指導(dǎo)

1.解答命題及其真假判斷問題時，首先要理解命題及相關(guān)概念，特別是互為逆否命題的真假性一致.

2.要注意區(qū)分命題的否定與否命題.

3.要注意邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”與集合中的“并”“交”“補(bǔ)”是相關(guān)的，將二者相互對照可加深認(rèn)識和理解.

4.處理充要條件問題時，首先必須分清條件和結(jié)論。對于充要條件的證明，必須證明充分性，又要證明必要性；判斷充要條件一般有三種方法：用集合的觀點(diǎn)、用定義和利用命題的等價性；求充要條件的思路是：先求必要條件，再證明這個必要條件是充分條件.

5.特別重視數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的運(yùn)用?？偨Y(jié)升華：

1.判斷復(fù)合命題的真假的步驟：

①確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式；

②判斷其中簡單命題p和q的真假；

③根據(jù)規(guī)定（或真假表）判斷復(fù)合命題的真假.

2.條件“或”是“或”的關(guān)系，否定時要注意.

類型二：四種命題及其關(guān)系

2.寫出命題“已知是實數(shù)，若ab=0，則a=0或b=0”的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假。

解析：逆命題：已知是實數(shù)，若a=0或b=0,則ab=0,真命題；

否命題：已知是實數(shù)，若ab≠0，則a≠0且b≠0，真命題；

逆否命題：已知是實數(shù)，若a≠0且b≠0，則ab≠0，真命題。

總結(jié)升華：

1.“已知是實數(shù)”為命題的大前提，寫命題時不應(yīng)該忽略；

2.互為逆否命題的兩個命題同真假；

3.注意區(qū)分命題的否定和否命題.

類型三：全稱命題與特稱命題真假的判斷總結(jié)升華：

1.要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中每一個元素，驗證成立；要判斷全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個，使不成立可；

2.要判斷一個特稱命題的真假，依據(jù)：只要在限定集合M中，至少能找到一個，使成立，則這個特稱命題就是真命題，否則就是假命題.類型四：充要條件的判斷總結(jié)升華：

1.處理充分、必要條件問題時，首先要分清條件與結(jié)論；

2.正確使用判定充要條件的三種方法，要重視等價關(guān)系轉(zhuǎn)換，特別是與關(guān)系.

類型五：求參數(shù)的取值范圍總結(jié)升華：由p或q為真，知p、q必有其一為真，由p且q為假，知p、q必有一個為假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命題p及命題q為真的條件，再分類討論．

總結(jié)升華：從認(rèn)知已知條件切入，將四種命題或充要條件問題向集合問題轉(zhuǎn)化，是解決這類問題的基本策略。

類型六：證明

總結(jié)升華：利用反證法證明時，首先正確地作出反設(shè)（否定結(jié)論）.從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾，從而假設(shè)不正確，原命題成立，反證法一般適宜結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)，或以“至多…”、“至少…”形式出現(xiàn)，