2023屆江西省臨川一中百校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月信息卷（二）數(shù)學(xué)（理）試題-1

2023屆江西省臨川一中百校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月信息卷（二）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，，若為實數(shù)滿足，則（

）A． B． C．1 D．23．在一些比賽中，對評委打分的處理方法一般是去掉一個最高分，去掉一個最低分，然后計算余下評分的均值作為參賽者的得分．在一次有9位評委參加的賽事中，評委對一名參賽者所打的9個分?jǐn)?shù)，去掉一個最高分，去掉一個最低分后，一定不變的數(shù)字特征為（

）A．平均值 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差4．命題若，則，命題存在，使，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為真命題 B．為假命題 C．p為假命題 D．q為真命題5．已知命題：，使得；命題：，，則下列命題為真命題的是（

）A． B． C． D．6．昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學(xué)分子語言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲害的預(yù)報和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（

）A．3 B．4 C．5 D．67．曲線和所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周后，所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為（

）A． B． C． D．8．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．39．在中，已知的面積為，設(shè)D是邊的中點，且的面積為，則等于（

）A．2 B．4 C． D．10．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意都有，若，則（

）A． B．0 C．1 D．11．已知雙曲線的右焦點為F，直線與雙曲線E相交于A，B兩點，，，則雙曲線E的離心率為（

）.A． B． C．2 D．12．設(shè)正實數(shù)a，b滿足3a=7b，下面成立的是（）A． B． C． D．二、填空題13．若曲線在處的切線的斜率為，則__________．14．的展開式中，的系數(shù)為___________．15．在中，點在邊上，，則邊的最小值為__________.16．若函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則_________．三、解答題17．已知數(shù)列滿足，.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，證明.18．如圖，已知菱形中，，點為邊的中點，沿將折起，得到且二面角的大小為，點在棱上，平面.(1)求的值；(2)求二面角的余弦值.19．現(xiàn)在世界正處于百年未見之大變局，我國面臨著新的考驗，為增強學(xué)生的愛國意識和凝聚力，某學(xué)校高二年級組織舉辦了“中國國情和當(dāng)今世界局勢”的知識對抗競賽，主要是加深對新中國成立以來我國在經(jīng)濟建設(shè)、科技創(chuàng)新、精神文明建設(shè)等方面取得的成就和最新世界經(jīng)濟、政治時事的了解．組織者按班級將參賽人員隨機分為若干組，每組均為兩名選手，每組對抗賽開始時，組織者隨機從準(zhǔn)備好的題目中抽取2道試題供兩位選手搶答，每位選手搶到每道試題的機會相等．比賽得分規(guī)則為：選手搶到試題且回答正確得10分，對方選手得0分；選手搶到試題但回答錯誤或沒有回答得0分，對方選手得5分；2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲、乙兩名選手被分在同一組進行對抗賽，每道試題甲回答正確的概率為，乙回答正確的概率為，兩名選手回答每道試題是否正確相互獨立．2道試題搶答后的各自得分作為兩位選手的個人總得分．(1)求乙總得分為10分的概率；(2)記X為甲的總得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．已知橢圓的一個焦點為，其左頂點為A，上頂點為B，且到直線的距離為（O為坐標(biāo)原點）．(1)求C的方程；(2)若橢圓，則稱橢圓E為橢圓C的倍相似橢圓．已知橢圓E是橢圓C的3倍相似橢圓，直線與橢圓C，E交于四點（依次為M，N，P，Q，如圖），且，證明：點在定曲線上．21．已知函數(shù)．(1)若時，試討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點時，求a的取值范圍．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：．(1)當(dāng)時，求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程．(2)直線l與曲線C交于A，B兩點，若|AB|=2，求的值．23．已知函數(shù)，.(1)若，求不等式的解集；(2)已知，若對任意，都存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：1．A【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合集合交集和補集的定義進行求解即可.【詳解】由，或，因為，所以，所以，故選：A2．B【分析】利用向量垂直，數(shù)量積為0求解即可【詳解】，，，故選：B3．B【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)和方差得定義進行判斷，并舉出反例.【詳解】一共9個數(shù)據(jù)，從小到大排列后分別為，則為中位數(shù)，去掉最高分和最低分后，一共有7個數(shù)據(jù)，選取第4個數(shù)據(jù)，即仍然為中位數(shù)，故中位數(shù)一定不變，其余數(shù)據(jù)可能改變，不妨設(shè)9個分?jǐn)?shù)為，平均數(shù)為，眾數(shù)為3和5，方差為，去掉最高分10和最低分3后，平均數(shù)為，眾數(shù)為5，方差為，平均值，眾數(shù)和方差均發(fā)生變化.故選：B．4．A【解析】先判斷命題p和q的真假，再逐一判斷選項中的復(fù)合命題的真假即可.【詳解】由時，求導(dǎo)得，故命題p是真命題；因為，故不存在，使，即命題q是假命題.故選項A中，為真命題，故正確；選項B中，是真命題，為真命題，故錯誤；選項C中，p為假命題，錯誤；選項D中，q為真命題，錯誤.故選：A.5．B【分析】先判斷出命題，的真假，再依次判斷即可.【詳解】對于命題，因為，故命題為假命題，對于命題，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，，故命題為真命題，則為假命題，故A錯誤；為真命題，故B正確；因為為假命題，所以為假命題，為假命題，故CD錯誤.故選：B.6．B【分析】根據(jù)已知的濃度解析式，代入變量，結(jié)合對數(shù)的運算，化簡求值.【詳解】由題意，，所以），即．又，所以．因為，所以．故選：B．7．A【解析】欲求曲線和所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周后，所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積，可利用定積分計算，即求出被積函數(shù)在上的積分即可.【詳解】設(shè)旋轉(zhuǎn)體的體積為，則.故選：A8．A【分析】設(shè)橢圓的長半軸為，雙曲線的實半軸長為，焦距為2c，根據(jù)橢圓及雙曲線的定義及余弦定理可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸為，雙曲線的實半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：，所以，設(shè)，因為，則在中，由余弦定理得：，化簡得：，即，從而有，整理得，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）故選：A.9．A【分析】利用三角形面積公式及余弦定理求出角A及bc，再利用向量運算求解作答.【詳解】在中，，而，代入得，若，，則，則，顯然不合題意，則，又，于是，從而，解得，因為D是邊的中點，則，所以.故選：A10．D【分析】由已知可推得，.根據(jù)周期性可得，，又，所以.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，又由可得，，所以有，則，所以，所以是周期函數(shù)，周期.又，所以，又，，所以.故選：D.11．D【分析】由題可得，然后利用條件可求，進而可得，即求.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線E的左焦點為，由對稱性，∴，即，，設(shè)點，則有，解得，則，∴，解得，∴，.故選：D.12．B【分析】設(shè)3a=7b=t，（t＞0），則a=log3t，b=log7t，從而=log7t×logt3=log73，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較與和1的大小.【詳解】∵正實數(shù)a，b滿足3a=7b，∴設(shè)3a=7b=t，（t＞0），則a=log3t，b=log7t，∴=log7t×logt3==log73，∴．故選B．【點睛】本題考查兩數(shù)比值的范圍的求法，考查對數(shù)的性質(zhì)、運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．13．【分析】求出原函數(shù)的定義域，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值為可求得的值.【詳解】函數(shù)的定義域為，所以，，對函數(shù)求導(dǎo)得，由已知條件可得，整理可得，，解得.故答案為：.14．145【分析】根據(jù)題意得到，再求得展開式的通項，分別求，，，再利用多項式乘法即可得到的系數(shù)．【詳解】由，其中展開式的通項，令，得；令，得；令，得，所以的展開式中，的系數(shù)為．故答案為：145．15．1【分析】在中，利用余弦定理求出的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式求最值.【詳解】令，則，又，在中，由余弦定理可得，化簡整理得，因為，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為1.故答案為：116．【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合得出函數(shù)的周期為4，再由周期性求函數(shù)值.【詳解】因為，所以.因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以.即，故函數(shù)的周期為4.，故答案為：17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）計算得出，利用裂項相消法可證得結(jié)論成立.(1)證明：因為，，則，，，以此類推可知，對任意的，，由已知得，即，所以，，且，是首項為，公比為的等比數(shù)列.(2)證明：由（1）知，，，，.18．(1)(2)【分析】（1）首先通過面面平行的性質(zhì)證明，則，再利用三角形相似即可得到答案；（2）利用二面角定義得到，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用空間向量法求出二面角余弦值即可.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，取中點點，分別連接,,則，平面，平面，則平面，又因為平面，且，平面，所以平面平面，又因為平面與平面平面相交，則交線，故，因為為中點，且底面為菱形，故，又在菱形中，，所以，所以.（2）因為，，所以三角形為等邊三角形，所以，而根據(jù)折疊過程可知，且平面平面，平面，，因此是二面角的平面角，則，如圖，以點為原點，所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.依據(jù)題意，從而設(shè)平面的法向量，由得到，由得到.令設(shè)平面的法向量，由得到，由得到.令.因此，所以，所求二面角的余弦值是.19．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）由互斥事件、獨立事件的概率公式計算可得；（2）分X可能取值為0，5，10，15，20，結(jié)合互斥事件、獨立事件的概率公式求得概率得分布列，然后由期望公式計算出期望．【詳解】（1）由題意，乙得10分的基本事件有{乙搶到兩題且一道正確一道錯誤或沒有回答}、{甲，乙各搶到一題都回答正確}、｛甲搶到兩題都回答錯誤或沒有回答｝所以乙總得分為10分的概率．（2）由題意得，甲的總得分X可能取值為0，5，10，15，20；；；．分布列如下：X05101520P所以．20．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由已知條件推導(dǎo)出，，由此能求出橢圓的方程．（2）分別聯(lián)立直線與橢圓、橢圓的方程消元，可證明線段、中點相同，然后結(jié)合可得，由此可證明.【詳解】（1），直線的方程為，即，到直線的距離為，，又，解得，，橢圓的方程為：．（2）橢圓的3倍相似橢圓的方程為，設(shè)，，，各點坐標(biāo)依次為，，，，，，，，將代入橢圓方程，得：，，，，，將代入橢圓的方程得，，，，，線段，中點相同，，由可得，，所以，，化簡得，滿足式，，即點在定曲線上．21．(1)具體見解析(2)或【分析】（1）由題意，明確函數(shù)解析式，求導(dǎo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，討論導(dǎo)數(shù)零點的取值范圍，可得答案；（2）先研究時，函數(shù)的零點個數(shù)，再根據(jù)零點的定義，驗證不是零點，整理函數(shù)，化簡研究存在兩個不同的零點，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，可得答案.【詳解】（1），，，若，則令，解得，，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，令，得，①當(dāng)，即時，，解得或，在和上單調(diào)遞減，，解得，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，，解得或，在和上單調(diào)遞減，，解得，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時，恒成立，故在單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）.當(dāng)時，，，令，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增.由且，當(dāng)時，，，故恒成立，，由在上單調(diào)遞增，則只有一個零點；當(dāng)時，，此時不是的零點，時，，令，由題意可知，有兩個零點等價于在且時有兩個零點，，若，則，單調(diào)遞增，最多有一個零點，不符合題意；若，令，解得或，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)或時，，單調(diào)遞減，而，，當(dāng)時，此時，而，故有且只有一個零點，不合題意；當(dāng)即，此時在上無零點，故在上需有兩個不同的零點，故，即，此時當(dāng)時，，故當(dāng)時，．而當(dāng)時，，，故．由零點存在定理及的單調(diào)性可得此時有兩個不同的零點．當(dāng)，即，此時，故在上不存在零點．此時當(dāng)時，，當(dāng)時，，由零點存在定理及的單調(diào)性可得此時有兩個不同的零點．綜上，或．22．(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)加減消元法，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式進行求解即可；（2）根據(jù)直線參數(shù)方程參數(shù)的意義，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，直線的參