平行線分線段成比例定理、作第四比例項(xiàng)

------------------------------------數(shù)學(xué)驛站------------------------------------平行線分線段成比例定理、作第四比例項(xiàng)平行線分線段成比例定理、作第四比例項(xiàng)重點(diǎn)和難點(diǎn)：平形線分線段成比例定理、三角形一邊的平行線的性質(zhì)和判定一、知識(shí)點(diǎn)回顧1、定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。（這個(gè)定理其實(shí)就是平行線分線段成比例定理的推論的逆定理）2、定理：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。這兩個(gè)定理以及之前學(xué)過(guò)的平行線分線段成比例定理及其推論在應(yīng)用時(shí)都要注意“對(duì)應(yīng)”二字，所寫(xiě)出的比例式對(duì)應(yīng)位置一定要是對(duì)應(yīng)線段。例如：BC∥DE，不能將比例寫(xiě)成，因?yàn)檫@樣比例式的左邊和右邊是不對(duì)應(yīng)的。二、例題：已知線段a、b、c，求作a、b、c的第四比例項(xiàng)。作法：（1）、任意作∠MON。（2）在邊OM上順次截取OA=a，AB=b，在邊ON上截取OC=c。（3）連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC，交邊ON于點(diǎn)D則線段CD為所求。如圖，F(xiàn)是□ABCD的邊CD上一點(diǎn)，連結(jié)BF，并延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：證明：∵□ABCD∴CD∥AB，AD∥BC∴（平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例）同理可得∴說(shuō)明：本題是證明等積式的典型題。要證明，經(jīng)常要把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等式：和。我們通常把叫做中間比。而找中間比的常見(jiàn)的方法就是通過(guò)找到平行線，然后利用平行線分線段成比例定理和它的推論來(lái)構(gòu)造比例式。如圖，D、E、F分別為△ABC邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，。連結(jié)DE、CF。求證：DE和CF互相平分。分析：證明兩條線段互相平分，最好的方法就是證明這兩條線段是一個(gè)平行四邊形的對(duì)角線。因此可以連結(jié)EF、DF，然后證四邊形DCEF是平行四邊形。證明：連結(jié)EF、DF∵∴EF∥BC（如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。）同理DF∥AC∴四邊形DCEF是平行四邊形∴DE和CF互相平分說(shuō)明：證兩直線平行，通常都是通過(guò)證角的關(guān)系來(lái)得到，現(xiàn)在我們又有了新的方法——證對(duì)應(yīng)線段成比例。如圖，在△ABC中，E為中線AD上的一點(diǎn)，。連結(jié)BE，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F。求證AF=CF。證明：作DH∥AC，交BF于點(diǎn)H∴（平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。）∵D是BC的中點(diǎn)∴=∵同理可得∴∴AF=CF說(shuō)明：在證線段成比例這一類(lèi)問(wèn)題中，平行線是常見(jiàn)的輔助線。已知：如圖，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，連結(jié)AD，BC交于E，EF⊥BD于F。求證：證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD∴AB∥EF∥CD∴（平行于三角形一邊并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。）∴∴說(shuō)明：證明通常是把它轉(zhuǎn)化為證。三、訓(xùn)練題：1、將正方形ABCD的BC邊延長(zhǎng)到E，使CE=AC，AE與DC相交于點(diǎn)F，則CE：FC=（）A、2+ B、+1 C、－1 D、2－2、如圖所示，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，下列各式中不正確的是（）A、 B、C、 D、3、如圖，梯形ABCD，AD∥BC，AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥AD交AB、CD于點(diǎn)E、F，則（）A、OE=OF B、OE≠OF C、OE>OF D、OE<OF4、如圖，在□ABCD中，E在AD上，且4AE=5DE，CE交BD于F，則BF：DF=（）A、4：5 B、9：4 C、10：4 D、5：95、如圖，已知D為△ABC的邊AC的中點(diǎn)，EF過(guò)D交AB及BC延長(zhǎng)線于E、F。求證：6、如圖，已知在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=AD，ED和AB相交于F。求證：。7、如圖，在△ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使BD=CE，DE