2023屆陜西省安康市高三下學(xué)期第二次質(zhì)量聯(lián)考（二模）理科數(shù)學(xué)試題

安康市2023屆高三年級(jí)第二次質(zhì)量聯(lián)考試卷理科數(shù)學(xué)試卷滿分：150分 考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效。3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，則（）A．i B．－i C．1 D．－12．若集合，，則（）A． B． C． D．3．在矩形ABCD中，M是CD的中點(diǎn)，若，則（）A． B．1 C． D．24．已知x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C．2 D．5．已知函數(shù)的最小正周期為π，則下列說法不正確的是（）A．B．的單調(diào)遞增區(qū)間為，（）C．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱D．6．已知四面體的四個(gè)面均為直角三角形（如圖所示），則該四面體中異面直線AB與CD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．，，，，則a，b，c，d的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．下列命題正確的是（）A．“，”的否定為假命題B．若“，”為真命題，則C．若，，且，則D．的必要不充分條件是9．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)是F，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，且，過弦AB的中點(diǎn)P作的垂線，垂足為Q，則的最小值為（）A． B．3 C． D．10．宋代理學(xué)家周敦頤的《太極圖》和《太極圖說》是象數(shù)和義理結(jié)合的表達(dá)．《朱子語類》卷七五：“太極只是一個(gè)混淪底道理，里面包含陰陽、剛?cè)?、奇偶，無所不有”．太極圖（如下圖）將平衡美、對(duì)稱美體現(xiàn)的淋漓盡致．定義：對(duì)于函數(shù)，若存在圓C，使得的圖像能將圓C的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，則稱是圓C的太極函數(shù)．下列說法正確的是（）①對(duì)于任意一個(gè)圓，其太極函數(shù)有無數(shù)個(gè)②是的太極函數(shù)③太極函數(shù)的圖像必是中心對(duì)稱圖形④存在一個(gè)圓C，是它的太極函數(shù)A．①④ B．③④ C．①③ D．②③11．已知，則的值為（）A．0 B． C． D．12．已知恒成立，則λ的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．某服裝公司對(duì)1-5月份的服裝銷量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：月份編號(hào)x12345銷量y（萬件）50a142185227若y與x線性相關(guān)，其線性回歸方程為，則．14．已知雙曲線C：上有不同的三點(diǎn)A，B，P，且A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線PA，PB的斜率分別為，，且，則離心率e的取值范圍是．15．△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，，，則△ABC的面積為．16．已知定義在上的函數(shù)恒有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則a的取值范圍是．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求的前n項(xiàng)和．18．（12分）2023年的春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)以“欣欣向榮的新時(shí)代中國，日新月異的更美好生活”為主題，通過各種藝術(shù)形式，充分展現(xiàn)開心信心、頑強(qiáng)奮進(jìn)的主旋律．調(diào)查表明，觀眾對(duì)春晚的滿意度與節(jié)目?jī)?nèi)容、燈光舞美、明星陣容有極強(qiáng)的相關(guān)性．現(xiàn)將這三項(xiàng)的滿意度指標(biāo)分別記為a，b，c，并對(duì)它們進(jìn)行量化；0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示非常滿意．再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定觀眾對(duì)春晚的滿意程度：若，則表示非常滿意；表示基本滿意；表示不太滿意．為了了解某地區(qū)觀眾對(duì)今年春晚的滿意度，現(xiàn)從此地觀眾中隨機(jī)電話連線10人進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：人員編號(hào)12345678910滿意度指標(biāo)（1）在這10名被電話調(diào)查的人中任選2人，求這2人對(duì)燈光舞美的滿意度指標(biāo)不同的概率；（2）從滿意程度為“非常滿意”的被調(diào)查者中任選一人，其綜合指標(biāo)為m，從滿意程度不是“非常滿意”的被調(diào)查者中任選一人，其綜合指標(biāo)為n，記隨機(jī)變量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．（12分）如圖，在斜三棱柱中，O為AB中點(diǎn)底面ABC，，，，G，E分別在線段AC，上，且．（1）求證：GE∥面；（2）記面面，求二面角的余弦值．20．（12分）設(shè)橢圓C：過點(diǎn)，P為直線：上不同于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，線段OP的垂直平分線為，橢圓的兩焦點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)都在以P為圓心，為半徑的圓上．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，求四邊形AMBN的面積的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，恰好存在一條過原點(diǎn)的直線與，都相切，求b的值；（2）若，方程有兩個(gè)根，，（），求證：．（二）選考題，共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，A為曲線C上一點(diǎn)．（1）求A到直線l距離的最大值；（2）若點(diǎn)B為直線l與曲線C在第一象限的交點(diǎn)，且，求△AOB的面積．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知，，．（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（2）若對(duì)，，都有成立，求a的取值范圍．安康市2023屆高三年級(jí)第二次質(zhì)量聯(lián)考試卷理科數(shù)學(xué)參考答案1．C2．B3．C4．D5．B6．C7．A8．C9．A10．A11．D12．B13．9614．15．16．17．解：（1）由已知兩式相除得，解得或（舍）所以的通項(xiàng)公式為（2），兩式相減∴18．解：（1）10名被調(diào)查者中，燈光舞美的滿意度指標(biāo)為0的共2人，燈光舞美的滿意度指標(biāo)為1的共5人，燈光舞美滿意度指標(biāo)為2的共3人，記“從10名被電話調(diào)查的人中任選2人，這2人對(duì)燈光舞美的滿意度指標(biāo)不同”為事件A，∴（2）計(jì)算10名被調(diào)查者的綜合指標(biāo)，可列下表：人員編號(hào)12345678910綜合指標(biāo)4462453513其中滿意程度為“非常滿意”的共6名，則m的值可能為4，5，6；滿意程度不是“非常滿意”的共4名，則n的值可能為1，2，3，所以隨機(jī)變量X所有可能的取值為1，2，3，4，5．，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X12345P．19．解析：（1）過E作交于M，過G作交AB于N，∵G，E分別為AC，的三等分點(diǎn)，∴，，∴，，∴GNME是平行四邊形∴，面∴GE∥面．（2）證明：∵，O為AB中點(diǎn)，∵底面ABC，以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OB、所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐O-xyz如圖，則，，，，，．∴．∵，∴，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，又底面ABC的一個(gè)法向量為，設(shè)所求二面角的大小為θ，所以二面角的余弦值為20．解：（1）設(shè)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，∵O為線段的中點(diǎn)，∴P是的中點(diǎn)，∴是圓的直徑，∴，∴，由已知，所以橢圓C的方程為（2）設(shè)點(diǎn)，，其中．聯(lián)立．∴，．點(diǎn)A、B到直線的距離分別為，．∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴，∴，∴．21．解析：（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，，切線方程為∵，∴，所以切線方程為∵，，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，∴，∵，∵，∴（2）由已知有兩根，，，要證：，即證：．令，，∴，是方程的兩根，即，即證．令，∴．，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．∴，記，，，∵，∴，∴單調(diào)遞增，∴．∴．∵，∴，即．∵，，在上單調(diào)遞減，∴，即，得證．22．選修4-4．解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），∴直線l的普通方程為，又∵曲線C的極