2023屆陜西省西安市周至縣高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆陜西省西安市周至縣高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知全集，，，則集合（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)槿?，，，所以，；故選：C2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)，即可得答案.【詳解】復(fù)數(shù)滿足,即，所以，故復(fù)數(shù)的虛部是，故選：C3．若非零向量滿足，則必有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】非零向量滿足，應(yīng)用特殊值法可以判斷A，C，D選項(xiàng)；根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為0判斷B選項(xiàng)即可。【詳解】,故B選項(xiàng)正確;且滿足上式則,故A錯(cuò)誤；,故C錯(cuò)誤；,故D錯(cuò)誤；故選:B.4．已知數(shù)據(jù)是某市個(gè)普通職工的年收入，如果再加上世界首富的年收入，組成個(gè)數(shù)據(jù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．年收入的平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變B．年收入的平均數(shù)大大增加，中位數(shù)可能不變，方差變大C．年收入的平均數(shù)大大增加，中位數(shù)可能不變，方差變小D．年收入的平均數(shù)大大增加，中位數(shù)一定變大，方差可能不變【答案】B【分析】根據(jù)題意，由平均數(shù)，中位數(shù)以及方差的定義，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)是某市個(gè)普通職工的年收入，而是世界首富的年收入，則會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于，故這個(gè)數(shù)據(jù)中，年收入的平均數(shù)大大增加，中位數(shù)可能不變，也可能稍微變大，由于數(shù)據(jù)的集中程度也受到比較大的影響，而更加離散，則方差變大.故選:B5．“雙碳”戰(zhàn)略倡導(dǎo)綠色、環(huán)保、低碳的生活方式.2020年9月中國(guó)明確提出2030年實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年實(shí)現(xiàn)“碳中和”，為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，中國(guó)持續(xù)推進(jìn)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和能源結(jié)構(gòu)調(diào)整，大力發(fā)展可再生能源，新型動(dòng)力電池隨之也迎來(lái)了蓬勃發(fā)展機(jī)遇.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位:A·h），放電時(shí)間t（單位:h）與放電電流I（單位:A）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式，其中為Peukert常數(shù).在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流I=15A時(shí)，放電時(shí)間t=28h，則當(dāng)放電電流I=10A時(shí)，放電時(shí)間為（

）A．14h C．29h D．56h【答案】D【分析】根據(jù)給定的條件，列出方程，結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】，因?yàn)殡姵厝萘坎蛔儯瑒t有，即有，所以當(dāng)放電電流I=10A時(shí)，放電時(shí)間為56h.故選：D6．是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】解得或，故選：.7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，利用“五點(diǎn)法”作圖求出函數(shù)的解析式，再代入求值作答.【詳解】觀察函數(shù)圖象得，函數(shù)的周期，則，而，即，則有，因此，即有，所以.故選：C8．折扇在我國(guó)已有三千多年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫(huà)的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1），圖2為其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化圖，設(shè)扇面A，B間的圓弧長(zhǎng)為，A，B間的弦長(zhǎng)為d，圓弧所對(duì)的圓心角為（為弧度角），則?d和所滿足的恒等關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先用表示出d和，進(jìn)而求得的值.【詳解】過(guò)點(diǎn)O作于D，則，則，則故選：A9．如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（

）A．平面B．存在點(diǎn)，使平面C．存在點(diǎn)，使D．【答案】D【分析】當(dāng)與重合時(shí)，平面，即可判斷A；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得坐標(biāo)，由可知與不垂直，即可判斷B；若，則，列方程組求解可判斷C；由可判斷D.【詳解】當(dāng)與重合時(shí)，又平面，則平面，故A錯(cuò)誤；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，又，∴，，則，∴，∵，，∴與不垂直，而平面，則與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；，若，則，則，此方程無(wú)解，故不存在點(diǎn)，使，故C錯(cuò)誤；∵，，，∴，故D正確．故選：D．10．某學(xué)生在“撿起樹(shù)葉樹(shù)枝，凈化校園環(huán)境”的志愿活動(dòng)中拾到了三支小樹(shù)枝（視為三條線段），想要用它們作為三角形的三條高線制作一個(gè)三角形，經(jīng)測(cè)量，其長(zhǎng)度分別為、、，則（

）A．能作出一個(gè)銳角三角形 B．能作出一個(gè)直角三角形C．能作出一個(gè)鈍角三角形 D．不能作出這樣的三角形【答案】C【分析】計(jì)算出三角形三邊的比值，并計(jì)算出三角形中最大角的余弦值，可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)高分別為、、對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)分別為、、（單位：），則，設(shè)，則，，由三角形三邊關(guān)系可知，這樣的三角形存在，設(shè)該三角形的最大內(nèi)角為，則，則為鈍角，故能作出一個(gè)鈍角三角形.故選：C.11．已知是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（

）A．18 B．17 C．16 D．15【答案】B【分析】由拋物線的定義得出，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出這兩條切線的方程，再聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理以及拋物線的定義求解.【詳解】由拋物線的定義得，，易知點(diǎn)不在拋物線上，設(shè)切點(diǎn)、,拋物線的方程為：，拋物線在處的切線方程為，將代入可得，，同理：拋物線在處的切線方程為，直線的方程為，，故選：B12．已知，，，則（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)，的特征，要比較二者大小，可作差，由此構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性比較大小，同理，和比較，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性比較，的大小.【詳解】設(shè)，則，故單調(diào)遞減，故，由，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，故，即，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由于，故，即，故，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)的大小比較問(wèn)題，考查了構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解答的關(guān)鍵是明確解答思路，能根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，從而利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，比較大小.二、填空題13．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，則其漸近線方程為_(kāi)_________.【答案】【分析】根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)為4求出，再根據(jù)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線漸近線方程，即可求解.【詳解】根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)為4，知，解得，又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，因此該雙曲線的漸近線方程為，即.故答案為：14．若滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【分析】作出線性約束條件表示的可行域，根據(jù)線性規(guī)劃的幾何意義即可求得答案.【詳解】由題意作出約束條件表示的可行域（如圖陰影部分），平移直線，當(dāng)移動(dòng)后的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)z取最小值；聯(lián)立，解得，將代入可得，即的最小值為，故答案為：15．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有陽(yáng)馬，廣五尺，褒七尺，高八尺，問(wèn)積幾何？”其意思為：“現(xiàn)在有底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長(zhǎng)、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問(wèn)它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____平方尺．【答案】【解析】由題意可知，此陽(yáng)馬的外接球半徑等于以底面長(zhǎng)、寬分別為7尺和5尺，高為8尺的長(zhǎng)方體的外接球半徑，即半徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的一半,求出半徑，然后得出表面積.【詳解】根據(jù)該幾何體的特點(diǎn)可知，此陽(yáng)馬的外接球半徑等于以底面長(zhǎng)、寬分別為7尺和5尺，高為8尺的長(zhǎng)方體的外接球半徑，則外接球半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】常見(jiàn)的空間幾何體的外接球半徑計(jì)算方法如下：（1）長(zhǎng)方體的外接球半徑：(其中分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高)；（2）直棱柱的外接球半徑：(其中為棱柱的高，為直棱柱底面外接圓的半徑).16．函數(shù)是計(jì)算機(jī)程序中一個(gè)重要函數(shù)，它表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，已知函數(shù)，且，若的圖像上恰有3對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_________.【答案】##【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出函數(shù)的圖像，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像有3個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，列出不等式，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作出函數(shù)，且，的圖像，如圖所示，要使的圖像上恰有3對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)與的圖像恰有3個(gè)交點(diǎn)，則，解得，所以實(shí)數(shù)的最小值為，故答案為:【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答此題要根據(jù)函數(shù)解析式的特征作出圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方法，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，即可解決.三、解答題17．在①；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整后的題目.問(wèn)題:已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若__________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，利用與關(guān)系可推導(dǎo)得到；若選②，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程求得公差，進(jìn)而得到；若選③，利用等差數(shù)列求和公式可構(gòu)造方程求得公差，進(jìn)而利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得；（2）由（1）可得，采用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】（1）若選條件①，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；；若選條件②，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，；若選條件③，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.（2）由（1）得：，.18．某學(xué)校在假期安排了“垃圾分類知識(shí)普及實(shí)踐活動(dòng)”，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，并隨機(jī)抽取50名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將其分成以下6組：，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中a的值；(2)若將頻率視為概率，從全校成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用X表示這3人中成績(jī)?cè)谥械娜藬?shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，1【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各矩形面積之和等于1，即可求得a的值；（2）確定隨機(jī)變量X服從于二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算以及期望公式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得：，解得.（2）成績(jī)?cè)谂c的學(xué)生比例為，從全校成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生中抽取1人，此人成績(jī)?cè)诘母怕蕿?，抽?人，成績(jī)?cè)谥械娜藬?shù)為，，則，的分布列如下：0123.19．在如圖所示的多面體中，平面，四邊形為矩形.(1)求證：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）由線面平行的判定證平面、平面，再由面面平行的判定證結(jié)論；（2）證兩兩相互垂直，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系并求面法向量、，應(yīng)用向量夾角坐標(biāo)表示求線面角.【詳解】（1）由平面平面，所以平面，四邊形為矩形，則，平面平面，所以平面，又平面平面，平面平面.（2）由平面，平面，則，又，所以兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，即直線與平面所成角的正弦值為.20．如圖，已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為.設(shè)為原點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn).當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率以及焦距即可求解方程，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程得到韋達(dá)定理，利用向量的坐標(biāo)勻速即可代入坐標(biāo)求解.【詳解】（1）由題意得橢圓的半焦距，又，則，，橢圓的方程為.（2）由（1）得橢圓的方程為，由題意得直線的方程為，即，聯(lián)立消去得，設(shè)，則.四邊形是平行四邊形，設(shè)，則，即，，又，即，解得21．已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求出的最小值為，討論最小值與0的大小結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可解決問(wèn)題；（2）由（1）可得，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則與2的大小關(guān)系，等價(jià)于與的大小關(guān)系，即與的大小關(guān)系，又注意到，故利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以.當(dāng)，即時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.當(dāng)，即時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.當(dāng)，即時(shí)，注意到，.下面證明.設(shè)，所以，由解得；由解得.則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，即.所以，所以.因此，，，使得，所以此時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.綜上，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.（2）證明：（證法一）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且.令，，則.當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.所以.因?yàn)?，所?又由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故.（證法二）由，得則.由對(duì)數(shù)平均不等式，得，所以，所以.又，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及討論函數(shù)零點(diǎn)與雙變量問(wèn)題，難度較大.（1）討論零點(diǎn)常利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合，本題采用第一種方法，難點(diǎn)在于取點(diǎn)；（2）該問(wèn)為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，常利用構(gòu)造差函數(shù)或利用消元將雙變量變?yōu)閱巫兞?22．已知圓C的極坐標(biāo)方程為，直線l的方程為.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；（2）直線l與圓C的交點(diǎn)為A，B，求三角形ABC的面積.【答案】（1），2；（2）2.【分析】（1）將圓C的極坐標(biāo)方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；（2）利用極經(jīng)的應(yīng)用和