連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四為了了解中職學(xué)校女學(xué)生的身體發(fā)育情況，在某校16歲的女生中，選出60名學(xué)生進(jìn)行身高測量，結(jié)果如下（單位：cm）

167154159166169159156166162158159156166160164160157151157161158158153158164158163158153157162162159154165166157151146151158160165158163163162161154165162162159157159149164168159153第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四下面根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖．

第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四從頻率直方圖看出，該校16歲女生的身高的分布狀況具有“中間高、兩頭低”的特點(diǎn)，即身高在157.5cm至160.5cm的人數(shù)最多，往左右兩邊區(qū)間內(nèi)的人數(shù)越少，而且左右兩邊近似對(duì)稱．樣本容量越大，所分組數(shù)會(huì)相應(yīng)越多，頻率分布直方圖中的小矩形就變窄．設(shè)想如果樣本容量無限增大，且分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖所有的小矩形的上端會(huì)無限地接近于一條光滑曲線，我們把這條曲線叫做概率密度曲線（如圖）．第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四概率密度曲線精確地反映了隨機(jī)變量在各個(gè)范圍內(nèi)取值的規(guī)律．以這條曲線為圖像的函數(shù)y＝f（x）叫做的概率密度函數(shù)．如圖，在區(qū)間（a，b）內(nèi)取值的概率恰好為圖中陰影部分的面積．在區(qū)間（-∞，a）取值的概率恰好是位于曲線與x軸之間，直線x＝a左側(cè)部分圖形的面積．第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四一、定義

如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)

，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度函數(shù)或密度。二、性質(zhì)

(1)f(x)≥01x§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四二、性質(zhì)(4)在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處有：

(6)連續(xù)型隨機(jī)變量取任何實(shí)數(shù)值a的概率等于0.由性質(zhì)(6)可得：

(5)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)不僅右連續(xù)，而且是連續(xù)函數(shù)。第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四連續(xù)型密度函數(shù)

X~p(x)

2.4.P(X=a)=0離散型分布列:pn

=P(X=xn)

2.F(x)=

3.F(a+0)=F(a);P(a<Xb)=F(b)F(a).4.點(diǎn)點(diǎn)計(jì)較5.F(x)為階梯函數(shù)。

5.F(x)為連續(xù)函數(shù)。

F(a0)=F(a).

F(a0)

F(a).第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

例1

設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

(x)=Ae-|x|（-<x<+

）試求:(1)常數(shù)A

；(2)P{0<X<2}；(3)分布函數(shù)F(x).解

(1)由得：故：A=0.5；

(2)第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

(3)

當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)x≥0時(shí),即X的分布函數(shù)為第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)1設(shè)

X~求(1)常數(shù)k.(2)F(x).

(1)k=3.

(2)解：第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)2設(shè)

X~求

F(x).解：第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)X與Y同分布，X的密度為已知事件A={X>a}和B={Y>a}獨(dú)立，解:因?yàn)镻(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)從中解得且P(AB)=3/4,求常數(shù)a.且由A、B獨(dú)立，得=2P(A)[P(A)]2=3/4從中解得:P(A)=1/2,由此得0<a<2,因此1/2=P(A)=P(X>a)練習(xí)3第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四1、均勻分布如果隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布。記為X～U[a,b]可知X落在[a,b]內(nèi)任一小區(qū)間[c,d]內(nèi)的概率與該小區(qū)間的長度成正比，而與該小區(qū)間的位置無關(guān)．2.3.2常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四分布函數(shù)為：xf(x)abxF(x)ba第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

X~U(2,5).現(xiàn)在對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率.解：記A={X>3},

則P(A)=P(X>3)=2/3設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測中A出現(xiàn)的次數(shù),則Y~B(3,2/3)，所求概率為

P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例3第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四2.指數(shù)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布。記作X~E(θ).其分布函數(shù)為第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為其中λ＞0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。記作X~E(λ).分布函數(shù)為1xF(x)0xf(x)0指數(shù)分布的另一種表示形式第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四指數(shù)分布常用來作各種“壽命”分布的近似，如電子元件的壽命；動(dòng)物的壽命；電話問題中的通話時(shí)間都常假定服從指數(shù)分布．特別：指數(shù)分布具有無憶性，即：P(X>s+t|X>s)=P(X>t)第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

例4

假設(shè)某種熱水器首次發(fā)生故障的時(shí)間X（單位：h）服從指數(shù)分布，其概率密度為（1）該熱水器在100h內(nèi)需要維修的概率是多少？（2）該熱水器能正常使用600h以上的概率是多少？解（1）

（2）

第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.

正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯(Gauss)加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛

德莫佛（DeMoivre)最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.3.正態(tài)分布第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四1.定義若X的概率密度為分布函數(shù)為：F(x)x其中μ,σ(σ>0)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布。記作X～N（μ,σ2）第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四2.正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的圖形的性質(zhì)(1)

f(x)關(guān)于是對(duì)稱的.f(x)x0μ在點(diǎn)p(x)取得最大值.(2)若固定,改變,(3)若固定,改變,σ小σ大f(x)左右移動(dòng),

形狀保持不變.越大曲線越平坦;越小曲線越陡峭.第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四(x)x0xx標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)記為

(x),分布函數(shù)記為

(x).第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四證明：第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四3.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表計(jì)算概率

·4)P{|X|≥1.54}=1-P{|X|≤1.54}=1-0.8764=0.1236例5

設(shè)X～N(0,1),計(jì)算P{X≤2.35}；

P{-1.64≤X＜0.82}；P{|X|≤1.54}；P{|X|≥1.54}1）P{X≤2.35}=Φ(2.35)=0.99062）P{-1.64≤X＜0.82}=Φ(0.82)-Φ(-1.64)

=Φ(0.82)-[1-Φ(1.64)]=0.74343)P{|X|≤1.54}=Φ(1.54)-Φ(-1.54)=2Φ(1.54)-1=0.8764第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四例6

設(shè)隨機(jī)變量

求解例7（3原則）設(shè)X~N(,2)，求

P{|X-|﹤},P{|X-|﹤2},P{|X-|﹤3}，解

P{|X―μ|＜σ}=P{μ―σ＜X＜μ+σ}第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

在一次試驗(yàn)中，正態(tài)分布的隨機(jī)變量X落在以為中心，3為半徑的區(qū)間(-3,+3)內(nèi)的概率相當(dāng)大(0.9974)，即X幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi)，或者說在一般情形下，X在一次試驗(yàn)中落在(-3,+3)以外的概率可以忽略不計(jì)。在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}的值。如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值±3作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào)，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

設(shè)X~N(,2),P(X5)=0.045,

P(X3)=0.618,求及.例8

=1.76=4解:

第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

例9

某廠生產(chǎn)罐裝咖啡，每罐標(biāo)準(zhǔn)重量為0.5kg，長期生產(chǎn)實(shí)踐表明自動(dòng)包裝機(jī)包裝的每罐咖啡的重量X服從參數(shù)

=0.05kg的正態(tài)分布.為了使重量少于0.5kg的罐頭數(shù)不超過10%，應(yīng)把自動(dòng)包裝線所控制的均值參數(shù)調(diào)節(jié)到什么位置上？解由題設(shè)知假如把自動(dòng)包裝線控制的值調(diào)節(jié)到0.5kg位置，則有第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四即重量少于0.5kg的罐頭占全部罐頭數(shù)的50%，這顯然不符合要求.所以應(yīng)該把自動(dòng)包裝線控制的值調(diào)到比0.5kg大一些的位置，使得查附表1可得

即應(yīng)將調(diào)到不小于0.564