第四章大數(shù)定律與中心極限定理

1.特征函數(shù)的定義(t)E(eitX)it.iteitxpx(x)dx,eitxcostxsintxXt的.2.特征函數(shù)的性質(zhì)(1)(t)(0)1;(2)(t)(t),其中(t)表示(t)的共軛;(4)若X與Y是相互獨立的隨機(jī)變量,則XY(t)X(t)Y(t);EXlXtlkl,有(k)(0)ikE(Xk);(6)一致連續(xù)性特征函數(shù)(t)在(,)上一致連續(xù)(7)非負(fù)定性特征函數(shù)(t)是非負(fù)定的,即對任意正整數(shù)n,及n個實數(shù)nnt1,t2,,tn和n個復(fù)數(shù)z1,z2,zn,有(tktj)zkzj0;k1j1任意兩個點x1x2,有22T2TitFx2)F(x20)F(x1)F(x10)lim1Teitx22T2Tit特別對F(x)的任意兩個連續(xù)點x1x2,有kk(10)若連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x),特征函數(shù)為(t).如果則PXa)=1伽瑪分布Ga(,)2分布(t)dteitxe2q(t)expit(t)et22t(t)(t)(1it)(t)(1it)(t)(12it)texp(eitppt22t21n2習(xí)題與解答4.11.設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列如下,試求X的特征函數(shù).X0123P0.40.30.20.12.設(shè)離散變量X服從幾何分布解記q=1-p,則ek1kpeitK1(eitq'(t)1qeit1iitit(1q)22p(1q)223．設(shè)離散隨機(jī)變量X服從巴斯卡分布P(X1pq)1q12qp12qpprrXXj(t)1X(t)(1)F1(x)axeatdt(a>0);2解(1)因為此分布的密度函數(shù)為a2a2itxeeedxe020,并由特征函數(shù)求其數(shù)學(xué)期望和方差.ta(2)F2(x)ax212dt(ta2p1(x)aeax,x.2edxa2aa2a020aeae=acostxeaxdx0(t)ia2)2a2)22222.222.i2(2)因為此分布的密度函數(shù)為p2(x)a1a22,22,x.x2(x)a2a又因為當(dāng)t>0時,有(見菲赫金哥爾茨《微積分學(xué)教程》第二卷第三分冊或查0xa2a所以當(dāng)t>0時,有0xa2a所以當(dāng)t>0時,有2(t)2aeateat2a.而當(dāng)t<0時,有2(t)2(t)eat,所以2(t)2aatatetxa2(x)a2eitx2dxa2xa2(x)a2eitx2dxa2iRes2eitz2,zaixazaa2ii2aieXN2),試用特征函數(shù)的方法求X的3階及4階中心矩.解因為正態(tài)分布N(,2)的特征函數(shù)為(t)eit2t2/2,所以'(0)i,E(X)'(0),''(0)'''(0)i426232i3224'''(0)4i422333,422463.6.試用特征函數(shù)的方法證明二項分布的可加性：若X~b(n,p),Y~b(m,p),證記q=1-p,因為X(t)(peitq)n,Y(t)(peitq)m,XY(t)X(t)Y(t)(peitq)nm,這正是二項分布b(n+m,p)的特征函數(shù),由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P).7.試用特征函數(shù)的方法證明泊松分布的可加性：若X~P(1),Y~P(2),且X證：因為X(t)e1(eit1),Y(t)e2(eit1),所以由X與Y獨立性得(2)eit1)XY(t)X(t)Y(t)e,證因為X(t)(1it)a1,Y(t)(1it)a2,所以由X與Y的獨立性得XY(t)X(t)Y(t)(1it)(a1a2),XY~Ga(a1a2,).9.試用特征函數(shù)的方法證明2分布的可加性：若X~2(n),Y~2(m),且XX1(t)X2(t)nm證因為X(t)(12it)2,Y(t)(12it)2,所以由X與Ynm(nm)XY(t)X(t)Y(t)(12it)2,這正是2分布2(n+m)的特征函數(shù),由唯一性定理知XY~2(nm).XiXiExpin明:nYnXi~Ga(n,).i1證因為Xi(t)(1it)1,所以由諸Xi的相互獨立性得Yn的特征函數(shù)為Yn(t)(1it)n,(x)其中參數(shù)0,,常記為X(x)其中參數(shù)0,,常記為X~Ch(,),(1)試證X的特征函數(shù)為expitt,且利用此結(jié)果證明柯西分布的可加YXXY(t)X(t)Y(t),但是X與不獨立；n證證(1)因為YX的密度函數(shù)為p(x)122,x,由本YX(t)Y(t)expitY(t)expitt.下證柯西分布的可加性:設(shè)Xi(i1,2)服從參數(shù)為i,i的柯西分布,其密度22XX(t)2,2,xi12t(12)t,這正是參數(shù)為12,12柯西分布的特征函數(shù).所以由唯一性定理知,X1X2服從參數(shù)為12,12的柯西分布.(2)當(dāng)0,1時有X(t)expt,Y(t)expt,所以exp2texptexptX(t)Y(t).Y(3)設(shè)Xi都服從參數(shù)為,的柯西分布,則特征函數(shù)為(t)expitt.ni1ni1由相互獨立性得,1nXi的特征函數(shù)為(t/n)nexpittni1ni1X1具有相同的特征函數(shù),由唯一性定理知它們具有相同的分布.件是它的特征函數(shù)是實的偶函數(shù).X(t)X(t)或X(t)X(t),這表明X與-X有相同的特征函數(shù),從而X與-XXpxpxpxpx于原點是________特征函數(shù).由于-X的特征函數(shù)為X(t),所以X(t)X(t)=X(t),故X(t)________ni1ni1解：因為Xj的特征函數(shù)為j(t)iit征函數(shù)為X(t)(i(t/n))neit2t2/(2n)這是正態(tài)分布N(,2/n)的特征函數(shù),所nni1以由唯一性定理知1Xi~N(,2nni1n2．伯努利大數(shù)定律設(shè)n為n重伯努利試驗中事件A的次數(shù),p為每次試3．切比雪夫大數(shù)定律設(shè)Xn為一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,若每4．馬爾可夫大數(shù)定律對隨機(jī)變量序列Xn,若有12Var(nX(n)則Xn服從大數(shù)定律.上式被稱為馬爾可夫條件.Xn為一獨立同分布的隨機(jī)變量序列,若Xi的數(shù)學(xué)習(xí)題與解答4.21.設(shè)Xk為獨立隨機(jī)變量序列,且P(Xklnk)1,k1,2,.證明2Xk服從大數(shù)定律.nnVar(Xk)lnknlnn,由此得馬爾可夫條件k1k112Var(n12Var(nXk)lnn0(n)由馬爾可夫大數(shù)定律知Xn服從大數(shù)定律.2.設(shè)Xk為獨立隨機(jī)變量序列,且2222nn證明Xk服從大數(shù)定律.nk1nVarXk)nk1n由馬爾可夫大數(shù)定律知{Xn}服從大數(shù)定律.3.設(shè){Xn}為獨立隨機(jī)變量序列,且nnPX1=0)=1,P(Xn=n)=1,P(Xn=0)=1-2,nn證明{Xn}服從大數(shù)定律.利試驗中,事件A出現(xiàn)的概率為p,令1,若在第n次及第n證明{Xn}服從大數(shù)定律.證{Xn}為同分布隨機(jī)變量序列,其共同分布為Xn01P1-p2p2且E(Xn)=E(X)=p2,從而Var(Xn)=p2(1-p2)1,又當(dāng)ij2時,Xi與Xj獨立,所以n2i1ni1n2i1ni1n1nVar(Xi)+2Cov(Xi,Xi1)].i1inni1nnni1n即馬爾可夫條件成立,故{Xn}服從大數(shù)定律.5.設(shè){Xn}為獨立的隨機(jī)變量序列,且證明(Xn)服從大數(shù)定律.由馬爾可夫大數(shù)定律可知{Xn}服從大數(shù)定律.Xn序列,其共同的分布函數(shù)為2aF(x)=1+1arctanx,-2a解此為柯西分布的分布函數(shù),而柯西分布的數(shù)學(xué)期望不存在.因為辛欽大數(shù)定律要求數(shù)學(xué)期望存在,所以辛欽大數(shù)大數(shù)定律對此隨機(jī)變量序列不適用.7.設(shè){Xn}為獨立同分布的隨機(jī)變量序列,其共同分布為2k解因為Ek解因為E(Xn)k1k22kk1k226即E(Xn)存在,所以由辛欽大數(shù)定律知{Xn}服從大數(shù)定律.Xn序列,其共同分布為12k2c2k2k21lg2k,解因為E(Xn)kk2kc1dx1dx1lnx21{Xn}服從大數(shù)定律.9.設(shè){Xn}為獨立隨機(jī)變量序列,其中Xn服從參數(shù)為n的泊松分布,試問解因為ni1n所以由馬爾可夫大數(shù)定律知{Xn}服從大數(shù)定律.Varni1n所以由馬爾可夫大數(shù)定律知{Xn}服從大數(shù)定律.Xn為獨立的隨機(jī)變量序列,證明：若諸Xn的方差一致有界,即在ni1ni1ni1ni1n所以由馬爾可夫大數(shù)定律知Xn服從大數(shù)定律.11．(伯恩斯坦大數(shù)定律)設(shè)Xn是方差一致有界的隨機(jī)變量序列,且當(dāng)證記VarXn=2,CorrXk,Xl=0,所以對任意的0,存在M>0,當(dāng)kVarn2ni11=2ni1121222kknkk21n21klM2M1nklM22M122=2nn.aa所以由馬爾可夫大數(shù)定律知{Xn}服從大數(shù)定律.12．(格涅堅科大數(shù)定律)設(shè){Xn}是隨機(jī)變量序列,若記nni1ni1YnXi,ani1ni1則{Xn}服從大數(shù)定律的充要條件是nnEYnn1Yn22證上,f(t)先證充分性.任對>0,注意到2t1t22t1tyan22,2222nyt>0時,ftt21t2是增函數(shù)(事實時,有.12212222122n122dFYny22dFYn122EYnan2.1Ynan2122an2nnPYnan=0,故{Xn}服從大t得0EYnan22yan22dFn(x)1Ynan1yan|yan|1yan2|yan|1yan2dFn(x)|yan|1yan2dFn(x)212PYnan+1PYnan2,EYnan21Ynan2n1ni1i2EXn2n1nanan1n.nninni1iaiai1ini1iXj=j1j112nj1ajijiji2n2ajijiji22=2nnj1jnaiaij2c22c0n.所以由馬爾可夫大數(shù)定律知anYn服從大數(shù)定律.Xn布的隨機(jī)變量序列,方差存在,令Yn律.證與上一題一樣,不妨設(shè)EXn0,則VarXnEXccnk1,因而nk,k1,因而ikaa(nk1)1n2nn2c22n1n2nn2c22n2i1nk1ik6c2n(n1)(2nn26nXi又設(shè)aXi又設(shè)ananYn服從大數(shù)定2n2.對任意2nxx所以由馬爾可夫大數(shù)定律知anYn服從大數(shù)定律.n果SnXi,試證：隨機(jī)變序列{Sn}不服從大數(shù)定律.i1ini1i2nninnn2233i1i1nk1kVar(Tn)k122323Xkk1ik6(nk1kk22n33n2n62nWP(A)n22+P(A)2n3?n22n32?2n32由的任意性,不妨取2223,則當(dāng)n充分大時,有Var(Tn)(2n33),與前面VarTn(2n3)3的結(jié)果相矛盾,所以{Sn}不服從大數(shù)定律.J1J1e0e11x1xene-e1f2(y)=1-1(e-1+2y-ee-e1則0f2(y).1,此時有J2=蝌-1exdx=S00f2(y)dy+2e-1,其中S0=2(e-e-1).J2=S0J2=S0+2e.nfxiJJSnf(xi)2e-XX1.依概率收斂設(shè){Xn}為一隨機(jī)變量序列,X為一隨機(jī)變量.如果對任意的>0,X2.依概率收斂與服從大數(shù)定律之間的關(guān)系設(shè){Xn}為一隨機(jī)變量序列,記Yn=1Xi,E(Yn)=1E(Xi),則{Xn}服從大數(shù)定律等價于Yn-E(Yn)井P0.3.依概率收斂的四則運(yùn)算性質(zhì)如果Xn揪P?X,Yn揪P?Y則有(1)Xn本YnP井X?Y;4.按分步收斂,弱收斂設(shè)Fnx是隨機(jī)變量序列Xn的分布函數(shù)列,Fx為X的分布函數(shù).若對Fx的任一連續(xù)點x,都有FnxFx,則稱Fnx弱FxFnxWFxXnX作XnLX.nPXXnLXXXnPcXnLcc.6.判斷弱收斂的方法分步函數(shù)列Fnx弱收斂于分布收斂Fx的充要條件是Fnx的特征函數(shù)序列nt收斂于Fx的特征函數(shù)t習(xí)題與解答4.3證對任意的0,有0XYXXn/2XnY/2,0PXYPXXn/2PXnY/20,PXYPk1kXY1kk1XY1k0,.(1)XnYn(2)XnYnPPPPn0nPXnXPXPXn/2PYYnYYn0PY可得:YnPXnYnXY成立.P2PX2.MM1),使有PXnnPXX1Pnn/MX2XMX2XMXnX2XMXnX1XnX1X12222XPXnXXnXnnnnnXXMn/2,Y,所以又有由,的任意性知n3．如果nXnnPXX/MPXXnnXnYnXYnPXYXY22XY,Y成立.PgXnPmaixi,則由上一題知有i0igX.gM有PXM,又選取M1PnXX1n2,有限區(qū)間上還可以是一致的,因為存在m次多項式gm(x),使得當(dāng)-(M+1)xM+1時,有對取定的m次多項式gm(x),因為gm(Xn)Pgm(X),所以存在N2,使當(dāng)nN2時,有Pgm(Xn)gm(X)/3.又因為xXMXnM1)XMXM1)M+PXnM13,且從而有XXMMXMM由,的任意性即知g(Xn)Pg(X),結(jié)論得證.cXng(Xn)Pg(a)ca.0,x1){D(x+n)};(2){D(x+1/n)};(3){D(0,0.n2,0xn1xnxnFx00x⑵D(x+1)=nxxDxDx1D(x)0n)n10xx0x (3)D(x-1)=x0G(x)01n1nD(x)H(x)致收斂于分布函數(shù)F(x).時，有F(x)<。Mx1x2xkM為統(tǒng)一起見，再令x0,xk1則有：F(xi)Fn(xi)F(xi)0ik1(2)(1)(4)(1)kitnnnn,nnnnnn(t)(qnpnnn11(11(eit1)1(e1)e(eit1)(n).a=0時顯然，不妨設(shè)a>0，設(shè)aX,X,aXn,Xn的d.f分別為FaX(x),FX(x),FaXnFaXxPaXxPXFX),同樣有FaXn(x)FXn()FaXn(x)FaXn(x)mFXn()xa (2)再證明aXnbnPXnLXanaXn(anLXaXbPPa)0,(ana)XnbnbLXnLXYnPa,試證XnYnLXa.n,an,aYnaFZn(x)P(XnYnx)PXnxaYnaPYna)FZn(x)FXn(xa)XnLXFXn(x)FX(x)xC(FX)xaxaY,nxxaY,nnxa,Yna)Y,nY)})FZn(x)FXn(xa)P(Yna)FX(xa)(2)由(1),(2)得：對任意的>0,nFX(xa)limn11如果XnLFZnxFX(xa)xa)P(Xax)FXa(x)dXadPPPPxFxaW1-F(b)<,F(-a)<.1-Fn(b)<2,Fn(-a)<2.而P0,故存在N2,使當(dāng)nN2時,有P{Yn/M}.P({XnYn}{a}[{aXnXnb}{Ynb}{YnMXnYn}{aXnb}{Yn/M},所以有P({XnYn}{aXnb})P{(aXnb)}=P({Xna}{Xnb})Fn(a)[1Fn(b)]4,P({XnYn}{Yn/M},PXnYnI,Pa不妨設(shè)a>0.對任意的0a,當(dāng)Yna時,有Ynaa2a(Yna)a2a,因而YnaYnaa2aa2a.n時,有10PYnpYn2aPYna0PpYn2aPYna0aaPP1Yn1Yn1aLXaP0.a因而由于本節(jié)第LXLapnx1n2x2,x時,有(1n2x2)a證因為當(dāng)0x時,有PYnPPiiiinxPnxPXinnx01000n0,xa.令YnPa.PaFx10,xa,xnPXii1x1FxnenxaePYnaPYnaen0,a證對任意的0,0,存在充分大的M,使有FMFM1.對取定的M,可選取正整數(shù)k和N,使有1/k,N/kM.對取定的N,存在h>0,使有h/22N1,對取定的h,因為FnxFx關(guān)于是一致的(見本節(jié)第七題),因FnxFxh.PFnFPFnPFnFPFnFPiNNFnFiNNPFnFnFFiNk2kk2kNFiiNk2kk2kNFi1Fi12hiNk2kk2kFFk2kk2kN1N12FFk2kk2k由,的任意性知Fn1PF1.結(jié)論得證.17．設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn}獨立分布,數(shù)學(xué)期望,方差均存在,且EXn.nn1k1.nnn1k1證已知Exn,記VarXn2,令Ynnnn1k12nnn1k1nn1k14n2242nk242VarYnn2n12k1n12k1n2n1,2PYn1240,n.nk1EXnVarXnnXPnk1證這時X仍為獨立同分布,且EXVarXn2,由辛欽大書定22Pni1ni1XnXi,Sn2.n1i12X.X證不妨設(shè)EXn0,否則令XnXnEXn,并以Xn代替Xn,這時2,S均保持不變.221n21n2nk12n2n2k1k12所以由本節(jié)第2題知XnPP1n1nni1EXni1p知pnp2212np2212X~Ga(,),證明：當(dāng)時,隨機(jī)變量(X-)/按分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量.證令Y=(X)/lnY(t)=-it,則由X的特征函數(shù)X(t)(1it/)可得Y(t)eit(1it),)展開為級數(shù)形式,可得2=-t2=-2t2/2t2t2/2t2/223t2t23t2t3tt332tt3323231.中心極限定理研究獨立隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的命題.2.林德貝爾-勒維中心極限定理設(shè){Xn}是獨立同分布的隨機(jī)變量序列,且YnX1X2Xnn.則對任意實數(shù)y,有2limP(2limP(yny)(y)1ye2dt.t3.二項分布的正態(tài)近似驗中出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),記n為n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),且記**則對任意實數(shù)y,有yt2P(Yy)(y)e2dt(2)近似中的修正因為二項分布是離散分布,而正態(tài)分布是連續(xù)分布,所以用P(k14.三類近似計算問題k2)P(k1k2k=k0.5npk10.5npnppnpp)iiiiXn}獨立隨機(jī)變量序列,且E(Xi)=ini12122232n.n0,稱nlim2in1xiBn(xi)2pi(x)dx0.為林德貝格條件.(2)林德貝格中心極限定理設(shè)獨立隨機(jī)變量序列{Xn}滿足林德貝格條件,則對任意的x,有nlimP(Xi)x=xetdt(3)假如獨立隨機(jī)變量序列{Xn}具有同分布和方差有限條件,則必定滿足林限定理的特例.(4)李雅普若夫中心極限定理設(shè){Xn}為獨立隨機(jī)變量序列,若存在0,n2n2Bn則對任意的x,有nnnBnx=1202xt2習(xí)題與解答4.41.某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，以X表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)。(2)求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。(30.51000.2)(13.51000.2)1000.20.81000.20.8(2.625)(1.625)(2.625)1(1.625)0.9956510.9480.9437.這表明；被盜索賠戶在14與30戶之間的概率近似為0.9437。2．某電子計算機(jī)主機(jī)有100個終端，每個終端有80%的時間被使用。若各15個終端空閑的概率。1000.80.2這表明至少有15個終端空閑的概率近似為0.9155。3．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m，現(xiàn)叢這批木柱Xm則X~b(100,0.8)。利用1000.80.2這表明至少有30根木柱短于3m的概率近似為0.0088。為XXi,試求概率P(3X4).100i1解由題意可得EXi127利用林德貝格一列維中心極限定理,可得P(3X4)≈43.57/240這表明：擲100次骰子點數(shù)之平均在3與4之間的概率近似為0.9966,很接近于XXXU均為XXi,試求概率P(2X3).48i1Var(X)25.利用林德貝格一列維中心極限定理,可得1248P(2X3)32.5/2432.522.5(5/24)2(2.41)22.56．某汽車銷售點每天出售的汽車數(shù)服從參數(shù)為2的泊松分布.若一年365天都經(jīng)營汽車銷售,且每天出售的汽車數(shù)是相互獨立的,求一年中售出700輛解記Xi為第i天出售的汽車輛數(shù),則YX1X2X365為一年的總銷量,P(Y700)1P(Y700)1)1(1.11)0.8665.這表明：該銷售點一年售出700輛以上汽車的概率近似為0.8665.7．某餐廳每天接待400名顧客,設(shè)每位顧客的消費額(元)服從(20,100)上的(2)該餐廳每天的營業(yè)額在平均營業(yè)額760員內(nèi)的概率.0額為Y=Xi,i10(1)該餐廳每天的平均營業(yè)額為E(Y)=E(Xi)=40060=24000(元).i1i-列維中心極限定理,可得1500i-1=2(1.645)-1=0.90.這表明：該餐廳每天營業(yè)額在23240到24760元之間的概率近似為0.90.服從(0,10)內(nèi)的均勻分布,試求Pui300.i15050EUiVarUiEUi=250,Var(Ui)=1250/3.利i1i1Ui1300250,0.5)上的均勻分布.(2)最多幾個數(shù)加在一起可使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于ii112PXi152-2=2-2(1.3416)=0.1802.i1125nPXi100.90,i1i心極限定理,可改寫為210.9,或203nii203203n203