《空間兩條直線的位置關(guān)系》示范課教學設(shè)計【高中數(shù)學教案】

《空間兩條直線的位置關(guān)系》教學設(shè)計◆◆ 教學目標理解并掌握平行線的傳遞性和等角定理，并能解決有關(guān)問題；了解異面直線的畫法和判斷，并會判斷異面直線；了解空間四邊形的定義和有關(guān)概念◆ ◆ 教學重難點◆ 教學重點：掌握空間中兩條直線平行的判定與性質(zhì)．教學難點：理解異面直線的概念及等角定理，并會應(yīng)用．◆ ◆ 課前準備PPT課件．◆◆ 教學過程一、問題導入前面我們已經(jīng)從長方體中總結(jié)出了空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并借助其它幾何體進了理解，這里我們將繼續(xù)學習這些內(nèi)容，并了解判斷空間中平行關(guān)系的方法，熟悉空間中平行關(guān)系的性質(zhì).同初中幾何一樣，我們?nèi)匀话言谕黄矫鎯?nèi)不相交的兩條直線成為平行直線.【新知探究】問題1：利用生活中的實物進行演示或觀察幾何體，思考下列問題1.初中所學的結(jié)論，“過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行”，在空間中是否仍成立？2.初中所學的結(jié)論在“同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行”，如果去掉條件“在同一平面內(nèi)”，結(jié)論是否仍成立？通過前面幾何體的學習，直線和平面有哪幾種位置關(guān)系？追問：平行公理內(nèi)容是什么？平行線的傳遞性如何表述？師生活動：師生互動，總結(jié)結(jié)論．預(yù)設(shè)的答案：不難看出，嘗試與發(fā)現(xiàn)中的兩個結(jié)論在空間中仍成立，即：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.（1）平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．（2）平行線的傳遞性文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．這一性質(zhì)稱為空間平行線的傳遞性．符號表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))?b∥c.設(shè)計意圖：通過對初中平面幾何基本結(jié)論的回顧與拓展，通過觀察，推理論證，獲得平行公理．發(fā)展學生數(shù)學抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)．問題2：如圖所示，等角定理是說，在空間中，如果QUOTEAC∥A'C',AB∥A=如果QUOTE∠BAC與QUOTE∠B'A'C'都在同一平面內(nèi)，你能證明這個結(jié)論嗎？如果這兩個角不在同一個平面內(nèi)呢？師生活動：師生互動，總結(jié)結(jié)論．預(yù)設(shè)的答案：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個角相等．設(shè)計意圖：通過觀察，推理論證，獲得等角定理，發(fā)展學生數(shù)學抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)．問題3：結(jié)合圖形思考，在立體幾何中怎樣做出異面直線的直觀圖？師生活動：師生互動，總結(jié)結(jié)論．追問：異面直線的判定方法是什么？預(yù)設(shè)的答案：兩條直線異面，實際上也就是這兩條直線不能同時在任何一個平面內(nèi)．異面直線的直觀圖－－－－－平面襯托法異面直線的判定：與一個平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線異面．設(shè)計意圖：通過觀察，推理論證，獲得異面直線的定義及判定方法，發(fā)展學生數(shù)學抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)．【鞏固練習】例1.如圖所示空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，AD，CB，CD的中點.求證：四邊形EFHG是平行四邊形.師生活動：學生分析解題思路，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：在中，因為分別是的中點．所以由三角形的中位線定理可知且，同理，且因此，所以四邊形是平行四邊形.設(shè)計意圖：通過典例分析，提高學生對空間四邊形的理解，提升推理論證能力，提高學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)．例2.已知E，E1分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中點．求證：∠BEC＝∠B1E1C1.師生活動：學生分析解題思路，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：如圖，連接EE1.∵E1，E分別為A1D1，AD的中點，∴A1E1AE.∴A1E1EA為平行四邊形．∴A1AE1E.又∵A1AB1B，∴E1EB1B．∴四邊形E1EBB1是平行四邊形．∴E1B1∥EB，同理E1C1∥EC．又∠C1E1B1與∠CEB方向相同，∴∠C1E1B1＝∠CEB．設(shè)計意圖：通過定理思辨，提升學生對定理的準確理解和應(yīng)用能力，發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．例3.已知空間四邊形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC中BC邊上的高，DF是△BCD中BC邊上的中線，求證：AE和DF是異面直線．師生活動：學生分析解題思路，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：證法一(反證法)：假設(shè)AE和DF不是異面直線，則AE和DF共面，設(shè)過AE、DF的平面為β，若E、F重合，則E為BC的中點，∴AB＝AC，與AB≠AC相矛盾．若E、F不重合，∵B∈EF，C∈EF，而EF?β．∴B∈β，C∈β，又A∈β，D∈β．∴A、B、C、D四點共面，這與題設(shè)ABCD為空間四邊形矛盾，綜上可知，假設(shè)不成立，∴AE與DF為異面直線．證法二(定理法)：∵AB≠AC，AE⊥BC，F(xiàn)為BC的中點，∴E、F不重合，又A?平面BCD，E∈平面BCD，DF?平面BCD，E?DF，∴AE與DF為異面直線．設(shè)計意圖：通過觀察分析，抽象出異面直線的概念及其畫法，并能進行簡單的判斷，發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【課堂小結(jié)】問題：1．判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅是什么？2．對等角定理的應(yīng)用，應(yīng)該注意哪些問題？3.證明兩條直線平行的方法有哪些？師生活動：學生嘗試總結(jié)，老師適當補充.預(yù)設(shè)的答案：1．判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．(2)重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．2．對等角定理的應(yīng)用，特別注意角的兩組對應(yīng)邊的方向性.3.證明兩條直線平行的三種方法：一是定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點；二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；三是利用平行線的傳遞性：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．設(shè)計意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學生更加明確平行直線與異面直線的判斷的有關(guān)知識．提升推理論證能力，提高學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)．布置作業(yè)：【目標檢測】1.如圖所示，在三棱錐S-MNP中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱SN、SP、MN、MP的中點，則EF與HG的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面 D．平行或異面設(shè)計意圖：通過定理思辨，提升學生對定理的準確理解和應(yīng)用能力，發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2.正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為AA1，CC1的中點，則四邊形D1PBQ是()A．正方形 B．菱形C．矩形 D．空間四邊形設(shè)計意圖：通過定理思辨，提升學生對定理的準確理解和應(yīng)用能力，發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．3.已知角α和角β的兩邊分別平行且一組邊方向相同，另一組邊的方向相反，若α＝45°，則β＝________.設(shè)計意圖：通過定理思辨，提升學生對定理的準確理解和應(yīng)用能力，發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．4.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．設(shè)計意圖：通過定理思辨，提升學生對定理的準確理解和應(yīng)用能力，發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．5.已知棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD、AD的中點．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.設(shè)計意圖：通過定理思辨，提升學生對定理的準確理解和應(yīng)用能力，發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．參考答案：1.A∵E，F(xiàn)分別是SN和SP的中點，∴EF∥PN.同理可證HG∥PN，∴EF∥HG.2．B設(shè)正方體棱長為2，直接計算可知四邊形D1PBQ各邊均為eq\r(5)，又四邊形D1PBQ是平行四邊形，所以四邊形D1PBQ是菱形．3.135°由等角定理可知β＝135°.4．(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面(1)在正方體AC1中，因為A1D1BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以A1B∥D1C.(2)因為B∈平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，BB1C，又A1平面BCC1B1，由異面直線的判定可知A1B與B1C異面．(3)因為D1D∩D1C＝D1，所以直線D1D與直線D1C相交．(4)由異面直線的判定可知AB與B1C異面．5.(1)如圖，連接AC，在△ACD中．∵M、N分