安徽省淮南市高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試題

2022屆安徽省淮南市高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】解出集合、中的不等式即可【詳解】易得，，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是集合的運(yùn)算及指數(shù)不等式的解法，較簡單.2．己知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則求解出復(fù)數(shù)z，從而求出復(fù)數(shù)【詳解】由題意得：，所以故選：A3．1947年，生物學(xué)家MaxKleiber發(fā)表了一篇題為《bodysizeandmetabolicrate》的論文，在論文中提出了一個(gè)克萊伯定律：對(duì)于哺乳動(dòng)物，其基礎(chǔ)代謝率與體重的次冪成正比，即，其中F為基礎(chǔ)代謝率，M為體重．若某哺乳動(dòng)物經(jīng)過一段時(shí)間生長，其體重為原來的10倍，則基礎(chǔ)代謝率為原來的（參考數(shù)據(jù)：）（

）【答案】C【分析】利用冪的運(yùn)算性質(zhì)去求解即可解決【詳解】設(shè)該哺乳動(dòng)物原體重為、基礎(chǔ)代謝率為，則，經(jīng)過一段時(shí)間生長，其體重為，基礎(chǔ)代謝率為，則則，則故選：C4．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】D【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)去求的值【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則，，，構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列則+()+()+()=2+4+6+8=20故選：D5．盒中裝有形狀大小相同的球6個(gè)，其中紅球3個(gè)，編號(hào)為1、2、3，藍(lán)球3個(gè)，編號(hào)為4、5、6，從中取2球，則兩球顏色不同，且編號(hào)之和不小于7的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)古典概型去求兩球顏色不同，且編號(hào)之和不小于7的概率【詳解】記“從盒中取2球，兩球顏色不同，且編號(hào)之和不小于7”為事件A則故選：B6．已知，則（

）A． B． C．或 D．0或【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，，湊角法求出或，舍去不合題意的解，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故滿足題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故不合題意，舍去；故選：A7．拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F作傾斜角為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，，垂足為K，若的面積是，則p的值為（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合條件，可得的形狀，進(jìn)而可得三角形的邊長，進(jìn)而可得.【詳解】根據(jù)拋物線的定義可知，，又，，故是等邊三角形，又的面積是，故可得，故.故選：B.8．函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，下列4個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（

）A．向左平移個(gè)單位長度后圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B．向右平移個(gè)單位長度后的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱C．是它的一個(gè)對(duì)稱中心D．單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】D【分析】根據(jù)圖象求得解析式，然后結(jié)合三角函數(shù)圖象變換、三角函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】根據(jù)圖象可知，，，，根據(jù)的圖象可知，所以，.A選項(xiàng)，根據(jù)圖象可知，關(guān)于直線對(duì)稱，所以向左平移個(gè)單位長度后圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，A選項(xiàng)命題正確.B選項(xiàng)，向右平移個(gè)單位長度后得，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B選項(xiàng)命題正確.C選項(xiàng)，，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，C選項(xiàng)命題正確.D選項(xiàng)，，所以的減區(qū)間為，D選項(xiàng)命題錯(cuò)誤.故選：D9．對(duì)任意的，函數(shù)滿足．若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則函數(shù)的最大值與最小值之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性求得正確答案.【詳解】依題意對(duì)任意的，函數(shù)滿足，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，，令（），，所以為奇函數(shù)，所以區(qū)間上的最大值與最小值之和為，所以，所以函數(shù)的最大值與最小值之和.故選：C10．從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為T，延長交雙曲線右支于P點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先求得的關(guān)系，再去求雙曲線的離心率【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，連接,則△中，,，則由直線與圓相切，可得又雙曲線中，則又，則，整理得兩邊平方整理得，則雙曲線的離心率故選：B11．正方體的棱長為1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為，、中點(diǎn)，現(xiàn)有下列4個(gè)命題：①直線與直線垂直；②直線與平面平行；③點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離相等；④平面截正方體所得的截面面積為．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷①③的正確性；畫出平面截正方體所得的截面,由此判斷②④的正確性.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，所以①錯(cuò)誤.，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，所以到平面的距離為，，所以到平面的距離為，所以③錯(cuò)誤.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，四點(diǎn)共面，，所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，平面，所以平面，所以②正確.等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，④正確.所以正確的為②④.故選：C12．已知，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同構(gòu)構(gòu)造，得到，結(jié)合的單調(diào)性，得到，構(gòu)造，求出其最大值，得到a的取值范圍.【詳解】由題意得：，又因?yàn)?，所以，，即，所以，設(shè)，則，，所以單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取得極大值，也是最大值，，故.故選：A【點(diǎn)睛】同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，求解參數(shù)取值范圍問題，通常適用于方程或不等式同時(shí)出現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，此時(shí)利用同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，往往會(huì)是解題的突破口.二、填空題13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為6，則實(shí)數(shù)________．【答案】4【分析】依據(jù)線性規(guī)劃去求實(shí)數(shù)的值【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下由，可得，由點(diǎn)在直線上，可得，則故答案為：414．3D打印又稱增材制造，是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)為了培養(yǎng)青少年的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用技能，某學(xué)校成立了3D打印社團(tuán)，學(xué)生們?cè)O(shè)計(jì)了一種幾何體，其三視圖如圖所示（網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為），如果這種打印原料的密度為，不考慮打印消耗，則制作該模型所需原料的質(zhì)量約為_______g．（取3.14）【答案】【分析】先依據(jù)三視圖去求該幾何體的體積，再去求其質(zhì)量【詳解】該幾何體下半部為底面半徑為1高為1的圓柱，上半部為半徑為1的球體的四分之一，則該幾何體的體積為故制作該模型所需原料的質(zhì)量故答案為：15．已知平面向量的夾角為，且，則的最大值為________．【答案】2【分析】對(duì)兩邊平方后得到，利用基本不等式求出.【詳解】，兩邊平方得：，即，變形為，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，解得：故答案為：216．中，為邊上的中線，，則的取值范圍是________．【答案】【分析】結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算求得的關(guān)系式，設(shè)代入上述關(guān)系式，結(jié)合一元二次方程根的分布求得，也即的取值范圍.【詳解】設(shè)，為正數(shù)，依題意：中，為邊上的中線，，，兩邊平方得，，①，設(shè)，代入①得，整理得②，此方程至少有個(gè)正根，首先，解得③，在三角形中，由余弦定理得恒成立，即恒成立，整理得恒成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，結(jié)合③可得.對(duì)于方程②：若對(duì)稱軸，方程②變?yōu)?，符合題意.若對(duì)稱軸，則方程②至少有一個(gè)正根，符合題意，若對(duì)稱軸，要使方程②至少有一個(gè)正根，則需，解得.綜上所述，也即的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】有關(guān)三角形中線長度問題的求解，可考慮利用向量運(yùn)算來建立關(guān)系式.有關(guān)三角形邊長的和、差的取值范圍，可考慮余弦定理（或正弦定理），結(jié)合基本不等式（或三角函數(shù)的取值范圍）等知識(shí)來求解.三、解答題17．已知數(shù)列滿足：，對(duì)，都有．(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用變形得到，從而證明出結(jié)論；（2）求出，分組進(jìn)行求和.【詳解】(1)因?yàn)?，所以．又，所以，化簡得：．因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．(2)由（1）可得：，所以，所以．18．在某種產(chǎn)品的生產(chǎn)過程中，需對(duì)該產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)為保障產(chǎn)品質(zhì)量，檢驗(yàn)員在一天的生產(chǎn)中定期對(duì)生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)每次檢測(cè)要從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20件進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)量其關(guān)鍵指標(biāo)數(shù)據(jù)．根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條產(chǎn)品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，在檢測(cè)中，如果有一次出現(xiàn)了關(guān)鍵指標(biāo)數(shù)據(jù)在之外的產(chǎn)品，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．(1)下面是檢驗(yàn)員在一次抽取的20件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)數(shù)據(jù)：經(jīng)計(jì)算得．其中為抽取的第i件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)數(shù)據(jù)，．用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？(2)如果一天內(nèi)共進(jìn)行四次檢測(cè)，若有連續(xù)兩次出現(xiàn)生產(chǎn)過程檢查，則需停止生產(chǎn)并對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行檢修．試求一天中需對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行檢修的概率（精確到0.001）．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，，，．【答案】(1)需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查【分析】（1）根據(jù)用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，可觀察數(shù)列有無在區(qū)間外的，可得答案;（2）求出在一次檢測(cè)中，發(fā)現(xiàn)需要對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查的概率，即可求得在一天的四次檢測(cè)中，有連續(xù)兩次需對(duì)生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查的概率.【詳解】(1)由，得的估計(jì)值為的估計(jì)值為，則為，之外，因此需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．(2)設(shè)“在一次檢測(cè)中，發(fā)現(xiàn)需要對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查”為事件A，則；如果在一天中，需停止生產(chǎn)并對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行檢修，則在一天的四次檢測(cè)中，有連續(xù)兩次需對(duì)生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，故概率為故一天中需對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行檢修的概率為0.007．19．如圖①，四邊形是等腰梯形，，E是的中點(diǎn)，將沿折起，構(gòu)成如圖②所示的四棱錐．(1)設(shè)M是的中點(diǎn)，在線段是否存在一點(diǎn)N，使得平面？如果存在，求出點(diǎn)N的位置；如果不存在，請(qǐng)說明理由．(2)如果平面平面，求平面與平面所成銳二面角的大?。敬鸢浮?1)存在，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)(2)【分析】（1）作出輔助線，證明面面平行，進(jìn)而證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角.【詳解】(1)存在，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)如圖，連接、，交于點(diǎn)P，連接MP,MN,NP.由題設(shè)可知四邊形是菱形，所以點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)．因?yàn)镸是的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面．因?yàn)?，所以平?/平面．又平面，所以平面．(2)取的中點(diǎn)O，連接、．由題設(shè)可知是等邊三角形，所以．因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，所以平面．因?yàn)?，所以是等邊三角形，所以．分別以射線、、為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由，易得．所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，得，取，所以．設(shè)平面與平面所成銳二面角為，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，所以．故平面與平面所成銳二面角的大小為．20．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F，．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交直線l于點(diǎn)E，記，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）待定系數(shù)法去求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法去證明【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)，由題意得解之得．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)設(shè)直線l的方程為）（斜率k顯然存在），代入，整理得．由，得則，，因?yàn)?，所以．設(shè)，則，由，可得，由，得，所以21．已知函數(shù)．(1)若，證明：時(shí)，；(2)若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，故得到；（2）首先確定為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，接下來研究，構(gòu)造差函數(shù)，求導(dǎo)后單調(diào)性，得到證明.【詳解】(1)時(shí)，函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，所以．(2)，顯然為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為；設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由已知，必有兩個(gè)零點(diǎn)，且，下證：．設(shè)函數(shù)，則，，由于，則，由（1）有，故，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即有，由于，且在上單調(diào)遞增，所以，所以．【點(diǎn)睛】對(duì)于極值點(diǎn)偏移問題，通常要構(gòu)造差函數(shù)，結(jié)合差函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)行證明.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)，），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線與曲線C交于點(diǎn)O，A，直線與曲線C交于點(diǎn)O，B，求面積的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）依據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化即可解決；（2）先求得面積的表達(dá)式，再對(duì)其求最大值即可.【詳解】(1)曲線C的直