《光學(xué)信息處理》二維傅立葉變換

1.2二維傅立葉變換二維傅立葉變換特殊函數(shù)的傅立葉變換

傅立葉變換的性質(zhì)11、二維傅立葉變換傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉積分與變換二維傅立葉變換意義2（1）傅立葉級(jí)數(shù)一個(gè)隨時(shí)間變化的量可以分解成它的簡(jiǎn)諧分量某點(diǎn)隨聲波的通過(guò)而變化著的壓強(qiáng)因光波、無(wú)線電波通過(guò)而變化的電場(chǎng)強(qiáng)度電壓、電流等任何周期信號(hào)都可以變化成傅立葉級(jí)數(shù)的形式31.傅立葉級(jí)數(shù)（2）4周期函數(shù)函數(shù)f(t)，周期、基頻=2/，頻率v=1/f(t)滿足狄利克雷條件，即在一個(gè)周期內(nèi)存在有限個(gè)極值點(diǎn)或第一類間斷點(diǎn)。（2）傅立葉積分對(duì)于非周期函數(shù)5什么是傅立葉變換？正變換逆變換（3）二維傅立葉變換對(duì)于一個(gè)二維物函數(shù)g(x,y)，其傅立葉變換也為二維，記為G(u,v)：傅立葉正變換傅立葉逆變換

g(x,y)原函數(shù)G(u,v)傅立葉變換函數(shù)6空間頻率變換存在的客觀條件數(shù)學(xué)表述(絕對(duì)可積和狄里赫利條件)g(x,y)在全平面絕對(duì)可積在全平面只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，在有限區(qū)域有有限個(gè)極值沒(méi)有無(wú)窮大間斷點(diǎn)實(shí)際上，“物理的真實(shí)”是變換存在的充分條件直角坐標(biāo)系下（特例）光學(xué)傅立葉變換對(duì)

Spatialdomainfrequencydomain

空域頻域

spatialvariablespatialfrequencyvariable

空間變量空間頻率變量

8（4）意義9幾何投影區(qū)：光場(chǎng)分布與孔徑形狀相同菲涅耳衍射區(qū)衍射圖中心產(chǎn)生明暗變化夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)相對(duì)強(qiáng)度不變、尺寸與距離成正比，幅度降低二維傅立葉變換光學(xué)模擬光學(xué)模擬f1＝f2，4F系統(tǒng)，輸出面上得到等大實(shí)像10f1f1f2f2yx1uv傅立葉處理器1傅立葉處理器2g(x,y)G(u,v)g(-x,-y)P1P2P32、特殊函數(shù)傅立葉變換函數(shù)符號(hào)函數(shù)階躍函數(shù)梳狀函數(shù)其它特殊函數(shù)的傅立葉變換11（1）函數(shù)12物理意義：表示點(diǎn)源函數(shù)具有權(quán)重為1的最豐富的頻譜特性。

在光學(xué)中，常用點(diǎn)光源檢測(cè)系統(tǒng)的響應(yīng)特性。13常數(shù)的傅立葉變換14（2）符號(hào)函數(shù)證明：當(dāng)a=0時(shí)，g(x)sgn(x)15１－１１－１16（3）階躍函數(shù)17方法：先將階躍函數(shù)變換為已知傅立葉變換信號(hào)的組合，然后求其傅立葉變換（4）梳狀函數(shù)方法：先將梳狀函數(shù)展開為傅立葉級(jí)數(shù)形式，然后求其傅立葉變換傅立葉級(jí)數(shù)形式18傅立葉變換19梳狀函數(shù)comb(x)的傅立葉變換仍為梳狀函數(shù)comb(u)20梳狀函數(shù)的應(yīng)用之一

：復(fù)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)函數(shù)x0x00*21梳狀函數(shù)的應(yīng)用之二

：抽樣x抽樣函數(shù)0x0x0正實(shí)數(shù)常數(shù)?22抽樣函數(shù)的抽樣函數(shù)抽樣間隙抽樣點(diǎn)抽樣值的抽樣函數(shù)即是以抽樣值為權(quán)重的函數(shù)序列（5）其它特殊函數(shù)233、傅立葉變換的性質(zhì)1.線性性2.縮放性3.位移性4.共軛性5.卷積定理6.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的傅立葉變換7.相關(guān)定理8.Parseval定理9.函數(shù)的矩Moment2425（1）.

線性性

Ag(x,y)+Bh(x,y)AG(u,v)+BH(u,v)

提示：光學(xué)模擬－圖像相減將兩個(gè)圖像透明片置于相干光學(xué)處理器中，并在空間頻率

平面放一正弦光柵T(p)=(1+sinap)/2輸出平面的光軸衍射出相減了的圖像[f1(α,β)-f2(α,β)]26舉例－圖像相減27（2）.縮放性

g(ax,by)28g(-x,-y)稱為

Inversionproperty:反演性意義：空域展寬、頻域收縮；空域收縮、頻域展寬提示：特例：當(dāng)a=b=-1時(shí)（3）.位移性空域中的位移頻域中的位移29(A).空域中的位移

30提示：說(shuō)明：當(dāng)物體在空域中有位移時(shí)，頻譜的空間位置不變，只存在位相的變化，稱為“相移”(2).頻域中的位移頻域中的位移由空域中的相移引起的例如：實(shí)現(xiàn)空域相移最簡(jiǎn)單的方法是改變?nèi)肷浣堑姆较?，單狹縫在傾斜光照射下的頻率改變?nèi)肷涔獾慕嵌龋蓪?shí)現(xiàn)衍射圖像的橫向位移31

（4）.共軛性3233

（5）.卷積定理定義定理

函數(shù)的卷積34（6）.

函數(shù)導(dǎo)數(shù)的傅立葉變換

證：表明函數(shù)微分的傅立葉變換可以轉(zhuǎn)化為乘積運(yùn)算（7）相關(guān)定理（維納－辛欽定理）定義定理35自相關(guān)定理的意義表明一個(gè)函數(shù)的自相關(guān)與其功率譜構(gòu)成傅立葉變換對(duì)表示功率譜是空間自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換．空間自相關(guān)函數(shù)表征空間相距為(x,y)的兩點(diǎn)之間場(chǎng)的相似性或關(guān)聯(lián)性．它是場(chǎng)的空間相干性的度量．場(chǎng)的相干性較高時(shí)，功率譜的彌散就較小，表示光功率在頻域內(nèi)集中在很小的區(qū)域中(這樣的光波可稱為準(zhǔn)單色光)；當(dāng)場(chǎng)的相干性較差時(shí)，功率譜s的彌散就較大，表示光功率在頻域中分布在較大的區(qū)域內(nèi)，包含較寬的波段．3637Proof：（8）.

Parseval定理物理意義：在物理學(xué)上表述了物空間和象空間的能量守恒原理，也稱瑞利定理表現(xiàn)了能量守恒定律在空域和頻域中表達(dá)式的一致性若g(x,y)表光場(chǎng)的復(fù)振幅分布，則|g(x,y)|2代表光強(qiáng)的分布，

該積分式代表該光場(chǎng)在空間的總光能；|G(u,v)|2表示單位頻率間隔的光能量，稱功率譜