13.3.2 等腰三角形的判定 zhang

一、復(fù)習(xí)引入定義：(三線合一)等腰三角形有兩邊相等的三角形是等腰三角形。性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。(等邊對(duì)等角)性質(zhì)2：等腰三角形的底邊上的中線和高線、頂角平分線互相重合。2021/10/101OAB如圖，位于海上A、B兩處的兩艘救生船接到O處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測(cè)得∠A=∠B。如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，能不能同時(shí)趕到出事地點(diǎn)（不考慮風(fēng)浪因素）？問(wèn)題情境：2021/10/102探究新知●

操作一做一做你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？其他同學(xué)的結(jié)果與你的相同嗎？

●操作二量一量，線段AB與AC的長(zhǎng)度。畫(huà)△ABC.使∠B＝∠C＝30°AB=AC怎樣用數(shù)學(xué)推理進(jìn)行證明呢？2021/10/103ABCD12已知：如圖,在ΔABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC你還有其他證法嗎?證明:作∠BAC的平分線AD∴∠1=∠2在△BAD和△CAD中如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等∠B=∠C(已知)∠1=∠2(已證)AD=AD(公共邊)∴AB=AC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∴△BAD≌△CAD(A.A.S.)∵2021/10/104證明：作AD⊥BC，垂足為D∴∠ADB=∠ADC=900在△BAD和△CAD中，∠B=∠C(已知)

∠ADB=∠ADC(已證)

AD=AD(公共邊）∴△BAD≌△CAD（A.A.S.）∴AB=AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）已知：如圖,在ΔABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC∵□ABCD□2021/10/105ABC如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等幾何語(yǔ)言：∵∠B=∠C(已知)∴AB=AC(等角對(duì)等邊)

等腰三角形的判定定理：(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”)。注意：在同一個(gè)三角形中應(yīng)用喲！2021/10/106等腰三角形的性質(zhì)與判定有區(qū)別嗎?性質(zhì)是:1.等邊等角

2.三線合一判定是:等角等邊2021/10/107已知:如圖,DE∥BC,∠1=∠2.求證:BD=CE.

證明：∵

DE∥BC∴∠1=∠B,∠2=∠C

∵∠1=∠2

∴AD=AE(等角對(duì)等邊)∠B=∠C(等量代換)

∴AB=AC(等角對(duì)等邊)

∴AB-AD=AC-AE

即BD=CEBCEAD212021/10/108已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC求證：AB=ADABCD證明：∵

AD∥BC∴∠ADB=∠DBC

∵

BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠DBC

∴∠ABD=∠ADB(等量代換)

∴AB=AD(等角對(duì)等邊)

∴AB=AC(等角對(duì)等邊)2021/10/109已知：在△ABC中，∠1=∠3,∠2=∠4，AD平分∠BAC。求證：AD⊥BCABCD1234證明：∵

∠1=∠3,∠2=∠4∴∠1+∠2=∠3+∠4即∠ABC=∠ACB∴AB=AC(等角對(duì)等邊)

∵

AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

∴AD在等腰△ABC的頂角的角平分線上

∴AD⊥BC(等腰三角形的“三線合一”)2021/10/1010例：如圖,上午10時(shí)，一條船從A處出發(fā)以20海里每小時(shí)的速度向正北航行，中午12時(shí)到達(dá)B處，從A、B望燈塔C，測(cè)得∠NAC=40°∠NBC=80°求從B處到燈塔C的距離解：∵∠NAC=40°∠NBC=80°∴∠C=∠NBC-∠NAC

=80°-40°=40°∴∠C=∠A∴BA=BC（等角對(duì)等邊）∵AB=20×（12-10）=40（海里）∴BC=40（海里）答：B處到達(dá)燈塔C的距離為40海里。小試牛刀80°40°NBAC北2021/10/1011在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O.過(guò)O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.請(qǐng)你寫(xiě)出圖中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之間的關(guān)系∴∠2＝∠ABO，∠3＝∠ACOOABCEF若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？(1)中結(jié)論還成立嗎？解：EF=BE+CF理由如下：ABCOEF1324∵EF∥BC∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∵BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB∴∠1＝∠ABO∠4＝∠ACO∴BE＝EOFC=FO(等角對(duì)等邊)

∵EF=EO+FO∴EF＝BE+FC2021/10/1012求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。EBADC21已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC求證：AB=AC分析：要證AB=AC，就要證∠B=∠C，而已知有∠1=∠2，只要找出∠B、∠C與∠1、∠2的關(guān)系就可以了。2021/10/1013解：∵AD∥BC∴∠1=∠B(兩直線平行，同位角相等）∠2＝∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠1=∠2∴∠B＝∠C(等量代換)∴AB=AC(等角對(duì)等邊）EBADC21已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC。求證：AB=AC2021/10/1014ABC從以上講解我們可以得到什么結(jié)論？已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C求證：AB=AC=BC2021/10/1015這是由判定定理推導(dǎo)出的一個(gè)定理，即判定一個(gè)三角形是等邊三角形的一種方法。推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。2021/10/1016符號(hào)語(yǔ)言：在△ABC中，

∵∠A=∠B=∠C，

∴△ABC是等邊三角形．細(xì)心觀察，探索性質(zhì)等邊三角形的判定定理1：

三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．CAB2021/10/1017ABC60°60°你又可以得到什么？已知：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°(或者∠B=60°）求證：AB=AC=BC2021/10/1018推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。這是由判定定理推導(dǎo)出的又一個(gè)定理，即判定一個(gè)三角形是等邊三角形的另外一種方法。2021/10/1019

等邊三角形的判定定理2：

有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．CAB符號(hào)語(yǔ)言：在△ABC中，∵BC=AC，∠A=60°∴△ABC是等邊三角形．2021/10/1020證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°．∴∠A=∠ADE=∠AED=60°．∴△ADE是等邊三角形．△ABC是等邊三角形，DE∥BC,分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．求證：△ADE是等邊三角形.ABCDE2021/10/1021證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°

∵DE∥BC

∴∠ABC=∠D=60°

∠ACB=∠E=60°∴∠A=∠D=∠E=60°∴△ADE是等邊三角形動(dòng)腦思考，變式訓(xùn)練

變式1：若點(diǎn)D、E在邊AB、AC的延長(zhǎng)線上，且DE∥BC，結(jié)論還成立嗎？ADEBC2021/10/1022變式2：若點(diǎn)D、E在邊AB、AC的反向延長(zhǎng)線上，且DE∥BC，結(jié)論依然成立嗎？證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠BAC=∠B=∠C=60°∵DE∥BC

∴∠B=∠D=60°∠C=∠E=60°∴∠EAD=∠D=∠E=60°∴△ADE是等邊三角形ADEBC2021/10/1023證明：延長(zhǎng)BC到D，使BD=AB，連結(jié)AD，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°,∴∠B=180

°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-30°=

60°∴△ABD是等邊三角形(有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形)由等邊三角形的性質(zhì)可知，AC也是BD邊上的中線，已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=

30°.求證：BC=AB．ABCD

∴BC=BD=AB．追問(wèn)：你還能用其他方法證明嗎？30°60°2021/10/1024證明：作∠BCE=60°，交AB于E，連結(jié)CE，∵∠ACB=90°∴∠ACE=90°-60°=30°在△ABC中∵∠ACB=90°，∠A=30°∴∠B

=90°-∠A=60°在△BCE中，∵∠BCE=60°,∠B=60°∴∠BEC=∠BCE=∠B=60°∴△BCE是等邊三角形．∴

BC=BE=CE．EABC已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．在△ACE中，∵∠A=30°，∠ACE=30°∴△AEC是等腰三角形．∴CE=AE．∴BC=BE=CE=AE．∴BC=AB．60°30°30°60°2021/10/1025符號(hào)語(yǔ)言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

動(dòng)手操作，探索性質(zhì)

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.ABC∴

BC=AB．

30°2021/10/10265課堂練習(xí)練習(xí)1如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，則BC的長(zhǎng)為

．ABC30°2021/10/10271課堂練習(xí)練習(xí)2

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=

.ABCD30°4260°30°2021/10/1028

如圖，已知P、Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大?。甔0X02X0X02X02X0X0X0+X0+2X0+X0+X0=1800解得X0=300∴

∠BAC=4×300=12002021/10/1029

如圖，已知P、Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大?。猓骸逷Q=AP=AQ∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=600∴∠B+∠BAP=∠APQ=600

∠C+∠CAQ=∠AQP=600∵AP=BP,QC=AQ,∴∠B=∠BAP=300

∠C=∠CAQ=300，∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ=300+600+300