2015年高考北京理科數(shù)學試題及答案解析

年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學（理科）第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．（1）【2015年北京，理1】復數(shù)（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】，故選A．（2）【2015年北京，理2】若，滿足則的最大值為（）（A）0（B）1（C）（D）【答案】D【解析】如圖，當，，故選D．（3）【2015年北京，理3】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，結(jié)束，輸出，故選B．（4）【2015年北京，理4】設(shè)，是兩個不同的平面，是直線且．“”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】B【解析】不能推出，而，，“”是“”的必要不充分條件，故選B．（5）【2015年北京，理5】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（） （A） （B）（C）（D）5【答案】C【解析】由三視圖知，面ABC，，，,，，，故選C．（6）【2015年北京，理6】設(shè)是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是（）（A）若，則（B）若，則（C）若，則（D）若，則【答案】C【解析】，，所以，，故選C．（7）【2015年北京，理7】如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由題可知：，當時，．時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當時，，的解集為，故選C．（8）【2015年北京，理8】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）（A）消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米（B）以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多（C）甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油（D）某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】D【解析】由圖可知，對乙車存在一個速度，使燃油效率高于5，A錯；由圖知，當以的速度行駛時，甲車燃油效率最高，行駛相同路程時，耗油最少，B錯；甲車以行駛1小時耗油8升，故C錯在限速，相同情況下，丙車燃油效率較乙車高，所以乙車更省油，故選D．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：共6小題，每小題5分，共30分。（9）【2015年北京，理9】在的展開式中，的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】40【解析】，當時，系數(shù)為．（10）【2015年北京，理10】已知雙曲線的一條漸近線為，則．【答案】【解析】令，所以．（11）【2015年北京，理11】在極坐標系中，點到直線的距離為______．【答案】1【解析】直線方程為，點為，所以點到直線方程的距離為．（12）【2015年北京，理12】在中，，，，則．【答案】1【解析】．（13）【2015年北京，理13】在中，點，滿足，．若，則 ；_______．【答案】，【解析】，所以．又因為，所以，所以在上是增函數(shù)，又，故，所以．（Ⅲ），設(shè)，，，，函數(shù)是單調(diào)遞增，顯然成立。當時，令，得，—+極值，顯然不成立，由此可知最大值為2．（19）【2015年北京，理19】（本小題滿分14分）已知橢圓：的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點的坐標（用，表示）；（Ⅱ）設(shè)為原點，點與點關(guān)于軸對稱，直線交軸于點．問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．解：（Ⅰ）由題意知，，又，解得，所以的方程為．的斜率，所以方程，令，解得，所以．（Ⅱ），同（Ⅰ）可得，，，因為所以，設(shè)則即，又在橢圓上，所以，即，所以，故存在使得．（20）【2015年北京，理20】（本題滿分13分）已知數(shù)列滿足：，，且，記集合．（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求集合的元素個數(shù)的最大值．解：（Ⅰ）6，12，24．（Ⅱ）若存在是的倍數(shù)，設(shè)，當時，，也是的倍數(shù)；當時，，也是的倍數(shù)．綜上，是的倍數(shù)，依次類推，當時，是的倍數(shù)；若存在是的倍數(shù)，設(shè)，當時，，因為，所以也是的倍數(shù)；當時，，因為，所以也是的倍數(shù)；．綜上，是的倍數(shù)，依次類推，當時，是的倍數(shù)；所以原結(jié)論成立．（Ⅲ）當時，將代入，依次得到，，，，，，，，所以當時，，此時，共個元素．由題意