生活中的軸對稱

生活中的軸對稱第1、2節(jié)軸對稱現(xiàn)象和探索軸對稱的性質知識點聚焦軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的局部能夠互相重合，則這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做該圖形的對稱軸.注：〔1〕軸對稱圖形是一個圖形，且這個圖形被對稱軸分成的兩局部，對折后能夠重合.〔2〕對稱軸是一條直線，不是線段，也不是射線.〔3〕一個軸對稱圖形的對稱軸可以有1條，也可以有多條.〔但至少有1條〕〔4〕常見的軸對稱圖形：線段、角、等腰三角形、菱形、長方形、圓等。成軸對稱：對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能夠完全重合，則這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是這兩個圖形的對稱軸.注：〔1〕兩個圖形成軸對稱是指兩個圖形之間的形狀和位置關系.〔2〕全等的兩個圖形不一定成軸對稱，成軸對稱的兩個圖形一定全等.軸對稱圖形與成軸對稱的區(qū)別、聯(lián)系與應用〔1〕區(qū)別：=1\*GB3①軸對稱圖形是一個圖形，成軸對稱涉及兩個圖形；=2\*GB3②軸對稱圖形是說一個具有特殊形狀的圖形，成軸對稱是說兩個圖形的位置關系；=3\*GB3③軸對稱圖形的對應點在同一個圖形上，成軸對稱的對應點，分別在兩個圖形上；=4\*GB3④軸對稱圖形不一定只有一條對稱軸，成軸對稱的兩個圖形只有一條對稱軸.〔2〕聯(lián)系：=1\*GB3①都是沿*直線翻折后能夠互相重合；=2\*GB3②如果把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則它就是一個軸對稱圖形，反之，如果把軸對稱圖形沿著對稱軸分成兩局部，則這兩局部就是關于這條對稱軸成軸對稱.〔3〕應用：在數(shù)學里利用軸對稱主要是求最短距離，證明線段相等，角度相等，圖形全等。其他方面如桌球路線、光線入射反射等情況。軸對稱的性質〔1〕關于*直線對稱的兩個圖形是全等形.〔2〕如果兩個圖形關于*直線對稱，則對應點所連的線段被對稱軸垂直平分.〔3〕如果兩個圖形關于*直線對稱，則對應線段〔對應的中線、高線、角平分線等〕相等，對應角相等.〔4〕對應點的連線互相平行〔或在同一直線上〕.注：〔1〕如何判斷軸對稱圖形上的對應點和對應線段.判斷兩個點是不是對應點：判斷的標準是連接兩個對應點的線段被對稱軸垂直平分.假設找到了對應點，則對應線段自然就找到了.〔2〕軸對稱的應用利用軸對稱可以解決線段之和最小的問題.=1\*GB3①將軍飲馬=2\*GB3②建橋問題(要求橋垂直兩岸)連接交于點,點即所找的位置.方法：作連接交于點,點即所找的位置.交于點，作交于點，即為建橋位置.利用軸對稱性質作圖求作對稱軸〔2〕求作與圖形成軸對稱的圖形方法：=1\*GB3方法：=1\*GB3①確定代表圖形的關鍵點；=2\*GB3②分別作出這些關鍵點關于對稱軸的對應點；=3\*GB3③根據(jù)圖形連接這些對應點.方法：先確定圖形的兩個對應點，再作以這兩個對應點為端點的線段的垂直平分線，這條垂直平分線就是它的對稱軸.例1.例1.數(shù)的運算中會有一些有趣的對稱現(xiàn)象，比方“的金字塔〞，你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律把下面的式子補充完整.；；；；.分析：觀察可知例例2.=1\*GB3①以下圖是由小正方形組成的“〞圖案，請你在圖中添一個小正方形，使它變成軸對稱圖形，要求用三種方法.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=2\*GB3②=3\*GB3③分析：要想添加圖形使原圖變成軸對稱圖形，首先要確定對稱軸.例例3.如以下圖所示，需要在高速公路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到,兩個城市的距離之和最小，請作出機場的位置.分析：利用軸對稱圖形的性質可作關于公路的對稱點，連接，與公路的交點就是點的位置.公路圖=2\*GB3②公路圖=1\*GB3①解：如圖=2\*GB3②，點公路圖=2\*GB3②公路圖=1\*GB3①例例4.=3\*GB3③=2\*GB3②=1\*GB3①=4\*GB3④如以下圖所示，正方形紙片的邊長為，將其沿折疊，則圖中=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④四個三角形的周長之和為多少？=3\*GB3③=2\*GB3②=1\*GB3①=4\*GB3④分析：折疊前后的兩個圖形關于折痕成軸對稱，因此，，，于是圖中=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④四個三角形的周長之和正方形的周長.正方形的周長為.例5.如以下圖所示，在中，，，將向方向折疊，使點落在上的處，折痕為，請你探究與有什么樣的關系？并說明理由.例5.分析：折疊后和是以為對稱軸的兩個三角形，以此為突破口得到，再由，可以得到，則.解：，理由如下：因為與關于對稱，所以，.在中，，所以.所以.所以.所以.所以.例例6.如以下圖=1\*GB3①所示，一定點，試在上各找一點，,使得的周長最短.圖圖=2\*GB3②圖=1\*GB3①分析：利用圖=1\*GB3①通過軸對稱找到對應的點，就可以找出滿足最小值的點.解：如圖=2\*GB3②所示，作點關于的對應點,連接，分別交于點.利用軸對稱的性質可得,,所以的周長為.因為是定點，兩點之間，線段最短，所以最小，即圖=2\*GB3②中的點即為所求的點.例7.小于，分別是上的點，由于實際設計的需要，需在和上分別找出點，使最短，應如何找？例7.分析：解“兩線+兩點〞型最短路線問題需要通過兩次軸對稱變換，得到所需的點與最短路線.解：如右圖所示，作點關于的對稱點,點關于的對稱點，連接,分別交于點，則點就是所求的點，此時最短.例例8.如以下圖，與關于*直線成軸對稱，請用不同的方法確定對稱軸.分析：確定對稱軸的關鍵是利用對稱軸垂直平分對應點的連線和對應邊或其延長線的交點在對稱軸上.解：如以下圖=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④.方法一：如圖方法一：如圖=1\*GB3①，連接對應和對應點，再取和的中點，連接，直線就是所求作的對稱軸.方法二：如圖方法二：如圖=2\*GB3②，連接對應，再作的垂直平分線，直線就是所求作的對稱軸.=2\*GB3=2\*GB3②=1\*GB3=1\*GB3①方法四：如圖=4\*GB3方法四：如圖=4\*GB3④，延長線段和交于點，再延長線段和交于點，連接，直線就是所求作的對稱軸.方法三：如圖=3\*GB3③，連接對應，再延長線段和交于點，過點作的垂線，連接，直線就是所求作的對稱軸.=3\*GB3③=3\*GB3③=4\*GB3④A類變式練習：1.以下交通標志中是軸對稱圖形的是()以下圖形中,對稱軸的條數(shù)最少的圖形是()A．圓B．正六邊形C．正方形D．等邊三角形3.在以下圖的幾何圖形中，一定是軸對稱圖形的有〔〕A．2個 B．3個 C．4個D．5個4.直線是一條河,兩地相距，兩地到的距離分別為，欲在上的*點處修建一個水泵站，向兩地供水．現(xiàn)有如下四種鋪設方案,圖中實線表示鋪設的管道,則鋪設的管道最短的是()5.數(shù)的運算中會有一些有趣的對稱形式，仿照等式①的形式填空，并檢驗等式是否成立。①；②③④6.如圖是關于直線的對稱圖形,你能把圖形補全嗎"B類7.如圖，在△ABC中，DE是AC的中垂線，AE＝3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長是_______cm．8.將一個正方形紙片依次按圖的方式對折，然后沿圖中的虛線裁剪成圖樣式，將紙展開鋪平，所得到的圖形是圖中的〔〕9.如圖，在中，，是邊上的高，點、是的三等分點，假設的面積為12，則圖中陰影局部的面積為10.等腰三角形的兩條邊長分別為2和5，則它的周長為〔〕．A．9B．12C．9或12D．511.以下三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角〔每個頂點處各取一個外角〕都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有〔〕．A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④12.如圖：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF，則∠DEF〔〕．A、90°B、75°C、70°D、60°13.如圖,是的中線,,,把沿直線折疊,點落在處,連接,試求的長度.14.如圖,是的角平分線,和分別是和的高.垂直平分嗎"試說明理由.C類15.如圖10-25，中，，則與之間的關系滿足〔〕、、、、圖=1\*GB3①16.如以下圖=1\*GB3①所示，的大小為，是部的一個定點，且，點分別是上的動點，假設周長的最小值為，求的值.圖=1\*GB3①17.如下圖，a、b為一條河流的兩岸，E、F為兩燈塔，假設一條小船從E塔出發(fā)，先到a岸取燃料，然后再到b岸取照明燈，最后回到F塔，問小船應走哪條路線才能使整個航程最短？請你畫出行進路線。18.∠MON=40°，P為∠MON一點，A為OM上的點，B為ON上的點，問當△PAB的周長取最小值時，∠APB等于多少度？19.如以下圖所示，在中，于是邊上任意一點，延長到使得，連結。試判斷直線與的位置關系，并說明理由。20.如下圖，這兩個三角形，思考怎樣把每個三角形紙片只剪一刀將它分成兩個等腰三角形？試一試，在圖中畫出剪的痕跡，并標出每個角的度數(shù)。第3、4節(jié)簡單的軸對稱圖形及利用軸對稱進展設計知識點聚焦線段的軸對稱性線段是軸對稱圖形，它的對稱軸有兩條，一條是這條線段的垂直平分線，另一條是線段所在的直線.線段的垂直平分線：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線〔簡稱中垂線〕.線段垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點〔任意一點〕到這條線段兩個端點的距離相等.線段垂直平分線的判定：到線段的兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.角的軸對稱性角是軸對稱圖形：角的平分線所在的直線是它的對稱軸.角平分線的性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.角平分線的判定：到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.注：=1\*GB3①角的對稱軸是角平分線所在的直線，而不是角平分線.=2\*GB3②在運用角平分線的性質時，一定要注意“角平分線上的點〞和“與角兩邊垂直〞這兩個條件.等腰三角形的軸對稱性定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底的夾角叫作底角.性質：=1\*GB3①等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是它的頂角平分線所在的直線；=2\*GB3②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合〔三線合一〕；=3\*GB3③等腰三角形的兩個底角相等〔簡稱“等邊對等角〞〕.注：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高不是它的對稱軸，而是這三條線段所在的直線才是等腰三角形的對稱軸.等邊三角形的軸對稱性定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形，也叫正三角形.性質：=1\*GB3①等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸；=2\*GB3②等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于.判定:=1\*GB3①三邊都相等的三角形是等邊三角形；=2\*GB3②三個角都是的三角形是等邊三角形；=3\*GB3③有一個角是的等腰三角形是等邊三角形.5.鑲邊與剪紙的原理及方法〔1〕原理：軸對稱和軸對稱圖形性質.〔2〕鑲邊與剪紙中的對稱軸：紙上折痕所在的直線就是相鄰兩個圖案的對稱軸.6.照鏡子與水中的倒影“照鏡子〞時，鏡子改變了物體的左、右方向；“水中的倒影〞與原來的物體是上、下相反.例1.圖=2\*GB3②如以下圖，是在一面鏡子里看到的圖像，請寫出第=1\*GB3①個圖表示的實際數(shù)字和第=2\*GB3②個圖表示的實際時間.例1.圖=2\*GB3②圖圖=1\*GB3①分析：鏡面對稱的特點是上下不變，左右相反.解：第=1\*GB3①個圖表示的實際數(shù)字是，第=2\*GB3②個圖表示的實際時間是:.例2.如以下圖，是汽車牌照在水中的倒影，試判斷該車的實際牌照例2.分析：水中的倒影與原來的物體是上下相反，解決時可將紙沿著車輪所在水平線對折，從紙的另一面看到的牌照就是車牌上的牌照.解：該車的實際牌照是“云F21678〞.例例3.圖=2\*GB3②如以下圖=1\*GB3①所示，在兩條公路的附近有兩個超市，現(xiàn)準備在兩條公路的穿插路口附近安裝一個監(jiān)控攝像頭，要求攝像頭的的位置離兩個超市的距離相等，且到兩條公路的距離也相等，請你畫出攝像頭的位置.圖=2\*GB3②圖圖=1\*GB3①分析：攝像頭到公路的距離相等，則的位置應在的角平分線上，到兩個超市的距離相等，則應在連線的垂直平分線上.兩者的交點就是攝像頭的位置.解：如圖=2\*GB3②，〔1〕作的角平分線；〔2〕連接，作線段的垂直平分線交射線于點，則點即為所要安裝的攝像頭的位置.例例4.圖=2\*GB3②圖=1\*GB3①如以下圖=1\*GB3①，的三邊長分別為,三條角平分線的交點為，過點作垂直，垂足為，且長為,求的面積.圖=2\*GB3②圖=1\*GB3①分析：有角平分線的性質可知，點到三角形三邊的距離相等.解：如圖=2\*GB3②，連接，過點分別作另外兩邊的垂線段和.由角平分線的性質可知，這三條線段的長相等，均為.所以=.例例5.：如圖，中，，直線交，于，交延長線于.假設.求證：.分析：欲證明線段相等，要么將兩條線段轉換到一個三角形中，證明兩邊對應的角相等，或構造兩條線段所在的兩個三角形全等.解：過點作∥交于，則..在和中，例6.如下圖：是的邊上的兩點，且,求的度數(shù).例6.分析：根據(jù)題意得為等邊三角形，從而得出的度數(shù)，在由三角形的外角性質、等腰三角形的性質求得的度數(shù)，從而使得問題得以解決.解：過程略，例7.如圖，在中，平分，，求證：.例7.分析：因為角是軸對稱圖形，角平分線是對稱軸，利用全等變換--沿翻折至，不難發(fā)現(xiàn)，再證即可.解：過程略.注：此題是采用構造法解題，但在構造的過程中會有一些困難，但構造的過程卻能提升思維能力，一般利用條件構造等腰三角形解答幾何問題有以下三種途徑：=1\*GB3①利用“角平分線〞構造等腰三角形；(如圖=1\*GB3①)=2\*GB3②利用“垂直平分線〞構造等腰三角形；〔如圖=2\*GB3②〕如圖=1\*GB3①=3\*GB3③利用外角性質構造等腰三角形.〔如圖=3\*GB3③〕如圖=1\*GB3①如圖如圖=2\*GB3②如圖如圖=3\*GB3③例8.：如以下圖所示，點在線段上，在的同旁作等邊和等邊，連接交于，連接.例8.〔1〕求證：；〔2〕求證：為等邊三角形；〔3〕如果把繞著點旋轉任意角度，上述結論中哪些仍成立？試說明