統(tǒng)計學(xué)（第三版-董云展）課件05第五章平均指標(biāo)和變異指標(biāo)

第五章

統(tǒng)計基本分析指標(biāo)（2）

——平均指標(biāo)和變異指標(biāo)《統(tǒng)計學(xué)》課件

教學(xué)目的與要求

通過本項目學(xué)習(xí)，了解平均指標(biāo)和變異指標(biāo)的意義和種類，掌握各種計算方法及其應(yīng)用條件，能夠應(yīng)用平均指標(biāo)和變異指標(biāo)進(jìn)行基本的統(tǒng)計分析。

教學(xué)重點與難點

重點：各種加權(quán)平均數(shù)的計算方法和應(yīng)用條件；理解計算和應(yīng)用平均指標(biāo)的原則；標(biāo)準(zhǔn)差的計算；

難點：正確理解加權(quán)平均計算方法中的權(quán)數(shù)；權(quán)數(shù)的正確選擇；變異系數(shù)計算的必要性。本章的主要內(nèi)容1平均指標(biāo)的種類及其計算方法2計算和應(yīng)用平均指標(biāo)應(yīng)注意的問題3變異指標(biāo)的種類及其計算方法第一節(jié)

平均指標(biāo)

一、平均指標(biāo)的概念及作用平均指標(biāo)

靜態(tài)平均指標(biāo)

動態(tài)平均指標(biāo)反映總體各單位在某一數(shù)量標(biāo)志下標(biāo)志值的一般水平反映研究對象在不同時間水平的一般水平平均指標(biāo)：簡單地說就是若干變量值的平均。

平均指標(biāo)與總量指標(biāo)和相對指標(biāo)的特點比較平均指標(biāo)還是：

④抽象化數(shù)值⑤代表性數(shù)值⑥集中趨勢(總體各單位根據(jù)變量值的大小形成分布）比較項目總量指標(biāo)相對指標(biāo)平均指標(biāo)①表現(xiàn)形式絕對數(shù)相對數(shù)平均數(shù)②是否帶計量單位必須帶一般為%必須帶③數(shù)值大小與總體范圍的關(guān)系有無無

平均指標(biāo)的作用------對現(xiàn)象進(jìn)行對比分析（1）個別不能代表一般。利用平均指標(biāo)可以對同類現(xiàn)象在不同空間、不同時間上進(jìn)行比較，以反映其水平的高低等。如：在分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系時，也不能用個別代表一般。現(xiàn)以某企業(yè)為例，如研究學(xué)歷和工資依存關(guān)系，不能用四個學(xué)歷的單個人的工資來說明問題，也不能用不同學(xué)歷工資總額來說明問題，而要用平均工資才能反映其內(nèi)在真實的依存關(guān)系。

平均指標(biāo)的作用------分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系（2）2017年某地區(qū)職工受教育程度與月工資關(guān)系表受教育程度平均數(shù)（元）研究生本科專科中專、高中初中及以下65154799301525971827我國2017年GDP為827122億元，若經(jīng)濟(jì)平均增長速度不低于6.5%，則2021年建黨100周年時，我國GDP就會達(dá)到1064064億元，（超100萬億元）若人口2021年為14.2億人，則人均GDP為74934元。（2018年我國人均GDP9509美元，達(dá)到中高收入國家行列）。

平均指標(biāo)的作用------利用平均指標(biāo)進(jìn)行推算（3）平均指標(biāo)計算方法算術(shù)平均法簡單調(diào)和平均法中位數(shù)和眾數(shù)幾何平均法調(diào)和平均法加權(quán)算術(shù)平均法簡單算術(shù)平均法簡單幾何平均法加權(quán)調(diào)和平均法加權(quán)幾何平均法二、平均指標(biāo)的種類及計算方法

（一）算術(shù)平均法算術(shù)平均法：根據(jù)總體各單位標(biāo)志值的算術(shù)和計算的平均數(shù)。其基本公式為：

【需要注意】

⑴區(qū)分平均數(shù)與具有“平均”含義的強度相對數(shù)；⑵此公式是基本公式，具體形式要看所給資料而定。

由于掌握的資料不同，可將算術(shù)平均法分為：

簡單算術(shù)平均法和加權(quán)算術(shù)平均法。

1.簡單算術(shù)平均法簡單算術(shù)平均法的應(yīng)用條件

若掌握的是未經(jīng)分組整理的總體各單位的具體標(biāo)志值，可采用簡單算術(shù)平均法，計算各標(biāo)志值的算術(shù)和再除以總體單位數(shù)即可。用這種方法計算的平均數(shù)，稱為簡單算術(shù)平均數(shù)。用公式表示如下：

式中：代表平均數(shù)x代表各標(biāo)志值∑是總和符號n代表標(biāo)志值個數(shù)

2、加權(quán)算術(shù)平均法加權(quán)算術(shù)平均法的應(yīng)用條件

若資料為各組標(biāo)志值和權(quán)數(shù)（次數(shù)或比重）的變量數(shù)列，應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均法，即以各組標(biāo)志值為變量，以各組次數(shù)或比重為權(quán)數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均。計算公式如下：

式中：x為各組標(biāo)志值；f為各組次數(shù)

單項數(shù)列資料平均指標(biāo)的計算（例1）

某企業(yè)20名職工日產(chǎn)量資料日產(chǎn)量（件）x人數(shù)f產(chǎn)量xf

%

591261043090483050201.54.52.4合計201681008.4注意⑴以比重為權(quán)數(shù)計算的結(jié)果與用絕對數(shù)計算結(jié)果完全一樣。⑵本例為單項數(shù)列資料。若為組距數(shù)列，需先算組中值?？偲骄鶖?shù)來自于三個數(shù)的貢獻(xiàn)，勸數(shù)越大貢獻(xiàn)越大組距數(shù)列資料平均指標(biāo)的計算（例2）按月工資分組（元）職工人數(shù)（人）f組中值（元）x工資總額xf7000以下

20

6500

130000

7000—8000

25

7500

187500

8000—9000

30

8500

255000

9000—10000

15

9500

142500

10000以上

10

10500

105000合計

100

——

820000某公司按工資水平分組資料表組距資料計算平均數(shù)應(yīng)該用約等號合適

加權(quán)平均數(shù)的影響因素各組權(quán)數(shù)（次數(shù)或比重）各組標(biāo)志值(x)1.若各組標(biāo)志值不變，各組單位數(shù)同時擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)則平均數(shù)不變；2.若各組單位數(shù)不變，各組標(biāo)志值同時擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，平均數(shù)也隨之?dāng)U大或縮小相同的倍數(shù)。3.若各組權(quán)數(shù)是相等的，則用加權(quán)算術(shù)平均和簡單算術(shù)平均的計算結(jié)果是相同。

【加權(quán)算術(shù)平均法計算步驟】各組標(biāo)志值乘次數(shù)得各組標(biāo)志總量加總得到總體標(biāo)志總量計算總體單位總量總體標(biāo)志總量除以總體單位總量權(quán)數(shù)選擇問題各組標(biāo)志值與各組單位數(shù)之積要有實際意義，即二者之積為算術(shù)平均數(shù)算式中的分子（總體標(biāo)志總量）（二）調(diào)和平均法導(dǎo)例：某種蔬菜甲、乙、丙三個市場的價格分別為每千克0.5

元、0.4元和0.2元。若：⑴甲、乙、丙三個市場各買1千克；⑵甲、乙、丙三個市場分別買3千克、5千克、10千克；⑶甲、乙、丙三個市場各買1元；⑷甲、乙、丙三個市場分別買5元、8元、10元。要求分別計算四種購買行為情況下該種蔬菜的平均購買價格。（注意：不能是甲乙丙三種蔬菜，不同質(zhì)；也不能是早、中、晚三個時間，不同時。靜態(tài)平均）分析：無論什么資料，蔬菜平均價格都是購買額除以購買量。即：

（二）調(diào)和平均法（續(xù)1）根據(jù)以上資料，蔬菜平均購買價格計算分別為：簡單算術(shù)平均法加權(quán)算術(shù)平均法簡單調(diào)和平均法加權(quán)調(diào)和平均法

（二）調(diào)和平均法（續(xù)2）調(diào)和平均法：變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又稱倒數(shù)平均法。在統(tǒng)計實踐中，有時因缺乏總體的單位數(shù)資料，不能直接采用算術(shù)平均法方法進(jìn)行計算，這時需要將算術(shù)平均法的形式加以改變。調(diào)和平均法常常作為算術(shù)平均法的變形來使用。⑵在各組標(biāo)志總量不等時，應(yīng)采用加權(quán)調(diào)和平均法：⑴在各組標(biāo)志總量都是1時，采用簡單調(diào)和平均法：

（二）調(diào)和平均法（續(xù)3）實例：某企業(yè)購進(jìn)某種原材料三批，已知每批購進(jìn)價格和購進(jìn)金額，要求計算該種原材料的平均價格。資料見下表：批次價格（元/千克）x購進(jìn)額（元）m購進(jìn)量（千克）第一批第二批第三批

607080

60001400056000100200700合計

—

76000

1000批次價格（元/千克）x購進(jìn)量（千克）f購進(jìn)額（元）xf第一批第二批第三批

607080

10020070060001400056000合計

—

1000

76000加權(quán)算術(shù)平均法與加權(quán)調(diào)和平均法的比較（三）幾何平均法導(dǎo)例1：平均速度的計算問題？？若只有某一年的速度能說明問題嗎？2010-2017年世界主要國家和地區(qū)經(jīng)濟(jì)增長率比較單位：%2017年GDP(萬億美元）20102011201220132014201520162017平均增幅%世界77.94.42.82.42.42.62.52.43.02.8中國12.210.67.77.77.77.36.96.76.97.7美國19.42.51.92.81.52.42.41.63.22.3日本4.94.7-0.51.51.40.00.51.01.21.2印度2.410.36.64.76.67.27.67.16.77.1導(dǎo)例2：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要先后經(jīng)過四個車間（四個工序），已知四個車間的合格率分別為80%、90%、85%和70%，求四個車間的平均合格率？1車間80%2車間90%4車間70%3車間85%

（三）幾何平均法（續(xù)1）幾何平均法：ｎ個變量值連乘積的開ｎ次方。幾何平均法不能有零和負(fù)值應(yīng)用條件：總比率（或總速度）等于各比率（或各速度）之積時，求平均比率（或平均發(fā)展速度）時才可以用幾何平均法，否則不可用。幾何平均法平均的變量值的形式是相對數(shù)。在計算平均比率（如平均合格率、平均利率）、平均速度等情況時使用。

根據(jù)引言資料中的增長速度按此法計算五年平均增長速度

（三）幾何平均法（續(xù)2）實例：某地區(qū)20年經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度資料如下：

發(fā)展%x年數(shù)f1021051071095384合計20

（三）幾何平均法（續(xù)2）實例：某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品需先后經(jīng)過20個車間，各車間合格率資料如下：

合格率%x車間數(shù)f708085905384合計20

（三）幾何平均法（續(xù)3）

應(yīng)用：某公司向商業(yè)銀行申請一筆貸款，期限為10年，以復(fù)利來計息。10年的利率分別是：第1年至第2年為3%，第3年至第5年為4.5%，第6年至第7年為5%，第8年至第9年為5.5%，第10年為6%，求該筆貸款的平均年利率。

（三）幾何平均法（續(xù)4）

分析：由于各年利率不等，就可以采用加權(quán)幾何平均法計算年平均本利率，最后，用年平均年本利率減1就是平均年利率。計算過程如下：年均本利率＝

=104.65%則該公司10年貸款平均年利率為4.65%。（四）眾數(shù)眾數(shù)：總體中（一組數(shù)據(jù)中）出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。出現(xiàn)次數(shù)越多，眾數(shù)的代表性就越強。計算和應(yīng)用眾數(shù)的條件是總體單位數(shù)較多且有明顯的集中趨勢。（集貿(mào)市場的隨行就市）（五）中位數(shù)中位數(shù)：將總體各單位標(biāo)志值按從小到大的順序排列，處于中間位置的數(shù)值。若總體單位數(shù)是偶數(shù)，則處于中間的兩個標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)是中位數(shù)。實際中，也常用年齡中位數(shù)說明人口老齡化問題。普查年份195319641982199020002010年齡中位數(shù)21.7020.2022.9125.2530.8535.20需要注意：中位數(shù)和組中值的區(qū)別？？2015年？日本年齡中位數(shù)49歲，德國48歲美國40歲，西方老齡化問題，生物學(xué)意義西方衰敗.2018年我國？2018年全國居民人均可支配收入28228元，比上年增長8.7%，扣除價格因素，實際增長6.5%。全國居民人均可支配收入中位數(shù)24336元，增長8.6%。按常住地分，城鎮(zhèn)居民人均可支配收入39251元，比上年增長7.8%，扣除價格因素，實際增長5.6%。城鎮(zhèn)居民人均可支配收入中位數(shù)36413元，增長7.6%。農(nóng)村居民人均可支配收入14617元，比上年增長8.8%，扣除價格因素，實際增長6.6%。農(nóng)村居民人均可支配收入中位數(shù)13066元，增長9.2%。按全國居民五等份收入分組[58]，低收入組人均可支配收入6440元，中間偏下收入組人均可支配收入14361元，中間收入組人均可支配收入23189元，中間偏上收入組人均可支配收入36471元，高收入組人均可支配收入70640元。全國農(nóng)民工人均月收入3721元，比上年增長6.8%。

組距數(shù)列中位數(shù)的確定方法用∑f/2確定中位數(shù)位，從累計次數(shù)中觀察中位數(shù)組，然后比例推算中位數(shù)的近似值。上限公式：下限公式：式中：上總次數(shù)向下累計至中位數(shù)組以下總次數(shù)向上累計至中位數(shù)組以中位數(shù)組的次數(shù)???+-SSfmmm11ＵＬfm∑f/2∑f/2Ｓｍ-１Ｓｍ+１Ｍe第二節(jié)

計算和應(yīng)用平均指標(biāo)應(yīng)注意的問題

一、同質(zhì)性是計算和應(yīng)用平均指標(biāo)的基礎(chǔ)平均指標(biāo)是反映同質(zhì)總體各單位標(biāo)志值一般水平的指標(biāo)，平均指標(biāo)要保證在同質(zhì)總體內(nèi)計算。二、用組平均數(shù)補充說明總平均數(shù)在同質(zhì)總體中，存在不同類型的組，而各組間還存在很大差別。總平均數(shù)抽象掉了總體內(nèi)各組的差異，不能全面說明總體的特征。因此，就需要分別計算各組平均數(shù)以補充說明總平均數(shù)。

某地甲、乙兩村小麥產(chǎn)量情況表按自然條件分組甲村乙村播種面積總產(chǎn)量（萬公斤）單產(chǎn)（公斤/公頃）播種面積總產(chǎn)量（萬公斤）單產(chǎn)（公斤/公頃）公頃%公頃%山地丘陵平原1890721050404.35410824006000150001501209045302554901623600750018000合計180100166.392403601003068500要求：對甲乙兩村小麥生產(chǎn)情況作出分析與評價實訓(xùn)：分析與評價三、用次數(shù)分布數(shù)列補充說明總平均數(shù)總平均數(shù)不僅掩蓋了差異狀況。還掩蓋了總體單位的分布特征。為了全面深入地分析問題，我們不能只看現(xiàn)象總的平均水平，還必須了解總體單位在各組次數(shù)分布情況，把總平均數(shù)與次數(shù)分布資料相結(jié)合?，F(xiàn)以某公司下屬的50個分公司年度利潤計劃完成情況為例來說明。情景設(shè)計：集團(tuán)公司統(tǒng)計人員向公司老總匯報總公司利潤計劃完成情況按計劃完成程度分組（%）公司數(shù)（個）比重（%）80—9090—100100—110110—120120—130363010161260202合計50100四、平均數(shù)分析與典型事例相結(jié)合

五、平均指標(biāo)要和變異指標(biāo)相結(jié)合

謹(jǐn)防平均數(shù)“陷阱”平均指標(biāo)反映總體一般水平，掩蓋了總體單位的差異，而綜合反映個體差異也是認(rèn)識研究總體的重要數(shù)量特征。變異指標(biāo)就是反映總體各單位差異或離散程度的統(tǒng)計指標(biāo)，因此，二者應(yīng)該相結(jié)合，這樣對總體數(shù)量特征認(rèn)識得才更為全面。

第三節(jié)

變異指標(biāo)一、變異指標(biāo)的概念及作用

★變異指標(biāo)：反映總體各單位差異（數(shù)量或?qū)傩裕┗螂x散程度的綜合指標(biāo)，又稱標(biāo)志變動度。變異指標(biāo)是反映總體數(shù)量特征的重要指標(biāo)。平均指標(biāo)掩蓋了總體內(nèi)各單位的差異，然而總體內(nèi)各單位的差異則是客觀存在的，這就需要進(jìn)一步計算能夠反映總體各單位差異程度或離散程度的變異指標(biāo)。如果說平均指標(biāo)說明總體單位的共性和集中趨勢，那么變異指標(biāo)則說明總體單位的差異性和離中趨勢。

變異指標(biāo)的作用

☆

變異指標(biāo)可以衡量平均數(shù)代表性的大??；☆

反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的均衡性、穩(wěn)定性；

如收入分配的均衡；降雨量的均衡等；產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定；考試成績的穩(wěn)定；農(nóng)作物高產(chǎn)穩(wěn)產(chǎn)等；

注意：變異指標(biāo)只反映均衡性和穩(wěn)定性，但均衡性和穩(wěn)定性不是判斷事物好壞的標(biāo)準(zhǔn)。

☆

變異指標(biāo)是抽樣推斷中確定樣本容量的重要依據(jù)。

二、變異指標(biāo)的種類及計算變異指標(biāo)全距平均差標(biāo)準(zhǔn)差變異系數(shù)離散系數(shù)加權(quán)式平均差簡單式平均差簡單式標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)式標(biāo)準(zhǔn)差是非標(biāo)志標(biāo)準(zhǔn)差全距系數(shù)平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

（一）全距（極差）

未分組資料：全距R=最大值-最小值組距分組資料：全距R=最高組上限-最低組下限

若為開口組，可先求出組中值，再利用組中值求得全距。

全距用以說明被研究現(xiàn)象中標(biāo)志值變動的最大范圍。全距計算簡單，易懂。但由于它受兩個極端數(shù)值的影響，其測定結(jié)果，難以準(zhǔn)確反映變量的實際離散程度。因此，它只是測定變量變異程度的一種粗略方法。

（二）

平均差

平均差是總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差的平均。由于各個變量值對算術(shù)平均數(shù)離差總合恒等于零，因而，采用離差絕對值的形式計算平均差。平均差與全距不同，它考慮了總體中個單位變量值得變動影響，對整個變量值的離散趨勢有較充分的代表性。由于掌握資料不同，平均差可分為簡單平均式和加權(quán)平均式兩種。

（三）標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差：總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，即方差的平方根，又稱均方根差。

（是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差也是標(biāo)準(zhǔn)差，此概念不妥。應(yīng)叫做標(biāo)志值的標(biāo)準(zhǔn)差更為合適）標(biāo)準(zhǔn)差的特點：意義與平均差基本相同，但在數(shù)學(xué)處理上它是采用平方的方法來消除離差的正負(fù)號。其靈敏性也更高，是最常用的變異指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差的計算：根據(jù)資料不同，標(biāo)準(zhǔn)差的計算分為：簡單式、加權(quán)式和是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差三種形式。

標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法

1．簡單式標(biāo)準(zhǔn)差在資料未分組時，采用簡單式。其計算公式為：2．加權(quán)式標(biāo)準(zhǔn)差在資料分組時，要用加權(quán)式。其計算公式為：3.是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差

在總體分為“是”和“非”兩部分時，其計算公式為：標(biāo)準(zhǔn)差的計算實例

根據(jù)某企業(yè)日產(chǎn)量資料，計算標(biāo)準(zhǔn)差日產(chǎn)量（件）工人數(shù)（人）日產(chǎn)量×次數(shù)離差離差平方離差平方×次數(shù)xf

xf101112131426354320664205242-2-101241014860412合計50600——30

問題：對不同性質(zhì)或不同水平的數(shù)列如何比較差異性？

例如：如何比較甲乙丙三數(shù)列差異的大?。考祝毫慵叽纾╩m）：369乙：距離（公里）：6997007