14、如何做幾何證明題電子版本

14、如何做幾何證明題PAGEPAGE1914、如何做幾何證明題【知識精讀】幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補的問題。掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，，有關(guān)的應用，逐步向前推進，直到問題的解決；（2）分析（執(zhí)果索因）從命題的，要的件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析利于思，合法易于表達，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設與結(jié)論的距離，最后達到證明目的。掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的?！痉诸惤馕觥?、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最性質(zhì)等三角形的性質(zhì)等常用1如1，中，C90，AC

BC，AD

DB，AECF。AEDCFAEDCF圖1B分析：由是等角三角形， ，由D是 AB中點，C，易得CD

AD，

DAE證明：連結(jié)CDACBCAB

DBCD

BD

AD，DCB

B

AAECF，ADCB，ADCDADECDFDEDF說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應該連結(jié) C，因為 CD既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長 D到 G，使 G＝，連結(jié) BG，證 G是等腰直角三角形。有興趣的同學不妨一試。EADBCF圖2例 .已知：如圖 2所示， ＝C，＝BC，＝C求證：EADBCF圖2證明：連結(jié) AC在和中，

CD，BC

CAABCCDA

D

CFBE在和中，BEDFBDBCDA

DAF

(SAS)EF說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時應注意：（1）制造的全等三角形應分別包括求證中一量；（2）添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。2、證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于0，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。例 3.如圖 3所示，設 BP、CQ是 的內(nèi)角平分線， AH、AK分別為 A到AQPK HBMNC圖3BP、CQ的垂線。求AQPK HBMNC圖3分析：由已知，H平分∠C，又B⊥，長H交C于 ，則，＝。同理，延長K交C于 M，則C＝CM，＝M。由三角形的中位線定理，知 ∥C。證：延長 H交 BC于 ，延長 K交 BC于 M∵BH平分∠ABCH又BH⊥AH

90BH＝BHABH

NBH

(ASA)BA

N

HN，C＝CM，＝KH是KH//MN即KH//BC說明：當一個三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對稱）而成一個等腰三角形。.4，＝C，A

FD

DC。求證：FD⊥EDAAFE231BD4C證明一：連結(jié) ADBCD12ECDBDB

AD

E在和中，AE

B

DADE3

BDF32FDED說明：有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。證明：圖5，長D到M，使DM＝，連結(jié) ，M，BMAAFEBDCM圖5BDDCBDM

DEBDM CDE

BM

CBM

//ACA90ABM 90AABAC，BFAEAF

CE

BMAEFBFM

FMFDED說明：證明兩直線垂直的方法如下：（1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題證二。（2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個銳角互余。（3）證明二直線的夾角等于 90°3、證明一線段和的問題（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法）例 5.已知：如圖 6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于 O。BEOD1A5BEOD1A542 3F6C圖6分析：在 AC上截取 AF＝AE。易知

，12。由，知6，23。1234，： DOC，：在 AC上截取 AF＝AEBAD

AFOSAS42又5616023123460FOC

DOC

(AAS)FC即 AC

CD（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補短法）67所示，ABCD中，F(xiàn)DC上，EBC，EAF45。EF＝BE＋DFAAD312FGBE圖7C1，將會遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長 CB至G，使 BG＝DF。證明延長 CB至G，使 BG＝DFABCD中，D，ABABG

ADF

(SAS)AGAF，13又232即∠GAE＝∠FAEGE

4、中考題：圖8知長 BC到D，長BA到E，并使AE＝BD，結(jié)CE、DE。求證：EC＝EDEEFABC圖8D證明：作DF//AC交BE于F又 AE＝BDAEFDBFBAAFEF即 EF＝ACAC//FDEACEFD

DFE

(SAS)ECED題型展示：證明幾何不等式：例題：已知：如圖 9所示，2，AB。證： BDDCA1A12DCE圖9證明一：C，＝，在和，AEAB，21，ADADADEADBBD

BDCEDCE

BEDEDC，BD證明 二如圖10所示，B取A＝C，結(jié)DFAA12F34BD圖10C則易證ADFADC34，DFDCBFD3，4BBFDBBDDFBDDC說明：在有角平分線條件時，常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線?！緦崙?zhàn)模擬】已知：如圖 1所示，C中，C，D是 B上一點，⊥CD于，交C于，有 AC

AD

1CE。求證：DE2CDCCEAD圖11BADBC圖12已知：如圖 12所示，在中，2B，CD是∠C的平分線。求證：BCADBC圖12已知：如圖13所示，過C，在A，過、C作BPCQ。設MBC的中點。求證：MP＝MQAAQBMCP圖13

，ADBC

D

AD

1AB4

ACBC【試題答案】：取 CD的中點 ，連結(jié) AFAACADAFCD

CDE

90又 4343CEACFCED(ASA)CF

ED1CD2CC41F3EDB分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時，我們經(jīng)常采用“截長補短”的手法?！敖亻L”即將長的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補短”即將一條短線段延長出另一條短線段之長，證明其和等于長的線段。證：延長 CA至 ，使 C＝C，連結(jié) 在CBD和CED中，CBCEBCDECDDCBDCEDBE又

2B2EADEEADE