復變函數(shù)解析函數(shù)

復變函數(shù)解析函數(shù)第1頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復變函數(shù)的導數(shù)定義§2.1解析函數(shù)的概念GO2.解析函數(shù)的概念第2頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月一.復變函數(shù)的導數(shù)(1)導數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點z0處可導。稱此極限值為f(z)在z0的導數(shù)，記作如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導。第3頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1第4頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)求導公式與法則①常數(shù)的導數(shù)c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數(shù)).證明對于復平面上任意一點z0，有----實函數(shù)中求導法則的推廣第5頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導，則[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)第6頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月④復合函數(shù)的導數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函數(shù)的導數(shù)，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0。思考題第7頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例3問：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導？例2解解第8頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導。證明第9頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)復變函數(shù)在一點處可導，要比實函數(shù)在一點處可導要求高得多，也復雜得多，這是因為Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零的原故。(2)在高等數(shù)學中要舉出一個處處連續(xù)，但處處不可導的例題是很困難的,但在復變函數(shù)中，卻輕而易舉。第10頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)可導與連續(xù)若w=f(z)在點z0處可導w=f(z)點z0處連續(xù).?第11頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月二.解析函數(shù)的概念定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個鄰域內(nèi)處處可導，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則稱

f(z)在D內(nèi)解析，或稱f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果f(z)在點z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點。

(1)w=f(z)在D內(nèi)解析在D內(nèi)可導。(2)函數(shù)f(z)在z0點可導，未必在z0解析。第12頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例如(1)w=z2在整個復平面處處可導，故是整個復平面上的解析函數(shù)；(2)w=1/z，除去z=0點外，是整個復平面上的解析函數(shù)；

(3)w=zRez在整個復平面上處處不解析(見例4)。定理1設(shè)w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0時)均是D內(nèi)的解析函數(shù)。第13頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2設(shè)w=f(h)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,h=g(z)的函數(shù)值集合G，則復合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)處處解析。第14頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2解析函數(shù)的充要條件

1.解析函數(shù)的充要條件2.舉例第15頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果復變函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內(nèi)處處可導，則函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)解析。問題如何判斷函數(shù)的解析性呢？第16頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月一.解析函數(shù)的充要條件第17頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月記憶定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).第20頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)有定義，則f(z)在點z=x+iy∈D處可導的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有第21頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月證明（由f(z)的可導C-R方程滿足上面已證！只須證f(z)的可導函數(shù)u(x,y)、v(x,y)可微）?！吆瘮?shù)w=f(z)點z可導，即則f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且第22頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可寫為因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy所以u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)處可微.第23頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月（由函數(shù)u(x,y),v(x,y)在點(x,y)處可微及滿足C-R方程f(z)在點z=x+iy處可導）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點可微，即：第24頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月第25頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系.當一個函數(shù)可導時,僅由其實部或虛部就可以求出導數(shù)來.

利用該定理可以判斷哪些函數(shù)是不可導的.第26頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月使用時:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導數(shù)的連續(xù)性，ii)驗證C-R條件.iii)求導數(shù)：

前面我們常把復變函數(shù)看成是兩個實函數(shù)拼成的,但是求復變函數(shù)的導數(shù)時要注意,并不是兩個實函數(shù)分別關(guān)于x,y求導簡單拼湊成的.第27頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月二.舉例例1判定下列函數(shù)在何處可導，在何處解析：解(1)設(shè)z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y則第28頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny第29頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月僅在點z=0處滿足C-R條件，故解(3)設(shè)z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則第30頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求證函數(shù)證明由于在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿足C-R條件：故函數(shù)w=f(z)在z≠0處解析，其導數(shù)為第31頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例3證明第32頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例4如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函數(shù)，且確定第33頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月練習:a=2,b=-1,c=-1,d=2第34頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.3初等函數(shù)3.對數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)2.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)4.冪函數(shù)5.反三角函數(shù)第35頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月一.指數(shù)函數(shù)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：定義第36頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。第38頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月

例1例2例3第39頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月二.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復變數(shù)情形定義第40頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)第41頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題第42頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月由正弦和余弦函數(shù)的定義得其它三角函數(shù)的定義(詳見P51)第44頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)第46頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月三.對數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，(1)對數(shù)的定義第48頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月故第49頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月

第50頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)見§1-6例1第51頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月例4第52頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月四.乘冪與冪函數(shù)乘冪ab定義

—多值—一般為多值第53頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月—q支第54頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)當b=1/n(n正整數(shù))時，乘冪ab與a

的

n次根意義一致。(1)當b=n(正整數(shù))時，乘冪a