量綱分析與相似(共34張PPT)精選

第四章量綱分析與相似(xiānɡsì)第一頁，共34頁。基本量綱(liànɡɡānɡ)（FundamentalDimension）：具有獨(dú)立性的，不能由其他量綱(liànɡɡānɡ)推導(dǎo)出來的量綱(liànɡɡānɡ)叫做基本量綱(liànɡɡānɡ)。一般取質(zhì)量M，長度L、時間T、即[M-L-T]為基本量綱(liànɡɡānɡ)體系。導(dǎo)出量綱(liànɡɡānɡ)（DerivedDimension）:是指由基本量綱(liànɡɡānɡ)導(dǎo)出的量綱(liànɡɡānɡ)。

量綱［A］=L2

［ρ］=ML-3[F]=MLT

-2

第二頁，共34頁。量綱(liànɡɡānɡ)公式:某一物理量q的量綱[q］都可用3個基本量綱的指數(shù)乘積形式(xíngshì)表示幾何學(xué)量綱：=0，0，=0運(yùn)動學(xué)量綱：=0，0，0動力學(xué)量綱：0，0，0分類第三頁，共34頁。二、無量(wúliàng)綱量當(dāng)則［q］=1

無量綱量可由兩個具有相同量綱的物理量相比得到；可由幾個有量綱物理量乘除組合(zǔhé)，使組合(zǔhé)量的量綱指數(shù)為零得到。特點(diǎn)：(1)無量綱量的大小與所選單位無關(guān)，具有客觀性；(2)不受運(yùn)動規(guī)模的影響，模型與原型常用同一無量綱數(shù)；(3)在超越函數(shù)（對數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運(yùn)算(yùnsuàn)中，均應(yīng)用無量綱量。第四頁，共34頁。三、量綱和諧(héxié)原理（TheoryofDimensionalHomogeneity）凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項的量綱都必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。這稱為量綱和諧(héxié)原理。量綱和諧(héxié)原理的重要性：

b、根據(jù)量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數(shù)。

c、可用來建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。為科學(xué)地組織實(shí)驗(yàn)過程、整理實(shí)驗(yàn)成果提供理論指導(dǎo)。

a、一個方程在量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來檢驗(yàn)物理方程或經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。第五頁，共34頁。第二節(jié)量綱分析法

一、瑞利法（Rayleigh）瑞利法是量綱和諧原理的直接(zhíjiē)應(yīng)用。具體分析步驟(bùzhòu)如下：1、確定(quèdìng)與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n個物理量；2、寫出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如：3、根據(jù)量綱和諧原理，即等式兩端的量綱應(yīng)該相同，確定物理量的指數(shù)a，b，……p，代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān)系式。第六頁，共34頁。應(yīng)用(yìngyòng)范圍：一般情況下，要求相關(guān)物理量個數(shù)n不超過4個，待求量綱指數(shù)不超過3個?！纠?-1】求水泵(shuǐbèng)輸出功率的表達(dá)式【例4-2】求圓管層流的流量關(guān)系式（P74）二、布金漢（Buckingham）定理(dìnglǐ)（定理(dìnglǐ)）若某一物理過程包含n個物理量，即

其中有m個基本量（量綱獨(dú)立，不能相互導(dǎo)出的物理量）則該物理過程可由n個物理量構(gòu)成的n－m個無量綱項所表達(dá)的關(guān)系式來描述，即第七頁，共34頁。定理(dìnglǐ)的解題步驟：（1）確定關(guān)系式：根據(jù)對所研究的現(xiàn)象的認(rèn)識(rènshi)，確定影響這個現(xiàn)象的各個物理量及其關(guān)系式：（2）確定(quèdìng)基本變量：從n個物理量中選取m個基本物理量，一般取m=3，如q1、q2、q3。在管流中，一般選d，，三個作基本變量，而在明渠流中，則常選用H，，。（3）基本變量依次與其余物理量組成π項，即

……（4）滿足π為無量綱項，定出上面各項中基本量的指數(shù)ai,bi,ci（5）整理方程式

第八頁，共34頁。選擇基本變量的原則：1）基本變量與基本量綱相對應(yīng)。即若各物理量中基本量綱（M，L，T）出現(xiàn)三個，那么(nàme)基本變量也選三個；倘若基本量綱只出現(xiàn)兩個，則基本變量只須選擇兩個。2）選擇基本變量時，應(yīng)選擇重要的變量。換句話說，不要選擇次要的變量作為基本變量，否則次要的變量在大多數(shù)項中出現(xiàn)，往往使問題復(fù)雜化，甚至要重新求解。3）不能有任何兩個基本變量的量綱是完全一樣的，換言之，基本變量應(yīng)在每組量綱中只能選擇一個。應(yīng)用(yìngyòng)范圍：對相關(guān)物理量個數(shù)n沒有限制，應(yīng)用(yìngyòng)更為普遍。第九頁，共34頁。例用布金漢定理(dìnglǐ)確定圓管流動中邊壁切應(yīng)力的表達(dá)式0。已知0與液體的密度，液體的動力沾滯系數(shù)，圓管直徑D，管壁材料的粗糙度以及管中斷面平均流速有關(guān)。解f（D、v、、0、、）=0從各獨(dú)立影響因素中選取D（幾何(jǐhé)量）、（運(yùn)動量）、（動力量）為基本量建立（6~3）項：對1：第十頁，共34頁。同理求得將各代入得整理(zhěnglǐ)得令，則第十一頁，共34頁。例題：管中紊流，單位管長沿程水頭損失hf/L，取決于下列因素：

流速v，管徑D，重力(zhònglì)g，動力粘度，管壁粗糙高度和密度。

試用定理分析確定方程的一般形式。解：取v，d，為基本(jīběn)變量，則的個數(shù)n-m=7-3=4第十二頁，共34頁。進(jìn)行(jìnxíng)量綱分析，則有a1=0，b1=0，c1=0a2=1，b2=1，c2=1a3=

0，b3=

1，c3=

0a4=

2，b4=

-

1，c4=

0即解得：第十三頁，共34頁。第三節(jié)相似(xiānɡsì)原理一、流動(liúdòng)相似原型(Prototype)：天然水流和實(shí)際建筑物稱為原型。模型(Model)：通常把原型（工程實(shí)物）按一定比例關(guān)系(guānxì)縮?。ɑ蚍糯螅┑拇砦?，稱為模型。水力學(xué)模型試驗(yàn)的目的：利用模型水流來模擬和研究原型水流問題。關(guān)鍵問題：使模型水流和原型水流保持流動相似。第十四頁，共34頁。流動相似：若兩個流動的對應(yīng)點(diǎn)上的同名(tóngmíng)物理量（如速度、壓強(qiáng)及各種作用力等）具有各自的固定比例關(guān)系，則這兩個流動就是相似的。模型和原型保證流動(liúdòng)相似，應(yīng)滿足：幾何相似運(yùn)動相似動力相似初始條件和邊界條件相似第十五頁，共34頁。1.幾何(jǐhé)相似（geometricsimilarity）指原型和模型兩個流場的幾何形狀相似，即對應(yīng)的線段長度成比例(bǐlì)、夾角相等。以腳標(biāo)p表示(biǎoshì)原型、m表示(biǎoshì)模型，則有長度比尺面積比尺

體積比尺第十六頁，共34頁。2.運(yùn)動(yùndòng)相似（kinematicsimilarity）指原型和模型流體運(yùn)動的速度場相似，即兩流場各相應(yīng)點(diǎn)（包括邊界(biānjiè)上各點(diǎn)）的速度u及加速度a方向相同，且大小具有同一比值。速度(sùdù)比尺加速度比尺

第十七頁，共34頁。3.動力(dònglì)相似（dynamicsimilarity）指原型(yuánxíng)和模型流動相應(yīng)點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。分別以符號T、G、P、Tw和I代表影響流體(liútǐ)運(yùn)動的作用力，如粘滯力、重力、壓力、表面張力和慣性力，則有力的比尺第十八頁，共34頁。邊界條件相似指兩個流動相應(yīng)邊界性質(zhì)相同(xiānɡtónɡ)，如原型中有固體壁面，模型中相應(yīng)部分也是固體壁面；原型中的自由液面，模型相應(yīng)部分也是自由液面。對于非恒定流動，還要滿足(mǎnzú)初始條件相似；而對于恒定流動，無需初始條件相似。第十九頁，共34頁。流動相似的進(jìn)一步解釋：邊界條件和初始條件相似以及幾何相似是流動相似的前提與依據(jù)；動力相似是決定流體運(yùn)動相似的主導(dǎo)因素；運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的最終(zuìzhōnɡ)表現(xiàn)，是流動相似的目標(biāo)；凡流動相似的原型與模型流動，必然同時滿足幾何相似、動力相似和運(yùn)動相似。第二十頁，共34頁。二、動力相似(xiānɡsì)準(zhǔn)則動力相似準(zhǔn)則：在兩相似的流動中，各種(ɡèzhǒnɡ)力之間保持某種固定不變的比例關(guān)系。1、雷諾（粘滯(zhānzhì)力）準(zhǔn)則考慮原型與模型之間粘滯力與慣性力的關(guān)系

第二十一頁，共34頁。無量(wúliàng)綱數(shù)Re稱雷諾數(shù)（Reynoldsnumber）雷諾數(shù)表示慣性力與粘滯力之比。兩相似(xiānɡsì)流動，粘滯力起主要作用時，雷諾數(shù)相等。適用范圍：水流阻力(zǔlì)即粘滯力起主要作用的有壓流動，如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動和潛體繞流問題等。第二十二頁，共34頁。2.弗勞德（重力(zhònglì)）準(zhǔn)則考慮原型與模型(móxíng)之間重力與慣性力的關(guān)系弗勞德數(shù)（Froudenumber）表征慣性力與重力之比。兩相似流動，重力起主要(zhǔyào)作用時，弗勞德數(shù)相等。適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變動的各種流動（重力起主要作用的流動），如堰壩溢流、孔口出流、明槽流動、紊流阻力平方區(qū)的有壓管流與隧洞流動等。第二十三頁，共34頁。(3)在超越函數(shù)（對數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運(yùn)算(yùnsuàn)中，均應(yīng)用無量綱量。（3）基本變量依次與其余物理量組成π項，即（3）原型中需要的功率？無量(wúliàng)綱數(shù)Re稱雷諾數(shù)（Reynoldsnumber）第二十二頁，共34頁。第二十二頁，共34頁。馬赫(mǎhè)準(zhǔn)則（馬赫(mǎhè)數(shù)）指原型和模型兩個流場的幾何形狀相似，即對應(yīng)的線段長度成比例(bǐlì)、夾角相等。第二十三頁，共34頁。1、通常是先根據(jù)實(shí)驗(yàn)場地，模型制做和量測條件(tiáojiàn)定出長度比尺λl；第二十二頁，共34頁。3）不能有任何兩個基本變量的量綱是完全一樣的，換言之，基本變量應(yīng)在每組量綱中只能選擇一個。取v，d，為基本(jīběn)變量，則的個數(shù)n-m=7-3=4一般取質(zhì)量M，長度L、時間T、即[M-L-T]為基本量綱(liànɡɡānɡ)體系。量綱(liànɡɡānɡ)公式:3.歐拉（壓力(yālì)）準(zhǔn)則考慮原型(yuánxíng)與模型之間壓力與慣性力的關(guān)系歐拉數(shù)（Eulernumber）表征(biǎozhēnɡ)壓力與慣性力之比。兩相似流動，壓力起主要作用時，歐拉數(shù)相等。由于壓力通常是待求量，這樣只要粘滯力、重力相似，壓力將自行相似。換言之，當(dāng)雷諾準(zhǔn)則、弗勞德準(zhǔn)則成立時，歐拉準(zhǔn)則可自行成立。第二十四頁，共34頁。4.韋伯（表面張力(biǎomiànzhānglì)）準(zhǔn)則考慮原型與模型之間表面張力(biǎomiànzhānglì)與慣性力的關(guān)系韋伯?dāng)?shù)（Webernumber）表征慣性力與表面張力之比。兩相似流動(liúdòng)，表面張力起主要作用時，韋伯?dāng)?shù)相等。第二十五頁，共34頁。5.馬赫(mǎhè)準(zhǔn)則（馬赫(mǎhè)數(shù)）高速(ɡāosù)氣流中，考慮原型與模型之間彈性力與慣性力的關(guān)系馬赫數(shù)（Machnumber）表征慣性力與彈性力之比。兩相似流動，彈性力起主要(zhǔyào)作用時（如水擊，空氣動力學(xué)中的亞音速或超音速運(yùn)動等），馬赫數(shù)相等。第二十六頁，共34頁。思考(sīkǎo)：為什么每個相似(xiānɡsì)準(zhǔn)則都要表征慣性力？作用在流體上的力除慣性力是企圖維持流體原來運(yùn)動狀態(tài)的力外，其他力都是企圖改變運(yùn)動狀態(tài)的力。如果把作用在流體上的各力組成一個力多邊形的話，那么慣性力則是這個力多邊形的合力，即牛頓定律，流動的變化就是慣性力與其他上述各種力相互作用的結(jié)果。因此各種力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來相互比較。第二十七頁，共34頁。第四節(jié)模型(móxíng)實(shí)驗(yàn)建立與原型相似的小尺度模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究(yánjiū)，并以模型實(shí)驗(yàn)的結(jié)果預(yù)測原型將會發(fā)生的流動現(xiàn)象及規(guī)律。一、模型(móxíng)律的選擇為了使模型和原型流動完全相似，除要幾何相似外，各獨(dú)立的相似準(zhǔn)則應(yīng)同時滿足。但實(shí)際上要同時滿足各準(zhǔn)則很困難，甚至是不可能的。（見書上推導(dǎo)）原型與模型流動雷諾數(shù)相等的這個相似條件，稱為雷諾模型律。原型與模型流動弗勞德數(shù)相等的這個相似條件，稱為弗勞德模型律。

第二十八頁，共34頁。模型實(shí)驗(yàn)想做到與原型(yuánxíng)完全流動相似是困難的，一般只能達(dá)到近似相似，就是保